【世纪金榜】高三文科数学热点专题突破：(五)圆锥曲线的综合问题.ppt

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1、热点专题突破系列(五)圆锥曲线的综合问题,考点一 圆锥曲线中的定点问题【考情分析】以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过巧妙设计和整合命题,常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知识交汇考查.,【典例1】(2014西安模拟)已知椭圆C:经过点 一个焦点是F(0,-1).(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C与y轴的两个交点为A1,A2,点P在直线y=a2上,直线PA1,PA2分别与椭圆C交于M,N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是否恒过定点Q?证明你的结论.,【解题提示】(1)由点 在椭圆C上及F(0,-1)可求椭圆C的方程.(2)先利用P的特殊位置，即P在y轴上时，确定若

2、直线MN恒过定点，则该定点一定在y轴上，然后利用三点共线的条件解决.,【规范解答】(1)由题意知c=1,可设椭圆方程为因为 在椭圆上，所以 解得b2=3,所以椭圆的方程为(2)假设存在定点Q.当点P在y轴上时,M,N分别与A1,A2重合,若直线MN经过定点Q,则Q必在y轴上,设Q(0,m),当点P不在y轴上时,设P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),因为A1(0,2),A2(0,-2),所以直线PA1的方程为 直线PA2的方程为将 代入得(3+t2)x2+6tx=0,解得所以将 代入得(27+t2)x2-18tx=0,解得所以因为所以所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1,所以

3、当点P在直线y=a2上运动时，直线MN恒经过定点Q(0,1).,【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.,【变式训练】(2015南京模拟)如图，已知椭圆C:的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.,【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0

4、化为标准方程(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心为M(3,1),半径由A(0,1),F(c,0)得直线AF:即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切，得(舍去).当 时,a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为C:,(2)由 知APAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为将y=kx+1代入椭圆C的方程 并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或,因此P的坐标为即将上式中的k换成 得直线l的方程为化简得直线l的方程为因此直线l过定点,【加固训练】(2015保定模拟)设椭圆E：的离心率为 且过点(1)求椭圆E的方程.(2)设椭

5、圆E的左顶点是A，若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.,【解析】(1)由 可得a2=2b2，椭圆方程为 代入点 可得b2=2,a2=4,故椭圆E的方程为(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,设M(x1,y1)，N(x2,y2)得：,x1+x2=m(y1+y2)+2t=x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN,所以=(x1+2,y1)

6、(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2,因为M，N与A均不重合，所以t-2,所以 直线l的方程是 直线l过定点由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点,考点二 圆锥曲线中的定值问题【考情分析】该问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题,是高考热点:(1)定值问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系,考查斜率、向量的运算以及运算能力.(2)解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式为定值.,【典例2】(2013江西高考)椭圆C:的离心率(1)求椭圆C的方程.(2)如图

7、，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值.,【解题提示】(1)借助椭圆中a2=b2+c2的关系及两个已知条件即可求解.(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P,M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最终把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可设点P的坐标,把k与m都用点P的坐标来表示.,【规范解答】(1)因为 所以又由a2=b2+c2得 代入a+b=3，得故椭圆C的方程为(2)因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为，将代入 解得直线

8、AD的方程为：.,联立解得由D(0,1),N(x,0)三点共线可知即所以点所以MN的斜率为则(定值).,【一题多解】解决本例(2)，你知道几种解法？解答本题，还有如下方法：设P(x0,y0)(x00,2)，则 直线AD的方程为直线BP的方程为 直线DP的方程为令y=0，由于y01，可得解,所以MN的斜率为故,【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.引进变量法:其解题流程为,【变式训练】(2015广州模拟)已知椭圆C：的短半轴长为1,动点M(2,t)(t0)在直线(c为半焦

9、距)上.(1)求椭圆的标准方程.(2)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程.(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值.,【解析】(1)由点M(2,t)在直线 上，得故 所以c=1,从而所以椭圆方程为,(2)以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0.即其圆心为 半径因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离所以 解得t=4.所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.,(3)设N(x0,y0),则因为所以2(x0-1)+ty0

10、=0,所以2x0+ty0=2.又因为 所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,所以x02+y02=2x0+ty0=2,所以 为定值.,【加固训练】已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且 过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：为定值.(2)设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值,【解析】(1)由已知条件，得F(0,1)，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由即得(x1,1y1)(x2，y21)所以将式两边平方并把 代入得y12y2，解式得 且有x1x2x224y24.抛物线方程为,求导得 所以过抛物线上A，B两点的切线方程分别是即

11、解出两条切线的交点M的坐标为所以，所以 为定值，其值为0.,(2)由(1)知在ABM中，FMAB，因而,因为|AF|，|BF|分别等于A，B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y22 于是由 知S4，且当1时，S取得最小值4.,考点三 圆锥曲线中的最值与取值范围问题【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函数的值域问题和解不等式问题,是高考热点:(1)恒成立问题一般考查整式不等式、分式、绝对值不等式在某个区间上恒成立,求参数取值范围.(2)求函数的值域,一般是利用二次函数、基本不等式或求导的方法求解,有时也利用数形结合思想求解.(3)解不等式一般是转化为解一元一次、一元二次不等式.,

12、【典例3】(2014浙江高考)如图，设椭圆C:动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.,【解题提示】(1)将直线与椭圆方程联立,解得P点坐标.(2)表示出点到直线的距离,利用a,b,k之间的关系和基本不等式求出最大值.,【规范解答】(1)设直线l的方程为y=kx+m(k0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由于l与C只有一个公共点,故=0,即b2-m2+a2k2=0,所以,解得点P的坐标为 又点P在第一象限，故点

13、P的坐标为,(2)由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=因为所以,当且仅当 时等号成立.所以，点P到直线l1的距离的最大值为ab.,【规律方法】1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.,(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,

14、从而确定参数的取值范围.,2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)两类最值问题:涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见解法:几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.,提醒:求最值问题时,一定要注意对特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.,【变式训练】(2015杭州模拟)已知圆M：若椭圆C：

15、的右顶点为圆M的圆心，离心率为(1)求椭圆C的方程.(2)若存在直线l:y=kx,使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围.,【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,因为 所以c=1,所以b=1,所以椭圆C：,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l与椭圆C交于两点A，B，则所以(1+2k2)x2-2=0,则x1+x2=0,所以|AB|=点 到直线l的距离则|GH|=,显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以当k=0

16、时，当k0时，,又显然 所以综上，,【加固训练】已知抛物线C:y=x2.过点M(1,2)的直线l交C于A,B两点.抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P.(1)若直线l的斜率为1,求|AB|.(2)求PAB的面积的最小值.,【解析】(1)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知，直线l的方程为y=x+1,由 消去y得x2-x-1=0,解得,所以|AB|=,(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-1)+2,设点A(x3,y3),B(x4,y4).由 消去y,整理得x2-kx+k-2=0,x3+x4=k,x3x4=k-2,又y=(x2)=2x,所以抛物线y=x2在点A，B处的切线方程分别为y=2x3x-x32,y=2x4x-x42.,得两切线的交点所以点P到直线l的距离又|AB|=设PAB的面积为S，所以(当k=2时取得等号).所以PAB面积的最小值为2.,