高等数学（二）《高阶偏导数及泰勒公式》 .ppt

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1、17高阶偏导数及泰勒公式,由于它们还是 x,y 的函数.因此,可继续讨论,一、高阶偏导数,称为 z=f(x,y)的二阶偏导数.,类似,可得三阶,四阶,n 阶偏导数.,例1.,解:,若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?,问题:,是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?,若 z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数,则,定理1,分析.按定义,f(x0,y0+y),f(x0+x,y0)+f(x0,y0),同理,证:分别给 x,y 以改变量x,y,使(x0+x,y0+y),(x 0+x,y0)及(x0,y0+y)均在U(X0)内.,记 A=f(x0+x,y0+y)f(x0+x,y0)f(

2、x0,y0+y)f(x0,y0),(x)=f(x,y0+y)f(x,y0),有 A=(x0+x)(x0),即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.,因A=(x0+x)(x0),(x)=f(x,y0+y)f(x,y0),A=(x0+1x)x,再对变量 y 用拉格朗日中值定理.,得,另外,A=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y)f(x0+x,y0)f(x0,y0),记(y)=f(x0+x,y)f(x0,y),从而,A=(y0+y)(y0)(由拉格朗日中值定理),故,1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形.,即,若混合偏导数连续,则混

3、合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).,注,2.若多元函数 f(X)在区域 D内有(直到)k 阶连续偏导.则记为 f(X)Ck(D).k为非负整数.,若 f(x,y)Ck(D),则不论求导顺序如何,只要是对 x 求导 m 次,对 y 求导 k m 次,都可写成,例2.,解:,比较知 a=1,b=0.,例3.,解:设 u=x+y+z,v=xyz,从而 w=f(u,v)是x,y,z,的复合函数.,由链式法则.,注意：,还要用链式法则来求.,例4.,解:,例5.,解:(1),由隐函数求导公式,从而,(2)上式两端对 x 求偏导.此时右边的z看作 x 的的函数.y要看作常数.,有,例6.设方程组,

4、解:(1)先求一阶偏导.,注意,u,v 看作 x,y 的函数.,得,方程两边对x 求偏导.,从而,(2),从而,例7.设u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.,解:,u=f(x,x3,z),(x2,3lnx,z)=0,易见 z,u均 x 的函数,方程两边对 x 求导数.,得,从而,和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介绍二元函数的高阶微分.,若 dz 还可微,则记 d2z=d(dz),称为,z 的二阶微分.,二、高阶微分,下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式.,设以 x,y 为自变量 的函数 z=f(x,y)Ck.,由于x,y 为自变量,故dx=x,dy=y

5、,与 x,y 的取值无关.,固定x,y,(即将它们看作常数),求dz的微分.,且 d2z=d(dz),记,引进记号.,这相当于规定了 将字母 z 移到括号外 的方法。,实际上，,它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.,若记这个映射为g,则,比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子,来代替字母 g 而已.,即,我们把这个映射称为一阶微分算子.,类似,记,并规定:,故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次.,只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子,一般,若形式上规定.,(1)当 z=f(x,y)Ck 时,z 有 k 阶微分.,(2),只有把它按上述规定

6、,展开后,再将各项 乘以 z(即,将 z 补写在 k 后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.,注,(3),它本质上是一个映射.它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z.,(4)若 x,y 不是自变量,dk z 一般不具有上述形式.,18方向导数,函数的导数就是函数的变化率.,比如,y=f(x),如图,一、方向导数的概念,表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率.,表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.,又比如,z=f(x,y),偏导数,分别表示函数在点(x0,y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.,如图,x,o,y,z,x0,(x0,y0),y,表示在(x0,y0)处沿 y 轴正方

7、向的变化率.,表示在(x0,y0)处沿 y 轴负方向的变化率.,但在许多实际问题中,常需知道 f(X)在 X0 沿任何方向的变化率.,比如,设 f(X)表示某物体内部点 X 处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.,因此有必要引进 f(X)在 X0 沿一给定方向的方向导数.,把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.,即 f x(x0,y0)表示 y=y0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.,即 f y(x0,y0)表示 x=x0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,如图,设 z=f(X)=f(x,y)在点 X0=(x0

8、,y0)的某邻域U(x0)内有定义.,以 X0 为端点引射线 l,其单位方向向量为 e=(cos,cos),设X=(x0+x,y0+y)是 l 上另一点.,x,o,y,z,M0,l,X0=(x0,y0),X=(x0+x,y0+y),M,N,定义,X=(x0+x,y0+y),x,o,y,z,M0,l,X0=(x0,y0),M,N,则称它为 z=f(X)=f(x,y)在点 X0=(x0,y0)沿 l 的方向导数.,x,o,y,z,M0,l,X0=(x0,y0),M,N,X=(x0+x,y0+y),沿l,1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上,且 X 沿 l 趋向于X0.,的分母大于0.,如图,

9、另外比值,注,2.若 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)处偏导存在.,则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y(x0,y0),而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y(x0,y0).,3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.,由于l的单位方向向量为e=(cos,cos),从而 l 的参数式方程为,x=x0+tcos,y=y0+tcos,t 0,或(x,y)=(x0,y0)+t(cos,cos),而 X X0 就是 t 0+.,即 X=X0+te,从而,这正是教材中给出的定义式.,若 z=f(X)=f

10、(x,y)在点 X0=(x0,y0)可微,则 z=f(X)在 X0沿任一方向e=(cos,cos)的方向导数存在.e为单位向量.,且,=Jf(X0)e.(最后两式为数量积),二、方向导数的计算,定理4,证:如图,x,o,y,X0=(x0,y0),e,y,x,l,X0=(x0+x,y0+y),在射线 l 上取点X=(x0+x,y0+y),其中,X=(x,y),故 X=te,(t 0),X=X0+te,=X0+X,由方向导数定义,看 f(X0+te)f(X0).,沿 l,因 f(X)在X0可微,知,z=f(X0+X)f(X0),=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0),由定理1,=Jf(X0)X

11、+0(|X|),上式对任何x,y 都成立.,特别,当 X=X0+X 在射线 l 上时,当然成立.,即,当 X0+X=X0+te 时,有,f(X0+te)f(X0),=Jf(X0)(te)+0(|te|),=t(Jf(X0)e+0(t),除以 t 0,并令 t 0+,有,即 z=f(X0+X)f(X0)=Jf(X0)X+0(|X|),=Jf(X0)e,即,若 u=f(x,y,z)在点 X0=(x0,y0,z0)可微,则 u 在该点处沿任何方向e=(cos,cos,cos)的方向导数存在,=Jf(X0)e,且,公式可推广到三元函数中去.,例5.求 u=xyz 在点 X0=(1,1,1)处沿从该点到

12、点 X1=(1,2,2)方向的方向导数.,解:(1)先求出这个方向上的单位向量 e.,(2)求 u 在 X0=(1,1,1)处偏导数.,(3)由公式得方向导数,1.若 z=f(X)=f(x,y)在区域D内存在一阶连续偏导.X0=(x0,y0)是 D 内一点.知 z 在 X0 沿任何方向e=(cos,cos)的方向导数,其中|e|=1.,问,注,故,最大值为|Jf(X0)|.,函数沿Jf(X0)的方向增长最快.,(2),即,(3)记 grad f(X)=Jf(X)=(f x(x,y),f y(x,y)称为 f(X)在点 X 处的梯度.,2.设 z=f(X)=f(x,y),考察 z 在点 X0=(x0,y0)处连续;存在两偏导;沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.,(1),(反之如何?),可微 连续,可微 存在两偏导,(反之不对),可微 沿任何方向的方向导数存在.,(2)若 z=f(X)=f(x,y)在区域 D 内的两偏导不仅存在,而且连续,则 z 在 D内可微,进而在 D内连续,在 D内每点处沿任何方向,的方向导数存在.,3.当 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)可微时,沿 e=(cos,cos)的方向导数,该公式有另外的形式.,记 为从 x 轴到 e 的转角(不一定在0,之间),则,