沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形教学ppt课件.ppt

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1、,15.1 轴对称图形,第15章 轴对称图形与等腰三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（HK）教学课件,第1课时 轴对称图形与轴对称,1.通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形.2.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.（重点）3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系，探索轴对称现象共同特征.（重点、难点）,导入新课,它们有什么共同的特点？,讲授新课,如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.,轴对称图形,对称轴,a,m,做一做,下列哪些是属于轴对称图形？,A,B,C,你能举出一些

2、轴对称图形的例子吗？,A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z游戏规则:每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.,全班总动员,A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z,做一做:找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.,想一想：下面的每对图形有什么共同特点？,A,A,B,C

3、,B,C,对称轴,对称轴,如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.,例 下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？,B,C,A,典例精析,知识要点,比较归纳,一个图形具有的特殊形状,两个全等图形的特殊的位置关系,1.都是沿着某条直线折叠后能重合.,2.可以互相转化.,辩一辩,6,6,这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？,观察与思考1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？2.动画（2）中的三角形是个什么图形？,（1）,（2）,思考：如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段AA，BB，C

4、C与直线MN有什么关系？,A,B,C,N,M,AAMN，BBMN，CCMN.,如图，MNAA，AP=AP.直线MN是线段AA 的垂直平分线.,如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.,线段垂直平分线的定义,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.,图形轴对称的性质,一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？请你自己找一些轴对称图形来检验吧！,类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.,轴对称图形的性质,如图，MN垂直平分AA,MN垂直平分BB.,例1 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其

5、中BAD150，B40，则BCD的度数是()A130 B150 C40 D65,方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.,A,例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为(),A4cm2B8cm2C12cm2D16cm2,解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，正方形ABCD的边长为4cm，S阴影4228(cm2).故选B.,B,方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对称变换，

6、将其转换为规则图形后再进行计算.,问题1：如何画一个点的对称图形？,画出点A关于直线l的对称点A.,l,A,A,O,作法：,（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.,（2）在垂线上截取OAOA.,点A就是点A关于直线l的对称点.,互动探究,问题2：如何画一条线段的对称图形？,已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.,(图1),(图2),(图3),(B),想一想：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？,例3 如图，已知ABC和直线l，作出与ABC关于直线l对称的图形.,分析：ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点

7、，就能得到要画的图形.,作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，A就是点A关于直线l的对称点.,（3）连接AB，BC，CA，得到 ABC即为所求.,（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B，C.,O,方法归纳,作轴对称图形的方法,几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.,例4 在33的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的DEF.,(F),(D),E,(E),F,D,(F),D,E,(D),(E

8、),F,方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来,1.下列表情图中，属于轴对称图形的是（）,D,当堂练习,2.下列图形，对称轴最多的是（）,A.长方形,B.正方形,C.角,D.圆,D,3.如图，ABC与DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（）AABDF BB=E CAB=DE DAD的连线被MN垂直平分,A,4.如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB为_.,10,5.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.,6.（1）整个图形是轴对称图形

9、吗？对称轴是什么？（2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？（3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？,7.想一想：一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车的车牌号码吗?,课堂小结,轴对称,轴对称,轴对称图形,定义,性质,定义,性质,画轴对称图形,原理,方法,线段的垂直平分线,对称轴是对称点连线段的垂直平分线.,(1)找特征点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4）依次连线.,15.1 轴对称图形,第15章 轴对称图形与等腰三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（HK）教学课件,第2课时 平面直角坐标系中的轴对称,1.探究在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标

10、特点.（重点）2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形.（重点）3.能运用坐标系中的轴对称特点解决简单的问题.（难点）,导入新课,一位外国游客在天安门广场问小明询问西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？,如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？,讲授新课,问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?,互动探究,A,A,M,N,A就是点A

11、关于直线MN的对称点.,O,（2）延长AO至A,使OA=AO.,（1）过点A作AOMN，垂足为点O，,问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?,A(2,3),A(2,-3),做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.,C(3,-4),C(3,4),B(-4,2),B(-4,-2),(x,y),关于 x 轴对称,(,),x,-y,知识归纳,关于x轴对称的点的坐标的特点是:,横坐标相等,纵坐标互为相反数.,（简称：横轴横相等）,练一练:1.点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为_.2.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称，则a=_,b=_

12、.,(-5,-6),-2,5,问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?,A(2,3),A(-2,3),做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.,C(3,-4),C(-3,-4),B(-4,2),B(4,2),(x,y),关于 y轴对称,(,),-x,y,知识归纳,关于y轴对称的点的坐标的特点是:,横坐标互为相反数,纵坐标相等.,（简称：纵轴纵相等）,练一练:1.点P(-5,6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_.2.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于y轴对称，则a=_,b=_.,(5,6),2,-5,例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为

13、A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.,O,对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.,知识要点,在坐标系中作已知图形的对称图形,(一找二描三连）,平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若ABC与ABC关于x轴对称，画出ABC，并写出A、B、C的坐标.,针对训练：,A(0,4),B(2,4),C(3,-1),A(0,-4),B(2,

14、-4),C(3,1),解：如图所示：,例2 已知点A(2ab，5a)，B(2b1，ab)(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4ab)2018的值,解：(1)点A、B关于x轴对称，2ab2b1，5aab0，解得a8，b5；(2)A、B关于y轴对称，2ab2b10，5aab，解得a1，b3，(4ab)20181.,例3 已知点P(a1，2a1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围,解：依题意得P点在第四象限，,解得,即a的取值范围是,方法总结：解决此类题，一般先根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内坐标的符号，列不等式(组

15、)求解,当堂练习,1.平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）关于（）Ay轴对称 Bx轴对称 C原点对称 D直线y=x对称,2.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A（-4，-2）B（2，2）C（-2，2）D（2，-2）,D,B,3.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（）A（2，3）B（-2，3）C（-3，2）D（-3，-2）,A,4.如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A（1，2）B（2，2）C（3，2）D（4，2）,C,

16、5.已知点P(2a+b,-3a)与点P（8,b+2).若点P与点P关于x轴对称，则a=_，b=_.若点P与点P关于y轴对称，则a=_，b=_.,2,4,6,-20,6.若|a-2|+(b-5)2=0，则点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为_.,(2,-5),7.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(-4，1),C(-1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形.,解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于y轴的对称点分别为A(3,5),B(4,1),C(1,3).依次连接AB,BC,CA,就得到ABC关于y轴对称的ABC.,x,y,8.已知点A（2a+b，-4），B（

17、3，a-2b）关于x轴对称，求点C（a，b）在第几象限？,解：点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称，2a+b=3，a-2b=4，解得a=2，b=-1点C（2，-1）在第四象限,拓展提升,9.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（-1，-1）、（-3，-1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形ABCD，求B的对应点B的坐标.,解：正方形ABCD，点A、B的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)，根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为(-3+2，1)，即(-1，1

18、)，第2次变换后的点B的对应点的坐标为(-1+2，-1)，即(1，-1)，第3次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(3，1)，第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为(2n-3，1)，当n为偶数时为(2n-3，-1)，把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形ABCD，则点B的对应点B的坐标是(11，1),课堂小结,用坐标表示轴对称,关于坐标轴对称的点的坐标特征,在坐标系中作已知图形的对称图形,关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同,关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置,15.2 线段的垂直平分线,第15章 轴对称图形与等腰三

19、角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（HK）教学课件,1.理解和掌握线段垂直平分线的性质;（难点）2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法;（难点）3.在数学学习的活动中，养成良好的思维习惯,学习目标,导入新课,情境引入,市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?,A,B,C,讲授新课,问题：怎样作出线段的垂直平分线？,做一做：在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.想一想：这样折纸怎么就是垂直平分线呢？,A,B

20、,A(B),A,B,l,O,l,C,O,作法：,（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.,（2）作直线CD.CD即为所求.,特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.,如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系,探究发现,P1A _P1B,P2A _ P2B,P3A _ P3B,猜想：点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离分别相等,命题：线段垂直平

21、分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,由此你能得到什么结论？,你能验证这一结论吗？,已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在l 上求证：PA=PB,证明：lAB，PCA=PCB又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PB,验证结论,例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为(),A5cmB10cmC15cmD17.5cm,典例精析,C,解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故选

22、C.,方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长,练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6 B.5 C.4 D.3,2.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长是.,B,10cm,图,例2 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAPNPB.,解：(1)如图所示：,

23、(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN，AMPPNB(SSS)，MAPNPB.,P,例3 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.,解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可求出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答(2)根据线段垂直平分线的性质判断出ABBF即可,证明：(1)ADBC，ADCECF.E是CD的中点，DEEC.又AEDCEF，ADEFCE，FCAD.(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.BEAE，BE是线段AF的垂直平分线，

24、ABBFBCCF.ADCF，ABBCAD.,定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,逆命题,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,它是真命题吗？你能证明吗？,已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上.,证明：作PCAB,垂足为C.,ACP=BCP=90.,在RtACP和RtBCP中，,RtACPRtBCP（HL），,AC=BC，,点P在线段AB的垂直平分线上.,PA=PB，PC=PC，,知识要点,线段垂直平分线的判定,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,应用格式：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上,作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.,例4 如

25、图,已知ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.,B,C,A,P,证明：连接PA，PB，PC.点P在AB，AC的垂直平分线上，PA=PB，PA=PC，（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）PB=PC，（等式性质）点P在BC的垂直平分线上.(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）,总结归纳,三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.,现在你能回答讲课前提出的问题吗？你知道购物中心应该建在何处了吗？,例5 已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.,

26、证明：,OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE.,OE是CD的垂直平分线.,又OE=OE，RtOEDRtOEC.,DO=CO.,1.如图，在ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）AA的平分线 BAC边的中线 CBC边的高线 DAB边的垂直平分线,D,当堂练习,2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点,D,4.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分

27、线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有（填序号）.,3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.,无数,5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.,16,6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.,证明：AC=BC，AD=BD，,CD为线段AB的垂直平分线.,又 AB与CD相交于点O，,7.如图，有A，B，C三个村庄，现

28、准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.,B,C,学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.,A,8.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系,解：AD垂直平分EF.AD平分BAC，DEAB，DFAC，EADFAD，AEDAFD=90.又ADAD，ADEADF，AEAF，DEDF.A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.,F,课堂小结,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

29、距离相等,作用,见垂直平分线，得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,15.3 等腰三角形,第15章 轴对称图形与等腰三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（HK）教学课件,第1课时 等腰三角形的性质定理及推论,1.了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题;（重点）2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想;3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法（难点）,学习目标,导入新课,等腰三角形,情境引入,定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.,等腰三角形中，相等的两边叫做腰，

30、另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.,底边,讲授新课,剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？,互动探究,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,折痕所在的直线是它的对称轴.,找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.,A,C,B,D,AB与AC,BD与CD,AD与AD,B 与C.,BAD 与CAD,ADB 与ADC,等腰三角形是轴对称图形.,猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？,定理1 等

31、腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.,A,B,C,D,猜想与验证,已知：ABC 中，AB=AC,求证：B=C.,应用格式：AB=AC（已知）B=C（等边对等角）,证法2：作顶角BAC的平分线AD，交BC于点D.AD平分BAC，12.在ABD与ACD中，ABAC（已知），12（已证），ADAD（公共边），ABD ACD（SAS），BC.,证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.ADBC，ADB ADC90.在RtABD与RtACD中，ABAC（已知），ADAD（公共边），RtABD RtACD（HL），BC.,解:AB=AC,（已知）B=C，（等边对等角）B=C=(180120)=30.又B

32、D=AD,（已知）BAD=B=30.（等边对等角）同理，CAE=C=30.DAE=BAC-BAD-CAE=120-30-30=60.,例1 如图，在ABC中，AB=AC,BAC=120，点D,E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求DAE的度数.,（2）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.,例2 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,解析：（1）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？,BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=C=BDC=2 A,C=BDC=2 A.,A+ABC+C=180,x+2x+2x=180,

33、解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得 x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.,方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.,【变式题】如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数.,解：AB=AD=DC，B=ADB，C=DAC.设 C=x，则 DAC=x，B=ADB=C+DAC=2x.在A

34、BC中，根据三角形内角和定理得 2x+x+26+x=180，解得x=38.5.C=x=38.5，B=2x=77.,例3 等腰三角形的一个内角是50，求这个三角形的底角的度数.,解：当50的角是底角时，三角形的底角就是50；当50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65.,方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?,证明后的结论,以后可以直接运用.,总结归纳,性质2:等腰三角形顶角的

35、平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.,AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.,AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.,综上可得：如图,在ABC中,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？,不重合！,为什么不一样?,“三线合一”的操作,1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5

36、.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.,X,X,X,X,判一判,例4 如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.,典例精析,证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.,图,图,G,方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,类比探究,问题1 等边三角

37、形的三个内角之间有什么关系？,等腰三角形,AB=AC,B=C,等边三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C=60,推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60.,已知：AB=AC=BC，求证：A=B=C=60.,证明：AB=AC.B=C.(等边对等角)同理 A=C.A=B=C.A+B+C=180,A=B=C=60.,问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？,结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.,顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一,一条对称轴,三条对称轴,例5 如图，ABC是等边三角形

38、，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数,解：ABC是等边三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE604020.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.,方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.,变式训练：,如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE,证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线，ABC=ACB=60DBC=30（等腰三角形三线合一）又CE=CD，CDE=C

39、ED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）,当堂练习,2.如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B30 C70 D50,A,1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是()A30，60 B45，45 C45，90 D20，70,B,3.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_ _；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_ _ _.,75,30,72,72或36,108,30，30,4.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与A

40、C所在的直线相交得的锐角为50，则底角的大小为_,70或20,注意：当题目为给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行分类讨论.,5.如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30，求 BAD 和 ADC的度数.,解：AB=AC，D是BC边上的中点，,C=B=30，BAD=DAC，ADC=90.,BAC=180-30-30=120.,=60.,6.如图，已知ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且DBCF，求证：ECDF.,DBCECB.DBCF，ECBF，ECDF.,证明：ABC为等腰三角形，ABAC，,ABCACB.,又BD、CE为底角的平分线，,7

41、.ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，BQM 等于多少度？,解：ABC为正三角形，ABCCBAC60，ABBC.又BMCN，AMBBCN(SAS)，BAMCBN，BQMABQBAM ABQCBNABC60.,8.A、B是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置,分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！,8个,这样分类就不会漏啦！,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,拓展提升：,课堂小结,等腰三角形的性质,等边对等角,三线合一,注意是指同一

42、个三角形中,注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.,推论,等边三角形三个内角相等，且均等于60,15.3 等腰三角形,第15章 轴对称图形与等腰三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（HK）教学课件,第2课时 等腰三角形的判定定理及推论,1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程;(重点）2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点）3.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力（难点）,学习目标,导入新课,情境引入,在AB

43、C中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？,A,B,C,A,思考：如图，在ABC中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？,我测量后发现AB与AC相等.,3cm,3cm,讲授新课,A,B,C,如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？,互动探究,已知：如图，在ABC中,B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?,建立数学模型：,做一做：画一个ABC，其中B=C=30，请你量一量AB与A

44、C的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？,AB=AC,你能验证你的结论吗？,在ABD与ACD，,1=2，,ABD ACD.,B=C，,AD=AD，,AB=AC.,过A作AD平分BAC交BC于点D.,证明：,AC=AB.()即ABC为等腰三角形.,B=C，(),知识要点,等腰三角形的判定方法,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.,已知,等角对等边,在ABC中，,应用格式：,(,(,（等角对等边）.,（等角对等边）.,错，因为都不是在同一个三角形中.,辨一辨：如图,下列推理正确吗?,例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那

45、么这个三角形是等腰三角形,已知：如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC,求证：AB=AC,证明：ADBC，1=B（两直线平行，同位角相等），2=C（两直线平行，内错角相等）又1=2，B=C，AB=AC（等角对等边）,例2 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：AED是等腰三角形.,证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的对应角相等）,AE=DE(等角对等边）,AED是等腰三角形.,例3 已知：如图，ADBC，BD平分ABC.求证：AB=AD,证明：ADBC，ADB=DBC.BD平分ABC，ABD=DBC，AB

46、D=ADB，AB=AD.,总结：平分+平行=等腰三角形,如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？,B,C,A,D,E,变式训练,是,由折叠可知，EBD=CBD.,ADBC，EDB=CBD，,EDB=EBD，BE=DE，EBD是等腰三角形.,练一练：1.在ABC中，A和B的度数如下，能判定 ABC是等腰三角形的是（）A.A50，B70 B.A70，B40C.A30，B90D.A80，B60,B,2.如图，已知OC平分AOB，CDOB，若OD3cm，则CD等于_.,3cm,例4 如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AE是BAC的平分线，AE与CD交于

47、点F，求证：CEF是等腰三角形,证明：在ABC中，ACB90，BBAC90.CD是AB边上的高，ACDBAC90，BACD.AE是BAC的平分线，BAEEAC，BBAEACDEAC，即CEFCFE，CECF，CEF是等腰三角形,方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立,推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.,推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,由等腰三角形的判定定理可以直接得到：,辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.,（1）,（2）,（6）,（5）,不是,是,是,是

48、,是,（4）,（3）,不一定是,例6 如图,在等边三角形ABC中，DEBC,求证：ADE是等边三角形.,典例精析,证明：,ABC是等边三角形，,A=B=C.,DE/BC,ADE=B,AED=C.,A=ADE=AED.,ADE是等边三角形.,想一想：本题还有其他证法吗？,证明：ABC 是等边三角形，A=ABC=ACB=60 DEBC，ABC=ADE，ACB=AED.A=ADE=AED.ADE 是等边三角形.,变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？,变式2若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？,证明：ABC 是等边三角形，BAC

49、=B=C=60 DEBC，B=D，C=E EAD=D=E ADE 是等边三角形,变式3：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE,ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,证明：,ABC是等边三角形，,A=B=C.,AD=AE,ADE=B,AED=C.,A=ADE=AED.,ADE是等边三角形.,例7 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论,解：APQ为等边三角形证明：ABC为等边三角形，ABAC.BPCQ，ABPACQ，ABPACQ(SAS)，APAQ，BAPCAQ.BACBAPPAC60，PAQCAQPAC60，APQ是

50、等边三角形,方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.,针对训练：如图，等边ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF求证：DEF是等边三角形,证明：ABC为等边三角形，且AD=BE=CFAF=BD=CE，又A=B=C=60，ADFBEDCFE（SAS），DF=ED=FE，DEF是一个等边三角形,当堂练习,1.如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A5个 B4个 C3个 D2个,2.一个三角形的一个外