北师大版数学九年级下册“直角三角形的边角关系”复习ppt课件合集：经典量型+素养拓展+中考挑战.pptx

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1、第一章直角三角形的边角关系,北师大版数学九年级下册复习教学课件合集,经典题型+素养拓展+中考挑战,1锐角三角函数,课时1正切,课时1,1.在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.1 3 C.10 10 D.3 10 10,答案,1.A【解析】由题意可知,A的正切值为=3 1=3.故选A.,知识点1 正切的定义,2.2020黑龙江哈尔滨期中如图,在ABC中,ACB=90,AB=5,AC=3,则tan B的值为()A.3 5 B.4 5 C.4 3 D.3 4,答案,2.D【解析】在RtABC中,由勾股定理,得BC=2 2=4,tan B=3 4.故选D.,知识点

2、1 正切的定义,直角三角形中求锐角的正切值的方法(1)若已知两直角边长,直接利用正切的定义求解;(2)若已知一直角边长及斜边长,可先利用勾股定理求出另一直角边长,再利用正切的定义求解.,名师点睛,3.如图,已知点A(t,3)在第一象限,OA与x轴的夹角为,且tan=3 2,则t的值是()A.1 B.3 2 C.2D.3,答案,3.C【解析】过点A作ABx轴于点B,则由题意,知OB=t,AB=3,在RtAOB中,tan=3=3 2,所以t=2.故选C.,知识点1 正切的定义,4.在RtABC中,C=90,如果把RtABC的各边的长都缩小为原来的 1 4,那么A的正切值()A.缩小为原来的 1 4

3、 B.扩大为原来的4倍C.缩小为原来的 1 2 D.没有变化,答案,4.D【解析】由题意,知RtABC的各边的长都缩小为原来的 1 4,根据相似三角形的性质可得,A的对边与邻边的比值不变,所以A的正切值不变.故选D.,知识点1 正切的定义,5.原创题一块正方形场地ABCD如图所示,已知该场地的对角线长为40 m,CE是场地中的一条小路,且测得tanBCE=2 4,则小路CE的长为()A.40 mB.30 mC.20 mD.10 m,答案,5.B【解析】连接AC.由题意,知AC=40 m,BC=20 2 m.在RtBEC中,tanBCE=2 4,BE=2 4 BC=10 m,根据勾股定理,得CE

4、=2+2=30 m.,知识点1 正切的定义,6.2020福建宁德期末在RtABC中,C=90,若tan A=2 5,则tan B=.,答案,6.5 2【解析】由题意,知tan A=2 5,所以tan B=5 2.,知识点1 正切的定义,7.2020陕西宝鸡期末在55的正方形网格中,AOB如图所示,则tanAOB=.,答案,7.2【解析】如图,连接CD,则tanAOB=tanCOD=2 1=2.,知识点1 正切的定义,在网格中求锐角的正切值的方法在网格中求某一锐角的正切值时,要借助网格的特点,将涉及的锐角放在某格点直角三角形中,利用网格的单位长度求出直角三角形的各边长,再利用正切的定义求出锐角的

5、正切值.,归纳总结,8.如图,梯子与地面所成的锐角为BAC.关于BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系,下列叙述正确的是()A.tanBAC的值越大,梯子越缓B.tanBAC的值越小,梯子越陡C.tanBAC的值越大,梯子越陡 D.梯子的陡缓程度与BAC的正切值无关,答案,8.C,知识点2 梯子的倾斜程度与正切的关系,9.如图,梯子AB和EF中,更陡的是()A.一样陡B.梯子ABC.梯子EFD.不能确定,答案,9.C【解析】tan B=4 1.5=8 3,tan F=3.5 1.2=35 12,35 12 8 3,故梯子EF更陡.故选C.,知识点2 梯子的倾斜程度与正切的关系,10.如图所示是一水

6、库大坝的横截面的一部分,坝高h=6 m,迎水坡AB=10 m,斜坡的坡角为,则该斜坡的坡度是()A.3 5 B.4 5 C.4 3 D.3 4,答案,10.D【解析】斜坡的坡度实际上是坡角的正切值,因此过点A作AH垂直坝底于点H,则AH=6 m.在RtAHB中,AHB=90,由勾股定理可得,HB=2 2=1 0 2 6 2=8(m),所以tan=6 8=3 4.故选D.,知识点3 坡度(或坡比)与坡角,11.2020山东泰安期末一辆小车沿某斜坡向上行驶,斜坡的坡度为12.4,若小车上升的高度为5米,则小车行驶的距离为()A.10米B.12米C.13米D.15米,答案,11.C【解析】如图,由题

7、意知,tan B=1 2.4,AC=5米,所以BC=12 米.在RtABC中,由勾股定理,得AB=1 2 2+5 2=13(米),所以小车行驶的距离为13米.故选C.,知识点3 坡度(或坡比)与坡角,12.2020辽宁鞍山二模如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为20 cm,宽为30 cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起始点为A,斜坡的起始点为C,若设计斜坡的坡度i=1 5,则AC的长度是cm.,答案,12.240【解析】过点B作BDAC于点D,则BD=60 cm,AD=60 cm.在RtBCD中,tanBCD=i=1 5,所以CD=300 cm,所以AC=CD-AD=24

8、0 cm.,知识点3 坡度(或坡比)与坡角,将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,即可把条件和问题放到直角三角形中进行求解.,名师点睛,1.2020安徽阜阳一模如图,在RtABC中,ACB=90,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则ACD的正切值是()A.4 3 B.3 5 C.5 3 D.3 4,答案,1.D【解析】由题意知,CD=AD,A=ACD.ACB=90,BC=6,AC=8,tan A=6 8=3 4,tanACD=3 4.故选D.,2.2019辽宁葫芦岛连山区一模如图,在ABC中,C=90,tan A=12 5,ABC的周长为60,则ABC的面积为()A.60B.30C.

9、240D.120,答案,2.D【解析】在ABC中,C=90,则tan A=12 5,设BC=12x(x0),则AC=5x,根据勾股定理,得AB=13x.由题意,得12x+5x+13x=60,解得x=2,所以BC=24,AC=10,所以ABC的面积为 1 2 BCAC=120.故选D.,3.2020山东泰安期末在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,ABC的顶点都在格点上,则tanBAC的值为()A.3 5 10 B.2 5 5 C.1 2 D.5 5,答案,3.C【解析】如图,连接格点D,C,易得CDAB,AD=2DC,tanBAC=1 2.故选C.,4.2020广东深圳中考如图,为了测量一

10、条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P,Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70方向,则河宽(PT的长)可以表示为米.,答案,4.200 tan 70【解析】在RtPQT中,QPT=90,PTQ=70,tan 70=,PT=tan 70=200 tan 70,即河宽为 200 tan 70 米.,5.2020吉林长春期中如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tan C=.,答案,5.4 3【解析】如图,连接BD.由E,F分别是AB,AD的中点,易知BD=2EF=4.BD2+CD2=42+32=BC2,B

11、CD是直角三角形,tan C=4 3.,6.如图,在RtBAD中,延长斜边BD到点C,使DC=1 2 BD,连接AC,若tan B=5 3,则tanCAD的值为.,答案,6.1 5【解析】如图,过点C作CEAD交AD的延长线于点E,则易证CDE BDA,所以=1 2.设AD=5a(a0),结合tan B=5 3,则AB=3a,DE=2.5a,CE=1.5a,所以AE=7.5a,所以tanCAD=1.5 7.5=1 5.,7.2020上海杨浦区一模如图,在四边形ABCD中,B=D=90,AB=3,BC=2,tan A=4 3,则CD=.,答案,7.6 5【解析】如图,延长AD交BC的延长线于点E

12、.在RtABE中,tan A=4 3,AB=3,BE=4,EC=BE-BC=4-2=2.在ABE和CDE中,B=EDC=90,E=E,DCE=A,tanDCE=tan A=4 3.设DE=4x(x0),则CD=3x,在RtDCE中,由勾股定理得4=16x2+9x2,x=2 5,CD=6 5.,8.如图,已知钝角三角形ABC,点D在BC的延长线上,连接AD,若ACB=2D,AD=2,AC=3 2,求tan D的值.,答案,8.【解析】如图,过点C作CHAD于点H,ACB=2D,ACB=D+CAD,D=CAD,CD=AC=3 2,AH=HD=1 2 AD=1.在RtCHD中,CHD=90,由勾股定

13、理,得CH=2 2=(3 2)2 1 2=5 2,tan D=5 2.,9.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将CDE折叠,使点D恰好落在AB边上的点F处,求tanAFE的值.,答案,9.【解析】在矩形ABCD中,B=D=90,CD=AB=10,根据折叠的性质,得EFC=D=90,CF=CD=10,AFE+BFC=180-EFC=90.BCF+BFC=90,AFE=BCF.在RtBCF中,BC=8,CF=10,由勾股定理易得BF=6,tanBCF=6 8=3 4,tanAFE=3 4.,对于折叠问题,折叠前后会出现相等的边和角,利用这一特性,可以实现边和角的

14、转化.,名师点睛,10.如图是一水坝的横截面,ADBC,斜坡AB的坡度i=13,坝顶宽BC=3 m,坝高为4 m,斜坡CD=5 m.(1)比较斜坡AB和CD哪个更陡;(2)求坝底宽AD的长.,答案,10.【解析】(1)如图,过B,C两点分别作BEAD于点E,CFAD于点F,由题可知BE=CF=4 m.在RtCDF中,CFD=90,CF=4 m,CD=5 m,DF=2 2=3 m,tan D=4 3.斜坡AB的坡度i=1 3 4 3,斜坡CD更陡.(2)tan A=1 3,BE=4 m,AE=12 m.BE,CF分别垂直于AD,BECF,又BCAD,四边形BCFE是平行四边形,EF=BC=3 m

15、,AD=AE+EF+DF=12+3+3=18(m).,1锐角三角函数,课时2正弦和余弦,课时2,1.2020广西河池中考在RtABC中,C=90,BC=5,AC=12,则sin B的值是()A.5 12 B.12 5 C.5 13 D.12 13,答案,1.D【解析】如图,在RtABC中,C=90,BC=5,AC=12,由勾股定理,得AB=5 2+1 2 2=13,sin B=12 13.故选D.,知识点1 正弦的定义,2.2020四川雅安中考如图,在RtACB中,C=90,sin B=0.5,若AC=6,则BC的长为()A.8B.12C.6 3 D.12 3,答案,2.C【解析】在RtACB

16、中,sin B=6=0.5,AB=12,BC=2 2=14436=6 3.故选C.,知识点1 正弦的定义,3.2020山东青岛期中如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为点D,如果BC=3,AC=4,那么sinBCD=.,答案,3.3 5【解析】ACB=90,A+B=90.CDAB,BCD+B=90,BCD=A.在RtABC中,BC=3,AC=4,由勾股定理,得AB=2+2=5,sinBCD=sin A=3 5.,知识点1 正弦的定义,4.如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cos A的值是()A.2 B.1C.2 2 D.1 2,答案,4.C【解析】

17、如图,过点B作BDAB交AC于点D,所以ABD=90.在RtABD中,AB=BD=2,由勾股定理可知,AD=2+2=2 2,所以cos A=2 2 2=2 2.故选C.,知识点2 余弦的定义,正切、正弦和余弦的概念易混淆,需仔细区分,可以简记为“正切对比邻,正弦对比斜,余弦邻比斜”.,归纳总结,5.2020广西北海期末在RtABC中,C=90,sin A=3 4,则cos B=()A.3 5 B.4 5 C.3 4 D.4 3,答案,5.C【解析】在RtABC中,C=90,sin A=3 4,所以cos B=3 4.故选C.,知识点2 余弦的定义,6.2020四川成都成华区模拟如图,在RtAB

18、C中,C=90,BC=2AC,则cos A=()A.1 2 B.5 2 C.2 5 5 D.5 5,答案,6.D【解析】设AC=a(a0),则BC=2a.在RtABC中,AB=2+2=5 a,cos A=5=5 5.故选D.,知识点2 余弦的定义,7.如图,在ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC,AC于点D,E,连接BE.若BE=9,BC=12,则cos C=.,答案,7.2 3【解析】因为DE是BC的垂直平分线,所以EC=BE=9,BD=DC=6,EDC=90,所以cos C=6 9=2 3.,知识点2 余弦的定义,8.2019浙江金华中考如图,矩形ABCD的对角线交于点O.已知

19、AB=m,BAC=,则下列结论错误的是()A.BDC=B.BC=mtan C.AO=2 sin D.BD=cos,答案,8.C【解析】四边形ABCD是矩形,ABC=DCB=90,AO=OB=CO=DO,OBC=OCB,BDC=BAC=,故A选项结论正确;在RtABC中,tan=,cos=,BC=mtan,AC=cos,BD=AC=cos,AO=2 cos,故B,D选项结论正确,C选项结论错误.故选C.,知识点3 锐角三角函数,9.2020黑龙江哈尔滨道外区期末如图,在ABC中,C=90,sin A=3 7,点D为边AC上一点,若BDC=45,DC=6 cm,则ABC的面积为cm2.,答案,9.

20、12 10【解析】在RtBCD中,BDC=45,DC=6 cm,BC=6 cm.在RtABC中,sin A=,AB=6 3 7=14(cm),AC=14 2 6 2=4 10(cm),ABC的面积为 1 2 64 10=12 10(cm2).,知识点3 锐角三角函数,10.在RtABC中,C=90,tan A=2,求sin A及cos A的值.,答案,10.【解析】如图,在RtABC中,C=90,tan A=2,=2,即BC=2AC,AB=2+2=(2)2+2=5 AC,sin A=2 5=2 5 5,cos A=5=5 5.,知识点3 锐角三角函数,11.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原

21、点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,OB=5,sinBOA=3 5.(1)求点B的坐标;(2)求cosBAO的值.,知识点3 锐角三角函数,答案,11.【解析】(1)过点B作BCOA于点C.OB=5,sinBOA=3 5,BC=3,OC=2 2=5 2 3 2=4,又点B在第一象限内,点B的坐标为(4,3).(2)A(10,0),OC=4,AC=6,AB=2+2=6 2+3 2=3 5,cosBAO=AC AB=6 3 5=2 5 5.,知识点3 锐角三角函数,1.已知甲、乙两坡的坡角分别为,若甲坡比乙坡更陡些,则下列结论正确的是()A.tan tan B.sin sin C.co

22、s cos D.,答案,1.C【解析】甲坡比乙坡更陡,意味着坡角,而角度越大,其正弦值、正切值越大,余弦值越小.故选C.,2.2019浙江杭州中考如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,BCO=x,则点A到OC的距离等于()A.asin x+bsin xB.acos x+bcos xC.asin x+bcos xD.acos x+bsin x,答案,2.D【解析】过点A作AEOB于点E.ABC=90,ABE+OBC=90.BOC=90,OBC+BCO=90,ABE=BCO=x.在RtABE中,BE=ABcosABE=acos

23、x.在RtBCO中,BO=BCsin x=ADsin x=bsin x,故点A到OC的距离等于BE+BO=acos x+bsin x.故选D.,3.2020山东枣庄期末定义:在等腰三角形中,底边与腰的比叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sad A,即sad A=底边腰.如图,在ABC中,AB=AC,A=4B,则cos Bsad A=()A.1B.3 2 C.3 2 D.3 4,答案,3.B【解析】AB=AC,B=C,又BAC=4B,BAC+B+C=180,6B=180,解得B=30.如图,过点A作ADBC于点D,设AD=a(a0),则AB=2a,BD=3 a.BC=2BD,BC=2 3 a,sa

24、dBAC=3.在RtABD中,cos B=3 2,cos BsadBAC=3 2 3=3 2.故选B.,4.原创题民间流传一谚语“山上多栽树,等于修水库”.如图,某村准备在坡角为的山坡上栽树,如果要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么为了达到要求,村民只需保证相邻两树在坡面上的距离(AB)为米.,答案,4.5 cos【解析】由题意可得cos=5,所以AB=5 cos 米.,5.易错题在ABC中,AB=AC=5,BD是高,且cosABD=3 5,则CD=.,答案,5.1或9【解析】分两种情况:若ABC是锐角三角形,如图1,BD是AC边上的高,BDA=90,在RtABD中,AB=5,cosABD=

25、3 5,BD=3,AD=2 2=4,CD=AC-AD=5-4=1;若ABC是钝角三角形,如图2,BD是AC边上的高,BDA=90,在RtABD中,AB=5,cosABD=3 5,BD=3,AD=2 2=4,CD=AC+AD=5+4=9.综上,CD=1或9.,6.如图,在ABC中,CDAB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tan A=3 2,求sin B+cos B的值.,答案,6.【解析】CDAB,ACD和BCD均为直角三角形.在RtACD中,tan A=3 2,CD=6,AD=2 3=4,BD=AB-AD=12-4=8.在RtBCD中,由勾股定理可得BC=2+2=10,sin B=6 10

26、=3 5,cos B=8 10=4 5,sin B+cos B=3 5+4 5=7 5.,7.2019贵州贵阳中考如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD,CE.(1)求证:四边形BCED是平行四边形.(2)若DA=DB=2,cos A=1 4,求点B到点E的距离.,答案,7.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC.DE=AD,DE=BC,四边形BCED是平行四边形.(2)如图,连接BE.DA=DB=2,DE=AD,AD=BD=DE=2,又由(1)知四边形BCED是平行四边形,四边形BCED是菱形,BEDC,ABBE,ABE=90.cos

27、 A=1 4,AE=4,AB=1,BE=2 2=15,即点B到点E的距离为 15.,8.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,将BCE沿BE折叠得到BFE,点F落在边AD上.(1)求证:ABFDFE.(2)若sinDFE=1 3,求tanEBC的值.,答案,8.【解析】(1)由题意可得,A=D=C=BFE=90,AFB+DFE=180-BFE=90,又AFB+ABF=90,ABF=DFE,ABFDFE.(2)由折叠可得FB=BC,EF=EC.sinDFE=1 3,=1 3,即EF=3DE,AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF=2 2=2 2 DE.ABFDFE,=,FB=34 2

28、2=3 2 DE,又FB=BC,EF=EC,tanEBC=3 3 2=2 2.,9.如图,根据提供的数据回答下列问题:(1)在图1中,tan A=,sin cos=;在图2中,tan A1=,sin 1 cos 1=.通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律?用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.(2)根据(1),请完成下列问题.已知tan=2,求 sin+3 cos 2 sin cos 的值.,答案,9.【解析】(1)4 3 4 3 12 5 12 5 规律:对于任意锐角,有tan=sin cos.证明:如图,在RtA2B2C2中,tan=,sin cos=,tan=sin cos

29、.(2)sin+3 cos 2 sin cos=sin cos+3 cos cos 2 sin cos cos cos=tan+3 2 tan 1.tan=2,原式=2+3 41=5 3.,230,45,60角的三角函数值,1.2cos 60=()A.1B.3 C.2 D.1 2,答案,1.A【解析】2cos 60=2 1 2=1.故选A.,知识点1 30,45,60角的三角函数值,2.计算 2 sin 45-tan2 60的值是()A.1B.2C.-2D.-1,答案,2.C【解析】2 sin 45-tan260=2 2 2-(3)2=-2.故选C.,知识点1 30,45,60角的三角函数值,

30、3.2020安徽淮北相山区期末下列计算错误的有()sin 60-sin 30=sin 30;sin245+cos245=1;tan2 45=1 2;tan 30=cos 30 sin 30.A.1个B.2个C.3个D.4个,答案,3.C【解析】sin 60-sin 30=3 2 1 2,sin 30=1 2,故错误;sin245+cos245=(2 2)2+(2 2)2=1 2+1 2=1,故正确;tan2 45=12=1,故错误;tan 30=3 3,cos 30 sin 30=3 2 1 2=3,故错误.所以错误的共有3个.故选C.,知识点1 30,45,60角的三角函数值,4.2019浙

31、江杭州期末计算:cos245-tan 30sin 60=.,答案,4.0【解析】cos245-tan 30sin 60=1 2 3 3 3 2=1 2 1 2=0.,知识点1 30,45,60角的三角函数值,5.2020上海虹口区一模计算:2co s 2 30 sin 30 tan 2 604 cos 45.,答案,5.【解析】2co s 2 30 sin 30 tan 2 604 cos 45=2(3 2)2 1 2(3)2 4 2 2=2 3 4 1 2 32 2=1 32 2=3+2 2.,知识点1 30,45,60角的三角函数值,有关特殊角的三角函数值化简计算的策略当题目中涉及特殊角的

32、三角函数值的计算时,一般步骤为:正确代入特殊角的三角函数值;根据运算顺序(先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的)进行化简计算.,归纳总结,6.2019湖南怀化中考已知为锐角,且sin=1 2,则=()A.30B.45 C.60 D.90,答案,6.A,知识点2 已知特殊角的三角函数值求角,7.在ABC中,tan A=3,则cos A的值为()A.1 2 B.2 2 C.3 2 D.3 3,答案,7.A【解析】在ABC中,tan A=3,则A=60,所以cos A=1 2.故选A.,知识点2 已知特殊角的三角函数值求角,8.2020辽宁抚顺模拟在ABC中,若tan A

33、=1,sin B=2 2,则下列你认为最确切的判断是()A.ABC 是等腰三角形B.ABC 是直角三角形C.ABC 是等腰直角三角形D.ABC是一般锐角三角形,答案,8.C【解析】在ABC中,由tan A=1,sin B=2 2,可得A=45,B=45,所以A=B,C=90,所以ABC 是等腰直角三角形.故选C.,知识点2 已知特殊角的三角函数值求角,9.2020山东淄博期末如图,在RtABC中,B=90,若BC=3 2 AC,则tan A=.,答案,9.3【解析】BC=3 2 AC,B=90,sin A=3 2,A=60,tan A=3.,知识点2 已知特殊角的三角函数值求角,10.若锐角满

34、足tan(+15)=1,则cos=.,答案,10.3 2【解析】由为锐角,tan(+15)=1,可得+15=45,所以=30,所以cos=cos 30=3 2.,知识点2 已知特殊角的三角函数值求角,11.2020湖南长沙中考从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30时,船离灯塔的水平距离是()A.42 3 米B.14 3 米C.21米D.42米,答案,11.A【解析】设船离灯塔的水平距离为s米,依题意,得tan 30=42,所以s=42 tan 30=42 3.故选A.,知识点3 特殊角的三角函数值的应用,12.2020江西赣州模拟如图,平地上一棵树高为6米,两次观察其在地面上的影

35、子,第一次观察是当光线与地面成60角时,第二次观察是当光线与地面成30角时,则第二次观察到的影子比第一次长米.,答案,12.4 3【解析】第一次观察到的影子长为 6 tan 60=2 3(米),第二次观察到的影子长为 6 tan 30=6 3(米),所以第二次观察到的影子比第一次长6 3-2 3=4 3(米).,知识点3 特殊角的三角函数值的应用,13.如图,在ABC中,B=60,sin C=4 5,AC=10,求AB的长.,答案,13.【解析】如图,过点A作ADBC于点D,在RtACD中,sin C=4 5,AC=10,AD=8.在RtABD中,B=60,sin B=,sin 60=8=3

36、2,AB=16 3 3.,知识点3 特殊角的三角函数值的应用,14.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内滑梯的倾斜角由45降为30,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C在同一水平线上.求改造后滑梯会加长多少米.(结果精确到0.01米.参考数据:2 1.414,3 1.732,6 2.449),答案,14.【解析】在RtABC中,AB=5米,ABC=45,AC=ABsin 45=5 2 2=5 2 2(米).在RtADC中,ADC=30,AD=2AC=5 2(米),AD-AB=5 2-551.414-5=2.07(米).故改造后滑梯会加长约2.07米.,知识点3 特殊角的三角函数值的应用

37、,1.在ABC中,A,B都是锐角,若|sin A-1 2|+(cos B-1 2)2=0,则C的度数是()A.30B.45C.60D.90,答案,1.D【解析】由题意,知|sin A-1 2|=0,(cos B-1 2)2=0,所以sin A=1 2,cos B=1 2,所以A=30,B=60,所以C=180-A-B=90.故选D.,(1)若几个非负数的和为0,则这几个非负数同时为0;(2)由三角函数值反过来求角的度数时,一定要注意求的角是否为锐角.,名师点睛,2.2020 浙江绍兴一模按如图所示的运算程序,能使输出的y值为 1 2 的是()A.=60,=45B.=30,=45C.=30,=3

38、0D.=45,=30,答案,2.C【解析】A项,=60,=45,则y=sin=sin 60=3 2;B项,=30,=45,则y=sin=sin 45=2 2.故选C.,3.2020福建福州期末如图,在ABC中,A=30,tan B=3 2,AC=2 3,则AB=()A.3+3 B.2+2 3 C.5D.9 2,答案,3.C【解析】过点C作CDAB于点D,ADC=CDB=90.在RtACD中,A=30,AC=2 3,CD=3,AD=3.在RtBCD中,tan B=3 2,BD=2,AB=AD+BD=3+2=5.故选C.,4.在ABC中,若sin B=cos(90-C)=1 2,则A的度数为.,答

39、案,4.120【解析】在ABC中,sin B=cos(90-C)=1 2,所以90-C=60,B=30,所以C=30,所以A的度数为180-30-30=120.,5.已知cos2-cos+1 4=0,则锐角的度数为.,答案,5.60【解析】cos2-cos+1 4=(cos-1 2)2=0,所以cos=1 2,所以锐角的度数为60.,6.已知为锐角,当 2 1 tan 无意义时,tan(+15)-tan(-15)的值是.,答案,6.2 3 3【解析】当 2 1 tan 无意义时,tan=1,因为为锐角,所以=45,所以tan(+15)-tan(-15)=tan 60-tan 30=3 3 3=

40、2 3 3.,本题的突破点在于根据分式无意义的条件,可以得出tan=1,从而确定锐角的度数,然后利用特殊角的正切值来进行计算.,名师点睛,7.2020山东潍坊潍城区期中在ABC中,AB=6 3,AC=6,cos B=3 2,则BC的长为.,答案,7.12或6【解析】过点A作ADBC于点D.如图1,当AD在ABC的内部时,cos B=3 2,B=30.在RtABD中,AD=ABsin 30=3 3,BD=ABcos 30=6 3 3 2=9.在RtADC中,CD=6 2(3 3)2=3,BC=BD+CD=9+3=12.同理,如图2,当AD在ABC的外部时,BC=BD-CD=9-3=6.综上所述,

41、BC的长为12或6.,8.2020上海青浦区一模计算:3tan 30-1 cos 60+2 2 cos 45+(1 tan 60)2.,答案,8.【解析】3tan 30-1 cos 60+2 2 cos 45+(1 tan 60)2=3 3 3 1 1 2+2 2 2 2+(1 3)2=3-2+2+3-1=2 3-1.,9.2020河南焦作期末如图,小巷左右两侧是竖直的墙,梯子AC斜靠在右墙时,测得梯子与地面的夹角为45,梯子底端与墙的距离CB=2米,若梯子底端C的位置不变,将梯子斜靠在左墙,测得梯子与地面的夹角为60,则此时梯子的顶端与地面的距离AD是多少米?,答案,9.【解析】在RtABC

42、中,BCA=45,AB=BC=2米,AC=2+2=2 2+2 2=2 2(米),AC=AC=2 2 米.在RtADC中,AD=ACsin 60=2 2 3 2=6(米),此时梯子的顶端与地面的距离AD是 6 米.,10.如图,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30 m,BC=70 m,CAB=120,请计算A,B两个凉亭之间的距离.,答案,10.【解析】如图,过点C作CDAB交BA的延长线于点D.在RtCDA中,AC=30 m,CAD=180-CAB=180-120=60,CD=ACsinCAD=30sin 60=15 3(m),AD=AC

43、cosCAD=30cos 60=15(m).在RtCDB中,BC=70 m,BD2=BC2-CD2,BD=7 0 2(15 3)2=65(m),AB=BD-AD=65-15=50(m).故A,B两个凉亭之间的距离为50 m.,11.要求tan 30的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作RtABC,使C=90,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3,ABC=30,tan 30=1 3=3 3.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan 15的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan 15的值.,答案,11.【解析】如图,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,则D=15.因为

44、BD=AB=2,所以DC=BD+BC=2+3,所以tan 15=1 2+3=2-3.,3三角函数的计算,1.计算器的按键顺序是,实际上它是求一个角的正弦值,则这个角的度数为()A.753825B.253857C.382575D.572538,答案,1.A【解析】明确按键顺序,虽然按了三次,但它会按顺序自动生成度、分、秒,所以这个角的度数是753825.故选A.,知识点1 用计算器求锐角的三角函数值,2.利用计算器求cos 26.5的值约为()A.0.845 2B.0.707 0C.0.894 9D.0.898 8,答案,2.C,知识点1 用计算器求锐角的三角函数值,3.利用计算器求下列各式的值

45、.(结果保留小数点后三位)(1)sin 35;(2)cos 6218;(3)tan 152436.,答案,3.【解析】(1)sin 350.574.(2)cos 62180.465.(3)tan 1524360.276.,知识点1 用计算器求锐角的三角函数值,4.已知sin A=0.234 5,则锐角A的度数约为()A.13.56B.1356C.3116D.31.56,答案,4.A【解析】已知角的三角函数值,求角的度数,就要先按计算器的SHIFT,后面的按键顺序为sin02345=,结果是13.56.故选A.,知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数,5.2020山东烟台莱山区一模如图,

46、在ABC中,C=90,BC=2,AC=3,若用科学计算器计算A的度数,且计算结果以“度、分、秒”为单位,则下列按键顺序正确的是(),答案,5.D【解析】由题意,得tan A=2 3,所以按键顺序为 SHIFTtan(23)=.故选D.,知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数,6.已知cos A=0.576 9,则A.(精确到1),答案,6.5446,知识点2 已知三角函数值,用计算器求锐角的度数,7.2019山东德州中考如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得ABO=70,如果梯子的底端B外移到D,那么梯子顶端A下移到C,这时又测得CDO=50,则AC的长度约为米.

47、(精确到0.01米.sin 700.94,sin 500.77,cos 700.34,cos 500.64),答案,7.1.02【解析】在RtABO中,ABO=70,AB=6米,sin 70=6,AO5.64米.在RtCDO中,CDO=50,DC=6米,sin 50=6,CO4.62 米,AC5.64-4.62=1.02(米).,知识点3 利用三角函数解决实际问题,8.2019浙江台州中考图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图.已知车杆AB长92 cm,车杆与脚踏板所成的角ABC=70,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 700.

48、94,cos 700.34,tan 702.75),答案,8.【解析】如图,过点A作ADBC于点D,延长AD交地面于点E,在RtABD中,sinABD=,AD=ABsinABD=92sin 70920.94=86.48(cm).DE=6 cm,AE=AD+DE92.5 cm,把手A离地面的高度约为92.5 cm.,知识点3 利用三角函数解决实际问题,9.如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tan=3 4,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6,求小山岗的高AB.(结果取整数.参考数据:sin 26.60.45,cos 26.60.89,tan 26.60.50),答案,9.【解析】

49、设AB=x米,在RtABC中,tan=3 4,BC=4 3 x米.在RtABD中,tan 26.6=+200=4 3+200,x300,小山岗的高AB约为300米.,知识点3 利用三角函数解决实际问题,4解直角三角形,1.在RtABC中,BC=3,AC=3,C=90,则A的度数是()A.30B.40C.45D.60,答案,1.D【解析】在RtABC中,BC=3,AC=3,C=90,所以tan A=3 3=3,所以A=60.故选D.,知识点1 已知两边解直角三角形,2.在RtABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=90,a=5,c=5 2,则B=,b=.,答案,2.455【解析】因为s

50、in A=5 5 2=2 2,所以A=45,所以B=90-A=45,所以B=A,所以b=a=5.,知识点1 已知两边解直角三角形,3.如图,在RtABC中,C=90,BC=2 6,AC=6 2,求这个三角形的其他元素.,答案,3.【解析】在RtABC中,C=90,BC=2 6,AC=6 2,tan A=2 6 6 2=3 3,A=30,B=90-A=60,AB=2BC=4 6.故A=30,B=60,AB=4 6.,知识点1 已知两边解直角三角形,(1)解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边.(2)解直角三角形时要注意发现已知和未知之间的联系,充分利用三角函数的定义来列式求值