北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》ppt课件.pptx

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1、5.1 认识分式（第1课时）,北师大版 八年级 数学 下册,（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（）秒；（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（）秒；（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（）秒.,填空：乐乐同学参加百米赛跑,（4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为()cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为().,（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元.,（8a+b）,1.了解分式的概念.,2.理解分式有意义的条件及分式

2、值为零的条件.,3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件,做一做：请将上面问题中得到的式子分类：,单项式：多项式：,既不是单项式也不是多项式：,8a+b.,8a+b,整式,分式的概念,它们有什么相同点和不同点？,相同点,不同点,（观察分母）,从形式上都具有分数 形式,分母中是否含有字母,（分子f、分母 g 都是整式）,想一想：式子,分式的定义,一般地，用A，B表示两个整式，AB可以表示成 的形式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.,注意：（1）分式也是代数式；（2）分式是两个整式的商，它的形式是（其中A，B都是整

3、式并且还要求B是含有字母的整式）；（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.,结论,（1）分式与分数有何联系？,分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.,整数,整数,整式,整式,(分母含有字母）,分数,分式,类比思想,特殊到一般思想,思考：,整数,分数,整式,分式,有理数,有理式,数、式通性,(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？,数的扩充,式的扩充,代数式,无理式,类比思想,想一想：,下面的式子哪些是分式？,分式:,判一判：,1.判断时，注意含有 的式子，是常数.,2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：.,下列各式中,分式有()A

4、.2个B.3个C.4个D.5个,B,分式的概念,例,提示：辨别分式的“两个关键”,看形式是否为 的形式(A、B为整式)看分母分母B中必须含有字母,下列各式:其中分式共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,B,想一想：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式 中的分母应满足什么条件？,当B=0时，分式 无意义.当B0时，分式 有意义.,分式有意义的条件,思考：已知分式,(1)当 x=3 时，分式的值是多少?,(2)当x=-2时，你能算出来吗?,不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.,即当x_时，分式有意义.,(3)当x为何值时，分式有意义？,当 x=3 时，分

5、式值为,一般到特殊思想,类比思想,-2,若代数式 有意义,则实数x的取值范围是()A.x=-1 B.x=3C.x-1 D.x3,D,分式有无意义的条件,例1,分式有、无意义的条件的注意事项1.分式有意义分母不为零,分式无意义分母为零.2.在确定分式有无意义时,不能对分式进行约分,否则会扩大字母的取值范围.,（1）当a=1,2，-1时，分别求出分式 的值；,（2）当a取何值时，分式有意义？,解：（1）当a=1时，,当a=2时，,当a=-1时，,（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.,由分母2a-1=0，得,所以，当 时，分式 有意义.,例2,已知分式 有意义，则x应满足

6、的,条件是()A.x1 B.x2 C.x1且x2 D.以上结果都不对,方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.,C,想一想：分式 的值为零应满足什么条件？,当f=0而 g0时，分式 的值为零.,注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.,分式值为零的条件,解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.,x-1.,而x+10，,x=1，,则x2-1=0，,例 当x为何值时，分式 的值为零?,分式值为零的条件,分式值为零的求法(1)利用分子等于0,构建方程.(2)解方程,求出所含字母的值.(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母为0,

7、不为0此值即为所求,否则,应舍去.(4)写出答案.,下列判断错误的是()A.当a0时,分式 有意义B.当a=2时,分式 的值为0C.当a2时,分式 的值为正D.当a=-2时,分式 的值为0,D,（2020衡阳）要使分式 有意义，则x的取值范围是(),A.x1B.x1 C.x1D.x0,B,1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？,（1）5x-7;（2）（3）3x2-1;（4）（5）（6）（7）（8）,解：整式：（1）（2）（3）（8）；分式：（4）（5）（6）（7）.,2.求下列条件下分式 的值.（1）x=3；（2）x=0.4.,解：（1）当 x=3 时，,（2）当x=0.4时，,3.下列分式

8、中,无论x取何值,分式总有意义的是(),B,解:式子 无意义,3y-1=0,解得y=原式=y2-x2+x2=y2=,4.若式子 无意义,求代数式(y+x)(y-x)+x2的值.,分式 的值为.,因此当时，,（2）当 x-2=0，,即 x=2 时，,解:（1）当2x-3=0，即 时，,分式的值不存在；,5.当x取什么值时，分式 的值.（1）不存在；（2）等于0？,有2x-3=1 0，,1.（1）当 时，分式 的值为零.,x=2,（2）若 的值为零，则x,3,2.若分式 的值为正整数,则整数a的值有()A.3个B.4个C.6个D.8个,B,分式,定义,值为零的条件,有意义的条件,分式 有意义的条件

9、是 g 0.,分式 值为零的条件是 f=0且g 0.,一个整式 f 除以一个非零整式g（g中含字母）所得的商.,5.1 认识分式（第2课时）,北师大版 八年级 数学 下册,分数的 基本性质,分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.,2.这些分数相等的依据是什么？,1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？,1.理解并掌握分式的基本性质.,2.会运用分式的基本性质进行分式的约分.,思考：下列两式成立吗？为什么？,分式的基本性质,分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.,原因：分数的基本性质,即对于任意一个分数 有：,想一想：类比分数

10、的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？,思考：你认为分式 与；分式 与 相等吗？（a，m，n均不为0）,分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.,上述性质可以用式子表示为：,其中A,B,C是整式.,结论,想一想:运用分式的基本性质应注意什么?,(1)“都”,(2)“同一个”,(3)“不为0”,想一想,分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两个符号，分式的值不变；若只改变其中的一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数,结论,不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“”号(1)(2)(3),解：（1）原式=,（2）原式=,（3）原式=,做一做,

11、下列等式的右边是怎样从左边得到的？,例1,分式的基本性质,应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意(1)两个步骤:观察分析:对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同乘(或除以)的_;应用性质:根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形.,整式,(2)三点注意:注意分式变形前后的值要_;注意分式的分子和分母要同乘或同除以,不能只对分子或只对分母进行变形;所乘(或除以)的整式不能为_.,相等,零,填空：,2x（x+y）,2xy,2xy,3x,y-2,(x-y)2,例2 如果把分式 中的x和y都扩大为原来的5倍,那么分式的值()A.扩大为原来的5倍 B.扩大为原来的1

12、0倍C.不变 D.缩小为原来的,A,下列变形正确的是（）,D,想一想：联想分数的约分，你能想出如何对分式进行约分？,（）,（）,与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.,分式的约分,把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分,约分的定义,结论,在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：小明：,你对他们俩的解法有何看法？说说看！,一般约分要彻底,使分子、分母没有公因式.,议一议：,结论,判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.,最简分式的定义,分子和分母都没有公因式的

13、分式叫做最简分式.,结论,注意：,约分的基本步骤,（1）若分子分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；（2）若分子分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子分母所有的公因式,注意事项：（1）约分前后分式的值要相等.（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.,化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式.,解：,分式的化简,例1,化简下列分式:,关于约分的三点说明：(1)根据:分式的基本性质.(2)关键:确定分式分子与分母的公因式.确定公因式的步骤:确定系数,取分子与分母系数

14、的最大公约数;确定字母(因式),取分子与分母中都含有的字母(因式);确定字母(因式)的次数,都含有的字母(因式)的指数取次数最低的.(3)结果:最简分式或整式.,约分:,分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.,解：,(公因式是5abc),解：,分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.,例2 下列分式中,最简分式是(),B,最简分式,最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.,将分式 化为最简分式,所得结果是

15、_.,（2020湖州）化简：.,1.下列约分正确的是(),C,3.分式 可变形为(),D,2.已知=_.,答：解法不对,错在第一步,分子与分母所乘的不是同一个不为零的整式.,5.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.（1）（2）,解：,（1）,（2）,1.已知:求代数式 的值.,解:设t=0,则 x=2ty=3tz=4t将代入代数式 得 所以,代数式 的值是.,2.已知y=3xy+x,求代数式 的值.,解:因为y=3xy+x,所以x-y=-3xy.当x-y=-3xy时,分式的基本性质,内容,作用,分式进行约分的依据,注意,(1)分子分母同时进行；,(2)分子分母只能同乘或

16、同除，不能进行同加或同减；,(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；,(4)除式是不等于零的整式,进行分式运算的基础,5.2 分式的乘除法,北师大版 八年级 数学 下册,1.一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?,长方体容器的高为,水高为,解：,2.大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?,大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的()倍.,解：,1.掌握分式的乘除运算法则.,2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算.,3.能

17、解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题,想一想：类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？,1.填空：,分式的乘除,类似于分数，分式有：,乘法法则：,两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.,除法法则：,两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.,上述法则用式子表示为：,结论,对于，小明是这样计算的：,他的计算过程正确吗？为什么？,乘除属于同级运算，应按从左向右的顺序计算.,想一想：,1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：将原分式中含同一字母的

18、各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式),分式乘除法的解题步骤,结论,计算：,在分式的运算中，结果通常要化成最简分式或整式.,解：,分式的乘除,例1,（1）,（2）,计算：,例2,解：原式,（1）,注意1：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤：把分式除法运算变成分式乘法运算；求分式的积；确定积的符号；约分.,化除法为乘法,分式的分子和分母是多项式，先要对分子和分母进行因式分解,约分化为最简分式,解：原式,（2）,注意2：分子或分母是多项式的分

19、式乘除法的解题步骤是：除法转化为乘法；把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；约去分子与分母的公因式.,计算:,解：,（1）,（2）,(1),解：原式,；,；,(2),解：原式,.,.,1.根据乘方的意义计算下列各式：,分式的乘方,2.类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？,想一想：,一般地，当n是正整数时，,这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.,乘方符号法则：奇负偶正,目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？,(1)aman am+n；(2)amanam-n；(3)(am)namn；(4)(ab)nanbn；,想一想：,(5),分式的乘方法则,理解要点：,（1）分式乘方时，一定要把

20、分子、分母分别乘方，不要把 写成.,（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.,（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.,结论,例1 化简:,解：原式=,含乘方的分式乘除混合运算,下列运算中正确的是(),D,分式的乘除法应用,做一做:购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为(其中R为球的半径),那么(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴交流.,解：

21、（1）西瓜瓤的体积:整个西瓜的体积:（2）（3）买大西瓜合算.,一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流的速度是每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km（x2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是_.,解析：顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为（x-2）km/h，由题意得,.,（2020随州）的计算结果为(),A.B.C.D.,B,1.化简 的结果是()A.B.x-1C.x+1D.x,C,2.计算 等于（）A.B.C.D.,C,3.计算：,解：原式=,原式=,4.化简:,解:,5.先化简,再求值:其中a=2 019.,解:原式=(a-1)=

22、a+1,当a=2 019时,原式=2 020.,1.(1)已知x=-1,求(x-2)的值.(2)已知a=5,求 的值.,解:(1)当x=-1时,原式=(x-2)=-(x+2)=-1.,(2)当a=5时,原式=(a-3)=8.,2.已知(x2+2x+2)(x+3y)=0(y0),求(x-y)的值.,解:(x2+2x+2)(x+3y)=0,x2+2x+2=(x+1)2+10,x+3y=0,即x=-3y,原式=,分式乘除运算,乘除法运算,注意,(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式,除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算,(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则

23、进行,(3)运用法则时要注意符号的变化,5.3 分式的加减法（第1课时）,北师大版 八年级 数学 下册,1.同分母分数的加减法则是什么？,2.计算：,1,2,同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.,思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？,猜一猜：同分母的分式应该如何加减？,1.理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算.,2.会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算.,1.观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？,请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减?,同分母分式的加减,同分母分式的加减法则,同分母分式相加减，分母不变，把分子

24、相加减,上述法则可用式子表示为,结论,解:原式,解:原式,注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来,注意：结果要化成最简分式！,例1,解:原式,解:原式,注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个 分子都要用括号括起来.结果要化成最简分式.,同分母分式的加减法注意事项1.“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是_时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏.2.运算的结果要化成最简分式或整式.,多项式,分式的分母是互为相反数时，可以将其中一个分母直接提负号，把分母化为完全相同再根据同分母分式

25、相加减的法则进行运算,化简:=()A.a-1B.a+1C.D.,A,例2 计算：,解：,注意:把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式,（2）原式=,（1）原式=,计算：,解:原式=,注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来,计算：,解：原式=,解：原式=,分母互为相反数时，改变一下运算符号即可变为同分母！,可化为同分母分式的加减法,例3,计算:,解：,例4 计算:,解:,化简:,解:,（2020淄博）化简 的结果是(),A.a+bB.a-b C.D.,B,1.化简代数式 的结果是()A.x+1 B.x-1C.D.,A,2.计算:

26、=_.,3.计算:,解:,解：原式=,=,=,=,4.计算：,=,=,=,解：原式=,5.计算:,解:,计算：,解：原式=,同分母分式加减运算,同分母加减法则,注意事项,1.“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏.2.运算的结果要化成最简分式或整式.,5.3 分式的加减法（第2课时）,北师大版 八年级 数学 下册,1.分式的基本性质是什么？一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个_,分式的值_.,不变,不为0的整式,2.什么叫约分？,把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分

27、式的约分.,3.把下面分数通分：,最简公倍数：,432=24,类比分数，怎样把分式通分呢？,1.会确定几个分式的最简公分母，并根据分式的基本性质进行通分.,2.会运用异分母的分式加减法则进行异分母分式的加减运算.,小学,异分母分数的加减法,中学,异分母分式的加减法,转化,转化,同分母分式的加减法,1.类比探索,最简公分母,类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.,小明的转化,小亮的转化,根据分式的基本性质，异分母分式转化为同分母分式，这一过程称为通分.,分式的基本性质,同分母分式相加减,最小公倍数：,432=24,分数,分式,最小公倍数,最高次幂,单独字母,最简公分

28、母,所有分母必须是公分母的其中一个因数,2.如何取最简公分母呢？,不同的因式,最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.,3.观察上述举例，分析并猜想：,确定分母的最简公分母时，要从 和 分别进行考虑.,数字系数,因式及其指数,数字系数：取各个分母的系数的最小公倍数.,因式及其指数：最简公分母的因式取相同因式的最高次幂，单独的因式也要成为最简公分母的因式.,定系数定因式定指数,找最简公分母:,x(x-5)（x+5）,(x+y)2(x-y),思考：,请计算()，().,异分母分数相加减：分数的通分,依据：分数的基本性质,转化,同分母分数相加减,

29、异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减.,异分母分式的加减,最小公倍数：,432=24,分数的通分,分式的通分,解：,最简公分母是,找最简公分母：,第一要看系数；第二要看字母(式子）.,分母是多项式的先因式分解，再找公分母.,根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.,结论,解：,最简公分母是,(x-5)(x+5),通分：,探究新知,做一做：,先通分，再计算：,5a,（x-3)(x+3),（a-2)(a+2),+,-,-,+,转化,最后化为最简分式,计算：,-,-,-,注意：1.分子要做为一个整体参与运算，注意符号问题2.最后结果为最简分式，也就

30、是分子分母不能含有公因式,异分母分式的加减法则：,异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.,上述法则可用式子表示为,结论,例1 通分:(1),分式的通分,解：(1)由题意可得:最简公分母为30a2b3c2,(1),(2)由题意可得:最简公分母为3(a-3)(a-2)(a+1),(3)由题意可得:最简公分母为a(a-b)(a+b),通分的方法(1)将所有分式的分母化为_的形式,当分母为多项式时,应_.(2)确定_.(3)将分子、分母乘同一个_,使分母变为_.,乘积,因式分解,最简公分母,因式,最简公分母,解：由题意可得:最简公分母为4（x+2）（x-

31、2）2,则：,通分：,例2 下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误(),B,异分母分式加减法,A.B.C.D.,异分母分式的加减法的步骤(1)正确地找出各分式的最简公分母.(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式.(3)通分后进行同分母分式的加减运算.(4)将得到的结果化成最简分式或整式.,小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h那么：（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间,解：（1）小刚从家

32、到学校需要,（2）小丽从家到学校需要,小丽比小刚在路上花费时间少,因为 所以小丽在路上花费的时间少.,例3,计算 的值(),D,（2020威海）分式 化简后的结果是(),A.B.C.D.,B,1.分式 的最简公分母为_.,2y3-8y,2.化简 的结果是_.,3.计算：,4.计算:解:原式=,1.若 对任意正整数n都成立,则a-b=_.,1,解：原式=,2.计算：,1.分式加减运算的方法思路：,通分,转化为,异分母相加减,同分母相加减,分子（整式）相加减,分母不变,转化为,2.分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一 个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.,3.分式加减

33、运算的结果要约分，化为最简分式(或整式）.,5.3 分式的加减法（第3课时）,北师大版 八年级 数学 下册,1.分式的乘除法法则是什么，用字母表示出来？,2.分式的加减法法则是什么，用字母表示出来？,1.能够熟练计算较复杂的异分母分式的加减运算，复习并巩固分式的运算法则.,2.知道分式混合运算的运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算.,解：原式=,=,=,注意：(1-x)=-(x-1),计算：,分母不同，先化为同分母.,较复杂的异分母分式的加减,解：原式=,先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.,解：原式=,=,=,注意：分母是多项式先分解因式,先找出最简公分母，再正确通分，转

34、化为同分母的分式相加减.,=,分式的加减法的思路,通分,转化为,异分母相加减,同分母相加减,分子（整式）相加减,分母不变,转化为,结论,计算：,法一：原式=,法二：原式=,把整式看成分母为“1”的分式,注意：分母是多项式先因式分解,确定最简公分母为x(y+1)(y-1),例1,计算：,解：,较复杂的异分母分式的加减,把整式看成分母为“1”的式子,（2）解法1：,解法2：,（2）,1.把分母分解因式,分子、分母不能再约分，是最简分式,1.把分母分解因式；2.确定最简公分母；3.正确通分；4.转化为同分母分式相加减。,2.确定最简公分母(a+3)(a-3),3.正确通分,4.转化为同分母分式相加减

35、,阅读下面题目的计算过程.=（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_；（2）错误原因_；（3）本题的正确结果为：.,漏掉了分母,所以，原式,1.把分母分解因式；2.确定最简公分母；3.正确通分；4.转化为同分母分式相加减.,解：,例2,先化简，再求值：，其中,解：,因为,所以原式,根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120 m 的盲道.由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么,（1）原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？,（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？,解：(1)原

36、计划修建需 天，实际修建用了 天.,(2)实际比原计划缩短的天数,异分母分式加减的实际应用,蓄水池总量：ap t.同时开放所需时间：提前时间：,解：,某蓄水池装有A、B两个进水管，每小时可分别进水a t，b t.若单独开放A进水管，p h可将该水池注满.如果A、B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？,思考：如何计算？,请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.,分式的混合运算,解：,先乘方，再乘除，最后加减,分式的混合运算顺序,先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.,计算结果要化为最简分式或整式,结论,分式的混合运算（1）进行混合运算时，要注意运算顺

37、序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.,混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.,注意：,解：,分式混合运算,例,计算：,分式混合运算应注意的四个方面(1)有理数的运算律对于分式同样适用.(2)注意运算顺序,结果一定要化为最简分式或整式.(3)分子或分母的系数是负数时,要把“-”提到分式的前面.(4)当分式的分子、分母是多项式时,可先将分子、分母因式分解,再运算.,计算:(1)(2),解：(1)原式=,(2)原式,（2020黄冈）计算

38、：的结果是.,1.化简 的结果为(),B,2.先化简(x2-1),再选取一个你喜欢的数代入求值.,原式=(x2-1)+(x2-1)=x-1+x+1=2x,x+10,x-10,x1,可取x=2,原式=2x=4.,解:,3.用两种方法计算：,解：（按运算顺序）原式,解：（利用乘法分配律）原式,解：原式,4.计算：,.,5.先化简,再求值:其中a=,解:,当 时，原式=-4.,1.计算:,分析：把 和 看成整体，题目的实质是平方差公式的应用.,解：原式,2.若，求A,B的值.,解：,解得,分析：先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于A,B的方程组.,2.分式的混合运算法则,先算乘

39、除，再算加减；如果有括号先算括号内的.,1.分式加减运算的方法思路：,通分,转化为,异分母相加减,同分母相加减,分子（整式）相加减,分母不变,转化为,5.4 分式方程（第1课时）,北师大版 八年级 数学 下册,面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？,1.这一问题中有哪些已知量和未知量？,未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.,已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计划多30公顷；提前4个月完成原任务.,等量关系：实际每月固沙

40、造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷原计划完成的时间实际完成的时间=4个月,2.这一问题中有哪些等量关系？,3.设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要 个月，实际完成一期工程用了 个月，根据题意，可得方程.,1.理解分式方程的概念和意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.,2.能根据实际问题中的等量关系列分式方程，体会分式方程的模型作用.,问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？,等量关系：乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，高铁列车的平

41、均行驶速度=特快列车的平均速度2.8倍；,分式方程的概念及列分式方程,（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h那么y满足怎样的方程？,（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？,问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？,速度 时间=路程,单价 数量=总价,工作效率 时间=工作总量,单位量 数量=总量,人均捐款额 人数=总捐款额,模型特征：,基本数量关系：,议

42、一议：比较左右两边的方程,有什么不同?,分母中含有未知数的方程叫做分式方程.,分式方程,整式方程,分式方程的概念,分式方程的特征：,分母中含有未知数的方程叫做分式方程.,（1）是等式；（2）方程中含有分母；（3）分母中含有未知数.,结论,下列关于x的方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？请你连连看.,整式方程,分式方程,判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：不是未知数),问题3 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?,解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意

43、，得,思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和一元一次方程有什么共同特点？,步骤一样,实际问题,建立分式方程,找到数量关系,列分式方程解决实际问题的一般思路,抽象出数学模型,结论,某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数x,满足怎样的方程？,方程为:,（2020阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000 m 的污水排放管道.为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务.设实际每天铺

44、x m 管道，根据题意，所列方程正确的是(),A.B.C.D.,B,1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？,解：（2）、（3）是分式方程，（1）、（4）、（5）是整式方程，（6）不是方程.,2.找找看，下列关于x的方程中哪些是分式方程：,（）,（）,（）,（）,否,是,是,否,3.下列方程是分式方程的是()A.=0=-2C.x2-1=3D.2x+1=3x,B,4.下列关于x的方程中,属于分式方程的个数是()-x3+3x=0;+b=1;-1=2;=6.A.1个B.2个C.3个D.4个,B,5.下列方程中，不是分式方程的是（）,C,1.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记

45、本作为奖品若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同设每个笔记本的价格为x元，则可列方程_.,2.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务设原计划每天铺设管道x m，则可得方程 _.,分式方程的概念及列分式方程,概念,列分式方程步骤,分母中含有未知数的方程叫做分式方程.,1.审清题意，明确题目中的未知数；2.根据题意找等量关系，列出分式方程.,5.4 分式方程（第2课时）,北师大版 八年级 数学 下册,1.还记得什么是方程的解吗？,使

46、方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.,2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？,二元一次方程组,一元一次方程,3.二元一次方程组呢？,去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,加减消元法、代入消元法,4.解一元一次方程,解：3x-2（x+1）=6 3x-2x=6+2 x=8.,1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.,2.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.,分式方程,整式方程,思考：你能设法求出上一节课列出的分式方程 的解吗？,分式方程的解法,（1）分析：,方程可化为 两边都乘，得 化简，得 解得,解：,先约分，再去分母,可以使计算简便,（2）计算：,2.你能

47、试着解这个分式方程吗？,（2）怎样去分母？,（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？,（4）这样做的依据是什么？,解分式方程最关键的问题是什么？,（1）如何把它转化为整式方程呢？,“去分母”,方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x).,解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得,检验：将x=6代入原分式方程中，左边=右边，因此x=6是原分式方程的解.,90（30-x)=60(30+x)，,解得 x=6.,x=6是原分式方程的解吗？,将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.,解分式方程的基本思路,结论,3.下面我们

48、再讨论一个分式方程：,解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得,x+5=10，,解得 x=5.,x=5是原分式方程的解吗？,检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.,想一想：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？,结论：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.,我们再来观察去分母的过程:,结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方

49、程的解就不是原分式方程的解.,我们称它为原方程的增根.,解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验,分式方程解的检验-必不可少的步骤,检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.,结论,分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数,1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程

50、的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.4.写出原方程的根.,简记为：“一化二解三检验”.,“去分母法”解分式方程的步骤,结论,用框图的方式总结为：,否,是,5.解分式方程容易犯的错误主要有：,（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘（2）约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号（3）增根不舍掉.（4）符号问题.,解方程(1)(2),检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边.所以，x=3是原方程的根.,（2）方程两边都乘,得 解这个方程，得 x=2.,检验：当 x=2时，x-2=0,x=2是原方程的增根，所以，原方程无解.,解：（