北师大版九年级上册数学1.2矩形的性质与判定ppt课件(3课时).ppt

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1、,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 矩形的性质,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点）,学习目标,问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说 一说他们的特殊之处.,问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？,导入新课,活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.,矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.,矩形,讲授新课,矩形是特殊的平行四边形,

2、它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.,平行四边形,菱形集合,平行四边形集合,矩形集合,做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.（1）矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,矩形的性质：对称性：.对称轴：.,轴对称图形,2条,活动探究：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.,（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,发现的结论是否仍然成立

3、？（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？,A,B,C,D,O,物体,测量,（实物）,（形象图）,填一填 根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上.角：.对角线：.,A,B,C,D,四个角为90,相等,O,证明：（1）四边形ABCD是矩形.ABC=CDA,BCD=DAB(矩形的对角线)ABDC(矩形的对边平行).ABC+BCD=180.又ABC=90,BCD=90.,求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等.,已知：如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相较于点O.求证：（1）ABC=BCD=CDA=DAB=90;（2）AC=DB.,A,B,C

4、,D,O,ABC=BCD=CDA=DAB=90.,证明猜想,(2)四边形ABCD是矩形,AB=DC(矩形的对边相等).在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC=CB,ABCDCB.AC=DB.,1.矩形的四个角都是直角.2.矩形的对角线相等.,A,B,C,D,O,归纳结论,矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性：是轴对称图形.角：四条角都是90.对角线：相等.,角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.,矩形的特殊性质,平行四边形的性质,例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,AOD=120,AB

5、=2.5,求矩形对角线的长.,解：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).OA=OC=AC,OB=OD=BD,(矩形对角线相互平分)OA=OD.,A,B,C,D,O,典例精析,AOD=120,ODA=OAD=(180-120)=30.又DAB=90,（矩形的四个角都是直角）BD=2AB=2 2.5=5.,提示：AOD=120 AOB=60 OA=OB=AB AC=2OA=22.5=5.,你还有其他解法吗？,例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE,垂足为F.求证：DF=DC.,A,B,C,D,E,F,证明：连接DE.AD=AE,AED=ADE.四边形AB

6、CD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC,DEC=AED.又DFAE,DFE=C=90.,又DE=DE,DFEDCE,DF=DC.,已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.证明：在RtABC中,BE=AC.,A,B,C,D,E,证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD(矩形的对角线相等).BE=DE=BD,AE=CE=AC(矩形对角线相互平分),BE=AC.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,例3：如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.,解：连接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.点G是BC的

7、中点，EG2(1)BC，DG2(1)BC.EGDG.又点F是DE的中点，GFDE.,解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理,练一练：根据右图填空,已知ABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_cm;(2)若C=30,AB=5cm,则AC=_cm,BD=_cm.,D,6,10,5,归纳总结,直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型,1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知AOB=60,AC=16,则图中长度为8的线段有（）A.2条 B.4条 C.5条 D.6条,

8、D,A,B,C,D,O,60,当堂练习,2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30,BO=4,求四边形ABED的面积.,A,B,C,D,O,E,（1）证明：四边形ABCD是矩形.AC=BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.,(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD=2BO=24=8.DBC=30,CD=BD=8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积=(4+8)=.,A,B,C,D,O,E,平行四边形,

9、1.矩形是轴对称图形和中心对称图形,2.矩形四个角都是直角,3.矩形的对角线相等且相互平分,矩形,性质,有一个角是直角,转换,直角三角形,等腰三角形,课堂小结,见本课时练习,课后作业,谢谢！,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 矩形的判定,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1理解并掌握矩形的判定方法（重点）2能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点),学习目标,问题:什么是矩形？矩形有哪些性质？,A,B,C,D,O,矩形：有一个角是直角的平行四边形.矩形性质：是轴对称图形;四个角都是直角;对角线相等且平分.,导入新课,活动

10、1:利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,注意观察两条对角线的长度.,问题1:我们会看到对角线会随着变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？,讲授新课,已知：如图,在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB,ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180,ABC=90,ABCD是矩形（矩形的定义）.,猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.,对角线相等的平行四边形是矩形.,活动2:李芳同学通过画“边直角、边直角、边直角、边”这样四步画出一个四边形.,问题2:李芳

11、觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？,已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.,猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形.,证明:A=B=C=90,A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.,有三个角是直角的四边形是矩形.,例1：如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ABO是等边三角形,AB=4,求ABCD的面积.解：四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.又ABO是等边三角形,OA=OB=AB=4,BAC=60.AC=BD=2OA

12、=24=8.,典例精析,ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.ABC=90（矩形的四个角都是直角）.在RtABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,BC=.SABCD=ABBC=4=,例2：如图，在ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.,证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.,(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE

13、平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.,1.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线,则四边形ABCD是（）A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定,C,当堂练习,2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DEAC，CEBD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.,D,A,B,C,E,O,解：四边形CEDO是矩形.理由如下：已知四边形ABCD是菱形.ACBD.BOC=90.DEAC,CEBD，四边形CEDO是平行四边形.四边

14、形CEDO是矩形（矩形的定义）.,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.,定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.,运用定理进行计算和证明.,矩形的判定,定义,定理,课堂小结,见本课时练习,课后作业,谢谢！,1.2 矩形的性质与判定,第一章 特殊平行四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合,义务教育教科书(BS)九上数学课件,1回顾矩形的性质及判定方法2矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点),学习目标,问题1:矩形有哪些性质？,是轴对称图形;四个角都是直角;对角线相等且平分.,导入新课,定义：一

15、组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形,问题2:矩形有判定方法有哪些？,例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.,分析：由在矩形ABCD中，AEBD于E，BE：ED=1：3，易证得OAB是等边三角形，继而求得BAE的度数，由OAB是等边三角形，求出ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.,典例精析,讲授新课,解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，BE：ED=1：3，BE：OB=1：2，AEBD，AB=OA，OA=AB=OB，即OAB是等边

16、三角形，ABD=60，ADE=90-ABD=30，AE=AD=3.,【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.,例2：已知：如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的一条角平分线，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.,（1）证明：在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，ADBC，BAD=CAD，ADC=90，AN为ABC的外角CAM的平分

17、线，MAN=CAN，DAE=90，CEAN，AEC=90，四边形ADCE为矩形；,（1）求证：四边形ADCE为矩形；,分析：由在ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得ADBC，BAD=CAD，又由AN为ABC的外角CAM的平分线，可得DAE=90，又由CEAN，即可证得：四边形ADCE为矩形；,解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE又AB=AC，BD=CD，AB=DE，AE=BD，四边形ABDE是平行四边形；,（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；,分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=D

18、E；结合已知条件可以推知ABDE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；,解：DFAB，DF=AB理由如下：四边形ADCE为矩形，AF=CF，BD=CD，DF是ABC的中位线，DFAB，DF=AB,（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.,分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是ABC的中位线，则可得DFAB，DF=AB.,【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.,例3：如图，在ABC中,AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接

19、AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.,证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.,(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形ABDE是平行四边形,AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,四边形ADCE是平行四边形.而ADC=90,四边形ADCE是矩形.,例4：如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当ABC满足

20、什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由,解：(1)BDCD.理由如下：AFBC，AFEDCE.E是AD的中点，AEDE.在AEF和DEC中，AEFDEC(AAS)，AFDC.AFBD，BDDC；,分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”证明AEF和DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AFCD，再利用等量代换即可得BDCD；,(2)当ABC满足ABAC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形ABAC，BDDC，ADB90.四边形AFBD是矩形,【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是

21、直角的平行四边形是矩形是解本题的关键,分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知ADB90.由等腰三角形三线合一的性质可知ABC满足的条件必须是ABAC.,例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CMCN；(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求 的值,典例精析,(1)求证：CMCN；,解：四边形ABCD是矩形，ADBC，ANMCMN，由折叠知CNMANM，CNMCMN，CNCM,(2)若CMN的面积与CDN

22、的面积比为31，求 的值,解：ADBC，SCMNSCDN31，CMDN31，设DNx，则CM3x，过点N作NKBC于点K，DCBC，NKDC，又ADBC，CKDNx，MK2x，由(1)知CNCM3x，NK2CN2CK2(3x)2x28x2，,当堂练习,1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是()AS1S2BS1S2CS1S2 D3S12S2,B,2如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AHBC于点H，连接EH，若DF10 cm，则EH等于()A8 cmB10 cmC16

23、 cmD24 cm,B,3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，若CAE15，则BOE_度,75,4如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果OAB30，那么点C的坐标为,5.如图，点D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC.(1)求证：CDAN；(2)若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形,证明：(1)证AMDCMN得ADCN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CDAN.,(2)若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形,证明：AMD2MCD，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，ADCN是矩形.,与全等三角形的结合,矩形的性质与判定,课堂小结,与平面直角坐标系的结合,折叠问题,见本课时练习,课后作业,谢谢！,