集合的含义与表示课件.ppt

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1、第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义,1.集合的相关概念(1)元素.定义:指的是_.表示:用小写的_表示.,研究对象,拉丁字母a,b,c,(2)集合.含义:指的是_组成的总体.表示:用大写的_表示.(3)集合相等:指构成两个集合的元素是_的.(4)集合中元素的特性:_、_和无序性.,一些元素,拉丁字母A,B,C,一样,确定性,互异性,2.元素与集合的关系关系,属于：a是集合A的元素，记作_不属于：a不是集合A的元素，记作_,aA,aA,3.常见的数集及表示符号,整数集,实数集,N,N*或N+,Q,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)本班的高个子同

2、学组成集合.()(2)漂亮的花组成集合.()(3)联合国常任理事国组成集合.()(4)在一个集合中可以找到两个相同的元素.(),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用“”和“”填空:-2N*;Q;3.14R.(2)方程x2-1=0的解与方程x+1=0的解组成的集合中共有个元素.(3)若a2=3,则aR,若a2=-1,则aR.,【解析】1.(1)不正确.因为高个子没有统一标准,即元素不确定,不能组成集合.(2)不正确.因为什么样的花是漂亮的花不确定,所以漂亮的花不能组成集合.(3)正确.因为联合国常任理事国是确定的,所以能组成集合.(4)不正确.因为集合中的元素满足互异性,所以一个集合中

3、没有两个相同的元素.答案:(1)(2)(3)(4),2.(1)本题主要考查元素与数集之间的关系,明确说出各数集的含义是解答本题的关键.由题意可知,-2N*;Q;3.14R.答案:(2)方程x2-1=0的解是1,-1;x+1=0的解是-1.故这两个方程的解组成的集合中的元素是1,-1,共有2个元素.答案:2,(3)因为a2=3,所以a=,此时aR.因为a2=-1,在实数范围内无解,所以aR.答案:,【要点探究】知识点1 集合的含义1.对集合相关概念的三点说明(1)集合的含义:集合是数学中不加定义的原始概念,我们只对它进行描述性说明,其本质是某些确定元素组成的总体.(2)元素:集合中的“元素”所指

4、的范围非常广泛,现实生活中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等,都可以看作集合的元素.,(3)整体:集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象.,2.集合中元素的三个特性,【知识拓展】集合的常见分类依据集合中所含元素的个数,集合可分为两类:(1)有限集:含有有限个元素的集合是有限集,如中国古代四大发明组成的集合,其元素个数为有限个,是有限集.(2)无限集:含有无限个元素的集合是无限集,如所有自然数组成的集合,其元素个数为无限个,是无限集.,【微思考】(1)接近0的实数能够组成一

5、个集合吗?为什么?提示:不能.接近0的实数与0接近到什么程度不确定,所以不能组成集合.(2)判断一组确定的对象能否组成集合的关键是什么?提示:关键是判断这些对象是否满足互异性.,【即时练】1.下列各组对象不能组成集合的是()A.著名的中国数学家B.北京四中2014级新生C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目,2.判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)1,0.5,组成的集合含有四个元素.(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素.(3)组成单词china的字母组成一个集合.,【解析】1.选A.根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合.因为B,C,D中所给的对象都是确定的,

6、从而可以组成集合;而A中所给对象不确定,原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名,故不能组成集合.,2.(1)不正确.对一个集合,它的元素必须是互异的,由于0.5=,在这个集合中只能作为一个元素,故这个集合含有三个元素.(2)不正确.因为方程虽有两个相等的实根,但其解集中只有一个元素-1.(3)正确.因为组成单词china的字母是确定的.,知识点2 元素与集合的关系、常用的数集及其记法1.对元素与集合关系的两点说明(1)根据集合中元素的确定性可知,对任何元素a和集合A,在aA和aA两种情况中有且只有一种成立.(2)符号“”和“”只是元素与集合之间的关系,并且这两个符号的左边是元素,右边

7、是集合,具有方向性,左右两边不能互换.,2.常用数集及其符号表示的两个关注点(1)准:对常用数集的符号要记忆准确,书写规范,并且要明确各数集所含的元素.(2)记:要记住0是最小的自然数.,【微思考】N与N*有何区别?提示:N*是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N*多一个元素0.,【即时练】1.设集合A只含一个元素a,则下列表示正确的是()A.Aa B.aAC.aA D.a=A2.设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则pM,qM.,【解析】1.选B.本题考查元素与集合之间的关系,显然A,C,D不正确,由题意知B正确.2.矩形是平行四边形

8、,梯形不是平行四边形,故pM,qM.答案:,【题型示范】类型一 元素与集合的关系【典例1】(1)已知 R;Q;0N;-3Z.正确的是.(2)如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中:x=a+b(a,bQ),则下列元素中属于集合M的是.x=0,x=,x=3-2,x=,x=,【解题探究】1.题(1)中数集R，Q，N，Z的含义各是什么？2.题(2)中集合M中的元素有什么特征？【探究提示】1.数集R表示实数集，Q表示有理数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集.2.集合M中的元素是由一个有理数与另一个有理数的 倍的和组成的.,【自主解答】(1)0N;正确.答案:(2)当a=b=0时,x=

9、0,正确;当a=0,b=1时,x=,正确;当a=3,b=-2时,bQ,x=3-2 M,不正确;当a=3,b=2时,x=3+2=,正确;x=当a=4,b=0时,x=4,正确.答案:,【方法技巧】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法:使用前提:集合中的元素是直接给出的.判断方法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成.,(2)推理法:使用前提:对于某些不便直接表示的集合.判断方法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.,【变式训练】(2014济南高一检测)设直线y=2

10、x+3上的点组成的集合为P,点(2,7)与点集P的关系为(2,7)P(填“”或“”).【解题指南】判断一个元素是否属于某个集合,关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征,若具备就是,否则不是.【解析】直线y=2x+3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y=2x+3的关系,即只要具备此关系的点就是集合P的元素.由于当x=2时,y=22+3=7,故(2,7)P.答案:,【补偿训练】(2014广州高一检测)集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中xR,yR).选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2A,且2B B.(1,2)A,且(1,2)BC.2A,且(3,

11、10)B D.(3,10)A,且2B【解析】选C.集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对.集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2B不正确,所以A错.故选C.,类型二 集合元素特性的简单应用【典例2】(1)(2014天津高一检测)已知集合A由元素1和a2组成,实数a不能取的值是.(2)已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3A,试求实数a的值.,【解题探究】1.题(1)中的1和a2能相等吗?2.题(2)集合A中含有元素-3,则-3是a-3还是2a-1?【探究提示】1.集合A中元素是不能相同的,即a21.2.由于A中含有两个元素,因此-3=a-3和-3=2a-1都有可能,需分类讨论

12、.,【自主解答】(1)由互异性知a21,即a1,故实数a不能取的值是1和-1.答案:1和-1(2)因为-3A,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意,综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.,【延伸探究】题(2)中将条件“-3A”改为“aA”,其他条件不变,则a的值是什么?【解析】因为aA,所以,a=a-3或a=2a-1,解得a=1.,【方法技巧】1.集合元素互异性的应用及其解题策略(1)应用:利用其可以解决一些实际问题,如三角形中的边长问题及元素能否组成

13、集合问题.(2)策略:对集合中的元素进行验证,保证集合内的元素不重复.2.含有字母问题的求解步骤(1)根据已知条件和集合的确定性,求出集合中字母的所有可能的值或范围.(2)根据集合元素的互异性对集合中的元素进行检验.,【变式训练】(2014石家庄高一检测)集合A中有且仅有三个数1,0,a,若a2A,求a的值.【解题指南】令a2分别为1,0,a,求出a的值后再利用集合元素的互异性检验.【解析】若a2=0,则a=0,不符合集合中元素的互异性,所以a20.若a2=1,则a=1,由元素的互异性知a1,a=-1.若a2=a,则a=0或1,由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求.综上可知a=-1.,【

14、补偿训练】已知集合A中有1,3,a2+a,a+1四个元素,若aA,试求实数a的值.【解析】因为aA,A=1,3,a2+a,a+1,由于aa+1,所以a的取值为1或3或a2+a.当a=1时,a2+a=2,a+1=2,这与集合元素的互异性矛盾,故舍去;当a=3时,a2+a=12,a+1=4,符合题意;当a=a2+a时,a=0,此时a+1=1,与集合元素的互异性矛盾,故舍去.综上可知,所求的a值为3.,【易错误区】忽视集合元素的互异性致错【典例】已知集合A中含有两个元素为a和a2,若1A,则实数a的值为.,【解析】根据题意知集合A中含有两个元素为a和a2，且1A，所以a=1或a2=1，即a=1或a=

15、-1.当a=1时，a2=1，不符合集合元素的互异性.故a1.当a=-1时，集合A的元素是1和-1，符合集合元素的互异性.故a=-1.综上所述，a的值为-1.答案:-1,【常见误区】,【防范措施】1.分类讨论的意识解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时,要有分类讨论的意识,如本例中应对a的取值讨论.2.利用互异性检验求解与集合有关的字母参数时,需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求,如本例中需对求出的元素进行检验.,【类题试解】已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3A,则a=.【解析】由-3A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,所以a=-1或a=-.则当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,所以a=-.答案:-,