第七章多目标函数的优化设计.ppt

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1、第七章,多目标函数的优化设计方法,在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价,其优劣，往往要考虑多个目标。,例如，对于车床齿轮变速箱的设计，提出了下列要求：,1)各齿轮体积总和f1(x)尽可能小使材料消耗减,少，成本降低。,2)各传动轴间的中心距总和f2(x)尽可能小，使变,速箱结构紧凑。,3)齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，使变速箱,运转噪声小。,4)传动效率尽可能高，亦即机械损耗率f4(x)尽可,能低，以节省能源。,f 4(x),T,R,V min x F n(x)=min f1(x)f 2(x)f 3(x)s.t.g j(x)0(j=1,2,L,p)hk(x)=0(k=1,2,L,

2、q),此外，该变速箱设计时需满足轮齿不根切、不干涉等几何约束条件，还需满足轮齿强度等约束条件，以及有关设计变量的非负约束条件等。按照上述要求，可分别建立四个目标函数：f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)。这几个目标函数都要达到最优，且又要满足约束条件，则可归纳为,在多目标优化模型中，还有一类模型，其特点是，在约束条件下，各个目标函数不是同等地被最优化，而是按不同的优先层次先后地进行优化。例如:工厂生产：1号产品，2号产品，3号产品，M号产品。应如何安排生产计划，在避免开工不足的条件下，使工厂获得最大利润，工人加班时间尽量地少。,若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性分成以下两个

3、优先层次：第一优先层次工厂获得最大利润第二优先层次工人加班时间尽可能地少。那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的问题就是分层多目标优化问题。,多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优，如能获得这样的结果，当然是十分理想的。但是，一般比较困难，尤其是各个分目标的优化互相矛盾时更是如此。譬如，机械优化设计中技术性能的要求往往与经济性的要求互相矛盾。所以，解决多目标优化设计问题也是一个复杂的问题。近年来国内外学者虽然作了许多研究，也提出了些解决的方法，但比起单目标优化设计问题来，在理论上和计算方法，都还很不完善，也不够系统。在前述的单目标优

4、化方法的基础上，扼要介绍多目标优化设计问题的一些基本概念、求解思路和处理方法。,从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，多目标(向量)优化问题与单目标(标量)优化问题的一个本质的不同点是：,多目标优化是一个向量函数的优化，比较向量函数值的大小，要比标量值大小的比较复杂。在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较其优劣，因此是完全有序的。可是对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以比出其优劣，因此只能是个有序的。,例如，设计某一产品时，希望对不同要求的A和B为最小。一般说来这种要求是难以完美实现的，因为它们没有确切的意义。除非这些性质靠完全不同的设计变量组来决定，而且全部约束也是各自独立的。,对

5、多目标设计指标而言，任意两个设计方案的优劣一,般是难以判别的，这就是多目标优化问题的特点。这样，在单目标优化问题中得到的是最优解，而在多目标优化问题中得到的只是非劣解。而且，非劣解往往不只一个。如何求得能接受的最好非劣解，关键是要选择某种形式的折衷。,当要求(M1)个目标值不变坏时，找不到一个x，使得另一,f1,所谓非劣解(或称有效解)，是指若有M个目标，(x0)(i=1,2,.m),显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性很小。,),个目标函数值 fi(x)比 fi(x 更好，则将此x*作为非劣解。,例7.1一个二维分目标（n=1，m=

6、2）的多目标优化问题为：,f 2(x)T,V min F(x)=f1(x),f 2(x)=x,f1(x)=x 2 2 xD：0 x 2,多目标优化方法,多目标优化的求解方法甚多，其中最主要的有两大类。一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解。属于这类方法的如合适等约束法等。另一大类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。处理的方法可分为两种：一种处理方法是将多目标优化问题重新构造一个函数，即评价函数，从而将多目标(向量)优化问题转变为求评价函数的单目标(标量)优化问题。,另一种是将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标,(标量)优化问题来求解。,属于这一大类求解的前一种方法有：主要目标法，线性

7、加权和法，理想点法，平方和加权法，分目标乘除法，功效系数法几何平均法，极大极小法等等。属于后一种的有分层序列法等。此外还有其它类型的方法，如协调曲线法等等。,7.2,统一目标函数法,统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。,()()=i iF x f xmin min,=i 1,1线性加权和法,x,xD xD,线性加权和法又称线性组合法，它是处理多目标优化问题常用的较简便的一种方法。这种方法因为有一定理论根据，故已被广泛应用。但这种方法的成功与否，在很大程度上取决于一个确定

8、方向的凸性条件。如果缺乏凸性，这种方法将归于失败。所谓线性加权和法即将多目标函数组成综合目标函数，把一个要最小化的函数 F(x)规定为有关性质的联合。,使用这个方法的难处在于如何找到合理的权系,数，以反映各个单目标对整个多目标问题中的重要程度。使原多目标优化问题较合理地转化为单目标优化问题，且此单目标优化问题的解又是原多目标优化问题的好的非劣解。权系数的选取反映了对各分目标的不同估价、折衷，故应根据具体情况作具体处理，有时要凭经验、凭估计或统计计算并经试算得出。,将各分目标转化后加权,先将各项设计指标都转化为统一的无量纲值，并且将量级也限于某一规定范围之内使目标规格化，然后再根据各个目标（设计

9、指标）的重要性用加权因子来组合“统一目标函数”。,1、目标函数的规格化,当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数值规范在0,1之间。,f(x)=,x j,取规格化函数,2,f j(x)j,j j,sin t j,qfj=1,j,其中 x j=2,例：若能估计出上、下界，j f j(x)j,（二）,直接加权,),1(f j)2,j j2,f j=,令容限值,则加权因子 w j=,1、容限值法：目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。估计上、下界：j f j(x)j j=1,2,L,q若不易估计，可令

10、j=0，j=f j(x(0)；,这种取法是基于要求在统一目标函数中的各项指标（分目标函数）趋于在数量级上达到统一平衡，因此，当某项设计指标的数值变化范围愈宽时，其目标的容限就愈大，加权因子就取较小值；而数值变化范围愈窄时，目标的容限就愈小，加权因子就取大值，以达到平衡各分目标函数量级的作用,(w w2 j),(),f j x,f(x),f(x)f(x*),f(x)f(x*),2、两项加权因子：,用于一般情况,适用于有导数信息的情况：,2,1f j(x),wj=w1 j w2 j其中：w1 j是本征权，反应分目标函数的重要程度；,=,j,j jqj=1,(0),(0)j j,w2 j=,qj=1

11、,(0)(0),w1 j,w2 j 是校正权，用于调整分目标函数的数量级，w2 j=适用于无导数信息的情况：w1 j w2 jw j=q1 jj=1,11,f1=,=；f 2=2 2=1；即 w1=,f1,2,2 2,f 2,(x*)=，f,=8 x 2 令其为零，得 x*=，f1 2(x*)=。,例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此多目标函数的选好解。,分目标函数：f1(x)=x 2+1 min.f 2(x)=2 x+3 min.约束区域：D=x 0 x 1,s.t.,x 1 0,解：min.F(x)=w1 f1(x)+w2 f 2(x)=w1(x 2+1)+w2(2

12、 x+3),X R1,1 17 54 16 2,1,2,2,=1,1 1 1 1,dFdx,F(x)=4 f1(x)+f 2(x)=4(x 2+1)+(2 x+3)=4 x 2 2 x+7,=4；w2=,f 2(0)=3f 2(1)=11=1,1=2；2=1，2=3,0 x 0用误差容限法求：w jQ x=0时，f1(0)=1,x=1时，f1(1)=2,根据 j f j(x)j,三，理想点法（目标规划）多目标优化问题的一般式中，先求出各分目标函数在可*向量,f m*T,f 2*L,F*=f1*,上式称为理想解。如果在本问题不存在绝对最优解的情况下，对于向量目标函T要力求使各分目标仅可能接近各自

13、的理想值，则可以认为达到有效解中的选好解。,f(x)=,f j,f(x)=j,在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定出一个合理的各分目标函数值构成理想解,f m0 T,f 20,L,F 0=f10,mj=1,f j(x)f j 2,相对离差,加权相对离差,2,mj=1,f j(x)f jf j,*0 解之间的离差函数 f(x)函数可取以下形式,U(x)=j j j)2,平方和加权离差,mj=1,(f(x)f,m绝对值离差 f(x)fj=1T数构造出以上几式的单目标函数作为评价函数，用评价目标函数的解作为原多目标优化问题的最终解。其表达式为min U(x)x D R n,gu(x)0h

14、v(x)=0,D：,三、功效系数法一.基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数j(0dj 1)表示。对于一个设计方案 xk,F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk),f2(xk),fq(xk),，对应q个功效系数 1,2,q。以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d：,当 max.时，,=q 1 2 Lt,求得最理想方案：x*=x k，F(x*)。二.功效系数和功效函数：1、功效系数j：表示对于分目标函数值 fj(x)的满意程度。若j=1，表示效果最好，非常满意；dj=0，表示效果极差，方案不可取。,2、功效函数j=j(fj)：描述j与fj之间的关系。有三种类型：,a)越大越好

15、：fj j，fj j；b)越小越好：fj j，fj j；c)fj 取合适的值时,j 最大，fj比此 区间大或小，j 均。,=0.5m,f2(x)=max,min,例：门式起重机变幅四杆机构的优化设计有四个要求：,0.5m,d1=1d1=0.7d1=0.3d1=0,y min,y=y h,1.要求E点走水平直线f1(x)=max y h min,vx,2.E点水平分速度的变化率越小越好,3.货物对支点A所引起的倾覆力矩差越 小越好f3(x)=max M min这三个要求都属于第二类功效函数。,4.,倾覆力矩值 M=M()：当变幅距离较小时，希望有负倾覆力矩 M1，能恢复机构的正常位置。-10 2

16、0时，d4=0 当变幅距离较大时，希望有正倾覆力矩 M1，能恢复机构的正常位置。0 30时，d5=0这两个要求都属于第三类功效函数。总功效系数：d=5 d1 d 2 d3 d 4 d5 max,四.方法评价：,直观，只要有一项dj=0，则 d=0，可直接判断方案不可取；在工程中使用较为有效；系数均在 0,1 之间，数量级一致；易处理第三类功效函数。分析计算较复杂。,四，乘除法该方法适于处理下面问题。按分目标函数的性质可分为两类，两类的期望相反。其中的一类是表现目标函数值越小越好，如追求体重轻，结构紧凑，原材料消耗少，加工成本和加工费低，磨损量和应力小等；另外一类表现为目标函数值越大越好，如产品

17、产量，机械效率，零件强度及刚度，利润，承载能力等。建议如下构造评价函数：,jj,sj=1tj=s+1,f j(x)f j(x),U(x)=,其中，s(st)为第一类函数，(分目标函数期望取小),j为加权因子，j 0mj=1j=1,如果有两个分目标函数f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下图所示过域Df内的任一通过原点o的直线OA，它的斜率为,f 2(x)f1(x),tg=,当 Q 时，即直线OA移到与域Df边界的左方相切，切点为Q，点Q对应的函数值 f1*(x),f 2*(x)即为乘除法求得的选好解,7-3 主要目标法,()=min()f x f xk k,在求得最

18、优值后用最优值代替,式中：f j(x)开始时为极小化以外的其他目标函数的最优值的估计值，,g m+j(x)=f j(x)f j(x)0,s.t.g u(x)0,xD,设有l个目标函数f1(x)，f2(x)，、fl(x)，其,作为主要目标，则问题变为,中 x D，求解时可从上述多目标函数中选择一个f(x),7-4 协调曲线法,这种方法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标设计优化问题，为求最终解须对一般式个分目标函数加以协调，以求在有效解集中求出选好解，作为多目标优化问题的最终解。,在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配关系得到

19、满意曲线，沿着满意程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。,现以两个分目标函数组成的多目标优化问题为例。,f 2=5.8,f 2=2,两分目标的最优点分别在A1及A2，它们的分目标函数值为,f1A1=4 A1,f1 A 2=9.2 A 2,A1点,A2点,在可行域D内任取一点B，其分目标函数值为 f1B=8 B当固定 f 2(x)5，极小化f1(x)的可行域边界点C，C点的分目标函数值为 f1C=4.3 f 2C=5当固定 f1(x)8，极小化f2(x)的可行域边界点D，D点的分目标函数值为 f1D=8 f 2D=2.4,可见，C，D两点都优于B点，在CD曲线上任选一点代表的方案至少

20、有一个目标函数值的到改善，所以CD曲线上任一点都优于B点。曲线A1CDA2代表着有效解的解集，故称此曲线为协调曲线。选好解（最终解）应从协调曲线上选取。为从协调曲线上确定选好解，再以f1(x),f2(x)为坐标建立一个新的坐标系，见前面图2。将图1的协调曲线转换到新的坐标系中，对应关系为A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，则将A1CDA2曲线转换到2图中的Q1GHQ2曲线。为在协调曲线上确定一个选好解，一般需另外一项指标，为此在2图中画出满意曲线，随着满意程度的增加可使分目标函数值均有所下降，直到O点，此点是从协调曲线上得出,的最满意设计方案。分目标函数值为,(f1*,f 2*),如何确定

21、满意函数或满意曲线，要按工程实际情况，很多,时候是依设计者的实践经验而设置；也可以根据实验数据而定。必要时对分目标函数实行线形加权。,协调曲线法适合分目标追求出现矛盾情况。要在有效解集中找出最满意的设计方案。在优化过程中，有时为了某个具有较差值的分目标也能达到较为理想，则要增大其他分目标函数值为代价，其主要思想是对各分目标函数进行协调，互相之间做出让步，最终取得一个工程实际能认可的满意方案。对于两个以上的分目标的多目标优化问题，所画的协调曲线就变成多维抽象空间的超曲面，不可能用图形来表示，则只能按数学模型由计算机自动处理。,=f(x*)+f 为理想的合理值，是f v(x*)的让步。,f v v j,多目标函数的协调超曲面：,min.s.t.其中,f j(x)j=1,2,L,qgu(x)0 u=1,2,L,mhv(x)=f v(x)f v0=0 v=1,2,L,q 1 v j0,用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。满意曲线：是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得出恰当的匹配关系。选好解：包括 x*和 f1(x*)，f2(x*)，fq(x*)。,