【精品课件】材料力学 第十二章 能量法北航精品课件.ppt

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1、材料力学（I II）北航 精品课件,北京航空航天大学单辉祖教授编著的材料力学(I)、材料力学()是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五”规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点教材。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等奖；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通高等学校十五国家教材规划”、高教社“高等教育百门精品教材”。以材料力学I、II为主教材的材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的“名品”向全国推广。,

2、本教材在妥善处理传统内容的继承和现代科技成果的引进以及知识的传授和能力、素质的培养方面，进行了积极探索，是一套面向21世纪的具有新内容、新体系，论述严谨，重视基础与工程应用(包括计算机的应用)，重视能力培养的新教材。教材体现了模块式的特点，通过对模块的选择与组合，可同时满足不同层次工科院校的不同专业对基础力学课程的教学要求。,Page,3,第 12 章 能量法（一）,12-1 外力功与应变能的一般表达式12-2 互等定理12-3 余能与卡氏第二定理12-4 变形体虚功原理12-5 单位载荷法,Page,4,引言,求节点A的铅垂位移 的两条研究途径,方法一,方法二,Page,5,问题：,（1）求

3、节点A的位移，哪种方法优越？,（3）为什么要研究能量法？,（2）如何求BC杆的转角？,Page,6,12-1 外力功与应变能的一般表达式,一、计算外力功的基本公式,非线性弹簧,刚体,线性弹簧,k：弹簧常数,为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？,Page,7,一般弹性体,相应位移 d:0 D,线性弹性体,载荷 f:0 F,思考：常数k怎样确定？,对比：弹性体与弹簧,Page,8,广义力与广义位移,相应位移：载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量D。,外力功：载荷在相应位移上所作之功。,广义力：力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。,广义位移：线位移，角位移，相对线位移，相对

4、角位移等。,Page,9,二、克拉比隆定理：,线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠加原理，各广义力与相应广义位移成正比。,Fi广义载荷,D i相应广义位移,外力功：,由于外力功与加载次序无关，本定理也适用于非比例加载。但只适用于线弹性体,克拉比隆定理是否说明可由叠加法计算多个力的功？,不能，因为,Page,10,例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧横截面相对转角 对应的广义力。,Page,11,例：已知，求 与 关系。,几何非线性问题与外力功计算,载荷-位移关系,外力功计算,构成线性弹性结构的条件,材料符合胡克定律（物理线性）小变形 可按原始几何关系分析内力与变形（几

5、何线性）,Page,12,作业12-3,Page,13,三、应变能的一般表达式,1.单位体积内应变能应变能密度,拉压应变能密度,纯剪应变能密度,Page,14,2.基本变形的应变能,拉压,对于桁架,应变能密度,拉压杆应变能,Page,15,扭转,应变能密度,圆轴扭转应变能,非圆截面轴扭转应变能,Page,16,弯曲,应变能密度,拉压杆应变能,非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能,注：忽略了弯曲剪力的应变能,Page,17,利用功能原理计算应变能,拉压,扭转,弯曲,Page,18,3.组合变形的应变能,思考：组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？,答：能够。因为各基本变形的应变能不

6、耦合。换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零。,Page,19,组合变形的应变能公式,圆截面杆或杆系,非圆截面杆或杆系（y,z轴主形心轴）,Page,20,解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左),多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算,例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变能与外力所做之总功。弯曲刚度为EI。,Page,21,解:(2)计算外力所作之总功,结论：梁的应变能等于外力所做总功,挠度,转角,外力功,Page,22,例:试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分别为E和G。,解：对于图示刚架，弯矩和扭矩

7、方程分别为：,AB段：,BC段：,分析：总应变能等于各段、各基本变形的应变能叠加。为什么？,Page,23,Page,24,（1）,单独计算各载荷对应的应变能。,Page,25,例 12-3 试计算弹簧的轴向变形l,解：,影响弹簧变形的主要内力是扭矩,Page,26,作业12-1b,2,4,Page,27,12-2 互等定理,同一弹性体的两种受力状态,引起位移的载荷,发生位移的点,Page,28,先加 F1，后加 F2：,先加 F2，后加 F1：,线弹性体的两种加载次序与功,总功与加载次序无关,W1=W2,两表达式的交叉项相等,Page,29,对于线性弹性体，F1在F2引起的位移D12上所作的

8、功，等于F2 在F1引起的位移 D21上所作的功,功的互等定理（简单情形）,Page,30,功的互等定理（简单情形）,功的互等定理（一般情形）,对于线性弹性体，第一组外力 F1(i)(i=1,2,m)在第二组外力引起的位移 D12(i)上所作的功，等于第二组外力 F2(j)(j=1,2,n)在第一组外力引起的位移 D21(j)上所作的功。,A,D,F1,M1,q1,其中力和位移均指广义力和广义位移。,Page,31,若F1=F2,位移互等定理,当F1与F2的数值相等时，F2在点1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21,Page,32,例：测量线弹性梁（图a,等截面

9、或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点C适合装千分表。,解：设图a在A点的挠度为,如图b加载和装千分表，测得C点的挠度为,则根据位移互等定理,Page,33,由功的互等定理,例：如图a支座A因装配应力破坏，A、B点分别下降 和,在新的无初应力位置修复（图b），求B点作用F 时支座A的约束反力。,解：在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图a,b。,Page,34,例：（P63，题125）等直杆宽b，拉压刚度EA，泊松比 求,解:设第二种受力状态为 轴向拉力F,对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?,Page,35,解：考虑薄板受均布载荷q,由功的互等定理,例：已知E，h，求均质薄板面积改

10、变量DA,Page,36,思考题1 板内开任意一孔，是否变化？,思考题2 内孔受一对图示方向的力，是正还是负？,Page,37,12-3 余能与卡氏第二定理,一、余功与余能,外力余功,弹性体的余能Vc数值上等于余功：,外力功,Page,38,余能计算,单向应力状态下的余能密度,拉压杆与梁的余能,对比应变能,Page,39,二、克罗第恩格塞定理与卡氏第二定理,问题：弹性体受广义力Fk（k=1,n)的作用，求相应位移k。,解：使Fk增加微量dFk，余功增量,又,克罗第恩格塞定理:弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk,Page,40,对于线性弹性体，应变能数值上等于余能,克

11、罗第恩格塞定理:,卡氏定理：线性弹性体的应变能，对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk,注意：对于线弹性体，应变能数值上等于余能，但应变能与余能是两个完全不同的物理量。,Page,41,对于拉压杆,圆截面杆组合变形：,非圆截面杆组合变形：,思考：为什么对于组合变形可以采用叠加法？,Page,42,讨论两个定理的适用范围：,克罗第恩格塞定理：,卡氏第二定理：,一般弹性体,线弹性体,对于非线性材料(应力应变关系非线性)，需用克罗第-恩格塞定理。,Page,43,解：,例：用卡氏定理求A点挠度 转角 梁轴线变形 前后所扫过的面积。,（1）计算A点的挠度 wA,梁内弯矩,由卡氏定理，A点挠

12、度,Page,44,解：,例：用卡氏定理求A端挠度 转角 梁轴线变形 前后所扫过的面积。,（2）计算A点的转角qA，,梁内弯矩,由卡氏定理，A端转角,思考：所求广义位移没有对应广义力怎么办？,采用附加载荷法，在A点加一附加力偶M0,负号表示什么意义？,Page,45,解：,计算梁轴线变形前后所扫过的面积W，,梁内弯矩,思考：W所对应的广义力？,采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷q0,轴线扫过面积,Page,46,例：用卡氏定理求A点挠度，EI为弯曲刚度。,解：设FA=2F,FB=F,思考：,AB段：,BC段：,Page,47,等于A点挠度的两倍与B点挠度之和。,对于刚架（b),注意DA和D

13、B指沿力线的距离。,Page,48,例：计算图示圆拱小曲率杆铰链A两侧的相对转角,分析：先确定广义位移 所对应的广义力（附加力法）:,作用于铰链两侧一对力偶Me,常见错误：不会计算约束反力，甚至错误当作静不定结构。,取整体为研究对象，由对称性或由对B、C的力矩平衡，确定C、B铅垂反力为F/2，然后由AC段平衡确定全部约束反力。,Page,49,解：AC段弯矩,Page,50,由卡氏定理：,Page,51,由A、B 两节点平衡,例：各杆EA，求A点水平位移及AB转角。,解：（1）计算A点水平位移,由整体平衡,Page,52,问题 若由卡氏定理计算，附加载荷怎么施加？,（2）计算AB转角由几何关系

14、,如图，作用于1杆的Me向节点A、B分解,Page,53,在A、B 两点加附加力,（3）计算AB转角由卡氏定理,Page,54,例：材料的应力应变关系,。压缩时，方程中的,和均取绝对值。求A端的挠度。,分析：非线性弹性问题，需用克罗第恩格塞定理，其中关键是余能的计算,解：1.应力分析,根据平面假设,Page,55,（）,2.余能计算,余能密度,梁的总余能,3.由克罗第恩格塞定理计算挠度,Page,56,作业12-6,8,9,12,Page,57,12-4 变形体虚功原理,一、回顾刚体虚功原理,处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。,Page,58,

15、1.几个概念,二、变形体的虚功原理,（1）可能内力：与外力保持平衡的内力称为静力可能内力或简称为可能内力。,杆的可能内力用FN,T,FS与M表示。,Page,59,满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，称为几何可能位移或虚位移，相应之变形称为可能变形或虚变形。,（2).虚位移与虚变形,杆微段的虚变形用dd*,df*与dq*表示。,Page,60,（3）内虚功与外虚功,内虚功作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功,外虚功外力在可能位移上所作之总虚功,Page,61,2.变形体虚功原理,外力在虚位移上所作外虚功 We，等于可能内力在虚变形上所作内虚功 Wi，即 We Wi,Page

16、,62,变形体虚功原理适用于线性弹性体，非线性弹性体与非弹性体。,3.应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围：,所研究的力系（外力与内力）必须满足平衡条件与静力边界条件。,所选择的位移应是微小的，且满足变形连续条件与位移边界条件。,Page,63,4.验证虚功原理,外力虚功：,内力虚功：,以图示梁为例验证：We=Wi,证明：可能内力满足：,（平衡条件）,（静力边界条件）,虚位移满足：,（变形连续条件）,（位移边界条件）,Page,64,虚位移,证明：可能内力满足：,虚位移满足：,外虚功：,由分部积分,即：We=Wi，证毕。,Page,65,12-5 单位载荷法,单位载荷法：建立在虚功原理基础上

17、的计算位移的一般方法。,该方法的要点：,1.由实际载荷引起的实际位移当作虚位移，实际变形当作虚变形,右上图，虚线表示的实际位移曲线当作虚位移曲线；微段的轴向变形dd，扭转角df,相对转角dqy,dqz(y,z为截面主形心轴)当作虚变形。,2.虚拟单位载荷（右下图红箭头）作为实际外载，所引起的内力作为可能内力：,Page,66,3.单位载荷法的基本公式,Page,67,线位移，加单位力角位移，加单位力偶相对线位移，加一对相等相反单位力相对角位移，加一对相等相反单位力偶,关于位移与单位载荷,关于位移方向,当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向,D 广义位移，求解时施加相应单位广义载荷,Page,

18、68,4.单位载荷法的适用范围：不仅适用于线弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系,5.对于线弹性杆或杆系的公式,Page,69,2.分段建立弯矩方程。,注意：实际载荷状态与单位载荷状态必须分开画两个图，且两图分段与坐标应相同。圆弧段用极坐标方便。,例:弯曲刚度EI，求A点铅垂位移,分析步骤：,1.根据待求广义位移配置单位载荷状态。,Page,70,解：对于AB段：,对于BC段：,Page,71,根据对称性,例:弯曲刚度EI，求C点挠度 和A点转角,解：（1）求，配置单位载荷状态,AB段：,BC段：,Page,72,根据对称性,解：（2）求，配置单位载荷状态注意一对单位力偶分别作用在

19、刚架的A、D端，这样求出的是A、D的相对转角,Page,73,解：,例:各杆EA，求AB杆转角，A、D点相对位移,Page,74,解（2）求A、D的相对位移,配置单位载荷系统,Page,75,分析步骤：,（1）建立弯矩、扭矩方程,（2）校核强度（如何确定危险截面）,（3）求相对位移,例:P=2F,F=80N,=240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm,忽略开口宽度（1）按第三强度理论校核强度（2）求开口沿F 方向相对位移,Page,76,（2）校核强度,a.合弯矩方程,b.,解：（1）建立弯矩方程与扭矩方程,Page,77,c.求 极值,安全！,即,（2）校核强

20、度,Page,78,（3）求沿F 相对位移,沿F 方向加一对单位力,Page,79,解：原结构各杆长度变化,例:杆1制造误差长，求 与,（1）求,在B 加向下单位力,Page,80,解：,对比：用几何法求 和,（2）求 加单位力偶1,Page,81,解：几何法求解，DBC速度瞬心为K,例:杆1制造误差长，求 与,又,Page,82,求解思路讨论：,A 点在与F 垂直方向位移,例:A点位移与F 方向相同，求角,解：配置单位载荷系统,Page,83,Page,84,例:已知EI，求AB段变形所扫过的面积。,解：配置单位载荷系统,Page,85,由平面假设,令,例:求,分析：由单位载荷法，关键求,Page,86,建立原结构和单位载荷系统的弯矩方程,Page,87,作业12-1512-1612-2112-25,