面板数据模型讲义.ppt

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1、第九章 面板数据模型,第一节 面板数据与面板数据模型第二节 固定影响模型第三节 随机影响模型第四节 SUR模型*第五节 随机系数模型*第六节 动态面板数据模型,第一节 面板数据与面板数据模型,一、面板数据 混合数据（pooled data）是指将横截面数据和时间序列数据结合在一起的数据。混合数据包含不同横截面个体不同时期的数据，或者说，混合数据包含既跨越时间又跨越空间的数据。如果混合数据包含的观测值来自同一批地区、公司、人员或其它横截面个体的不同时期数据，则此类混合数据称为面板数据（panel data）。,如果混合数据包含的观测值来自从一个大总体中随机抽样的主体不同时期的数据，则此类混合数据

2、称为非面板混合数据。例如，我们每年对北京市固定的一万户家庭消费的观测记录所得到的数据集就是面板数据；而我们每年对北京市居民家庭随机抽样一万户家庭消费的观测记录所得到的数据集就是非面板混合数据。在实践中，面板数据通常比非面板混合数据更有用，这是因为面板数据中的地区、公司、人员等横截面个体在各时期中一直保持不变，这使得我们更易于对这类个体随着时间的推移所发生的变动进行比较和分析。,相应地，我们将基于面板数据的回归模型称为面板数据模型（panel data model）。面板数据模型可以分为单方程面板数据模型和联立方程面板数据模型；也可以分为线性面板数据模型和非线性面板数据模型（如离散被解释变量面板

3、数据模型、受限被解释变量面板数据模型）。,相应地，我们将基于面板数据的回归模型称为面板数据模型（panel data model）。面板数据模型可以分为单方程面板数据模型和联立方程面板数据模型；也可以分为线性面板数据模型和非线性面板数据模型（如离散被解释变量面板数据模型、受限被解释变量面板数据模型）。二、面板数据模型的优点1利用面板数据进行的经济分析更全面2利用面板数据能够改进估计的有效性,三、分析面板数据的一般模型框架 分析面板数据的基本框架是形如下式的回归模型：,其中,中有k个解释变量，不包括常数项。异质性或个体影响 由表示，其中包含一个常数项和一组体现横截面个体影响但不随时间变化的变量，

4、例如可观测的种族、性别等，或无法观测的家庭特征、偏好等，所有这些变量都只体现横截面个体特征，而不随时间变化。如果所有横截面个体的 都可以观测到，那么整个模型可被视为一个普通线性模型，并可用最小二乘法来拟合。但在大多数应用中，不可观测，处理起来就要复杂得多。,分析的主要目标是偏效应（partial effects）的一致和有效估计：,是否能达到这个目标取决于有关不可观测的影响的假设。我们以自变量的严格外生性假设作为起点,该假设为：,即当期扰动项与过去、现在和未来的每一期中的自变量都无关。,模型关注的重要方面是异质性，这方面特别方便的一个假设是所谓的均值独立（mean independence）：

5、,如果该假设成立，即不可观测的变量与包括在模型中的变量无关，那么下面将看到，可以将它们包括在模型的扰动项中，这正是随机影响模型的基础假设。可是，这是一个很强的假设，很多情况下无法满足。弱一些的假设是：,假设条件放宽了，模型的适应面也宽了，但复杂性也大大增加了，因为需要有关函数性质的假设。,四、模型结构 我们将研究分析面板数据的各类模型，它们大致可分为如下几种类型：1混合回归（pooled regression）若中仅包含常数项，则模型形式如下：,这类模型假设所有的横截面个体在各个不同时期的斜率和截距都是相同的，这样就可以直接把面板数据混合在一起，用OLS估计参数，得到一致和有效估计量。由于混合

6、回归模型假设解释变量对被解释变量的影响与横截面个体无关，这在现实中是很难成立的，所以应用不广。,2固定影响（fixed effects）,如果 不可观测，但与 相关，则由于遗漏了有关变量，的OLS估计量是有偏和不一致的。可是在这种情况下，模型,包含了所有可观测的影响，并且设定了一个可估计的条件均值。这就是固定影响模型。其中。固定影响模型将 视为回归模型中每一个体各自不同的常数项。注意，这里使用的“固定”一词是表明 和 的相关，并不表明 是非随机的。,固定影响模型可分为三类，即个体固定影响模型（Entity fixed effects model）、时点固定影响模型（Time fixed eff

7、ects model）和个体时点固定影响模型（Entity and time fixed effects model）。在本章中，我们只介绍个体固定影响模型。,3随机影响（random effects）如果未观测到的个体异质性可以被假定与包括在模型中的变量无关，则模型可设定为,这是一个带复合扰动项的线性回归模型。可用OLS法估计，得到一致但非有效的估计量。（9.4）称为随机影响模型。这里 是一个反映横截面个体影响的随机元素。固定影响模型和随机影响模型的关键区别是未观测到的个体影响是否包含与模型中解释变量相关的元素，而不在于这些影响是否随机。,4.随机系数（random coefficients

8、）,随机影响模型可看成是一个带有随机常数项的回归模型。如果数据集足够丰富，我们可以将此思路扩展到其它系数也随着个体随机变动的模型，从而得到随机系数模型：,其中 是一个引起参数跨个体变动的随机向量。,第二节 固定影响模型,一、固定影响模型的设定 上一节给出了分析面板数据的一般模型,固定影响模型源于一般模型中被遗漏的影响 与包括的变量 相关的假设，此假设的一般形式是：,（9.6）,由于上式中的条件均值在所有时期中都相同，我们可将模型写成,括号项可通过构造使其与 不相关，因而可将其吸收到扰动项中，模型可写为,（9.7）,这就是固定影响模型。从模型的设定可知，固定影响模型假设横截面个体之间的差异为截距

9、不同，而斜率系数相同，即允许不同的横截面个体的截距是不同的，但每一个体的截距在各个不同时期则保持不变。换句话说，固定影响模型假定不同横截面个体的差异可用不同的常数项 来描述，在此模型中，被作为要估计的未知参数。,如果进一步假设 为常数，则在此假设下，（9.7）变成经典线性回归模型。,二、固定影响模型的参数估计,固定影响模型参数的估计方法有两种，一种是最小二乘虚拟变量（LSDV）估计法，另一种是组内估计（Within Estimator）或称协方差估计（The Analysis of Covariance Estimation，ANCOVA）。下面介绍这两种参数估计方法。,1.LSDV估计法 设

10、 和 为第i个横截面单元的T个观测值，是一个元素全为1的 列向量，为相应的扰动项 列向量，则,（9.8）,将全部i个单元汇集在一起，给出,或,（9.9）,这里 是第i个单元为1其它单元为0的虚拟变量。设 矩阵，则将所有 行组合在一起，有,此模型通常称为最小二乘虚拟变量模型(least squares dummy variable model，LSDVM)。此模型是一个经典线性回归模型。如果n足够小，模型就可用OLS法估计，对中K个解释变量和D中的n列回归，共 个参数。,实际应用中，n 通常很大，数以千计，模型很可能超出任何计算机的存储容量。可考虑使用分块回归技术以减少计算量。有关分块回归技术的

11、详细讨论参见Greene（2008）。另一方面，运用LSDV估计固定影响模型，需要加入n个虚拟变量，当模型中的虚拟变量的个数n很大时，回归中会损失大量的自由度。解决这个问题的思路是对模型进行变换，消去常数项，再用变换后的模型回归。,为表达方便起见，不失一般性，我们用双变量模型来说明。在这种情况下，模型（9.7）简化成：,（9.10）,我们对第i个横截面个体在时间上求均值，则有,（9.10）（9.11），得,这样在模型（9.12）中，常数项就被去掉了。令,则模型转换为,对模型（9.13）运用OLS进行回归，就得到 的OLS估计值。,2.组内估计法 为表达方便起见，先考虑双变量模型,，假定。,再令

12、,定义，称为组内均值。组内平方和及交叉乘积和为：,参数 和 的估计值由 关于和 最小化得到。我们有,不难看出，上式中1、3两项分别是；而2、4两项内层求和号中都是离差和，内层对t求和恒等于0。因此我们得到,被称为组内估计量，记为 或。,为了使组内估计量是一致估计量，必须满足，而满足此条件的充分条件是 与 不相关，则 与 也不相关。即满足,也就是说 是严格外生的。在多个解释变量的情况下，前面的结果变为,三、检验个体影响的显著性,如果我们对不同横截面个体的差异感兴趣，我们可以用F检验来检验每个横截面个体的常数项是否都相等。即假设，检验的F统计量为：,F(n-1,nT-n-K),或,F(n-1,nT

13、-n-K),式中，为最小二乘虚拟变量模型的决定系数，为受约束模型（即混合回归模型）的决定系数；受约束模型的残差平方和，为最小二乘虚拟变量模型的残差平方和。,在给定的显著性水平下，如果拒绝了原假设，则将模型设定为固定影响模型；如果接受原假设，则模型设定为混合回归模型。,例9.1 我们搜集我国20012007年我国内地31个省市自治区城镇居民家庭人均年可支配收入、城镇居民家庭人均年消费支出和各地区城镇居民消费价格指数的数据，建立消费收入模型，以研究城镇居民的消费行为。模型中用到的变量是：,Cit=i省市第t年城镇居民人均消费，单位：元Yit=i省市第t年城镇居民人均收入，单位：元Pit=i省市第t

14、年城镇居民消费价格指数（1985100）,事实上，对于这3个变量中的每一个，都有217个观测值（31个省市乘以7年）。由于在每个时期（每一年）都是这31个省市，因此这些混合数据是面板数据。现实中，即使每个时期中每个省市的消费与收入之间的关系都相同，但经济发达的省市与经济落后的省市的城镇居民的消费模式、消费理念肯定是有差别的。因此，为简单起见，我们假定采用固定影响模型，模型形式如下：,此模型的回归我们不采用LSDV法，这会损失很多的自由度，因而采用组内估计法。应用EViews6，估计模型参数，结果为：31个省市自治区城镇居民家庭人均年边际消费倾向均为0.552，自主性消费（截距项）有很大差异，见

15、表9.1。,表9.1 全国31省市自治区自主性消费水平,从表9.1可看出，我国各地区城镇居民的自主性消费水平存在较大的差异，广东、北京、上海等居民自主性消费水平几乎是江苏、安徽、青海等居民的两倍，江西、河南居民的三倍。我们可以利用回归结果来检验31个省市的截距是否相同，原假设和备择假设是：,检验的具体做法与我们在第二章中介绍的涉及多个系数的联合假设检验类似，即首先进行约束回归和无约束回归，然后用得到的两个残差平方和计算F检验量，进行检验。,本例中约束回归就是混合回归模型；而无约束回归就是固定影响模型，因为它允许不同省市的截距取不同值。本例中F检验量计算如下：,查表，5显著性水平下，F(30,1

16、85)=1.46，因为F10.55 Fc1.46，故拒绝原假设H0。结论：31个省市的截距不全相等。,第三节 随机影响模型,固定影响模型允许未观测到的个体影响与包括的变量相关。如果个体影响与解释变量严格不相关，那么在模型中将个体的常数项设定为跨横截面单元随机分布，可能是恰当的。如果横截面个体是随机地被选择出来以代表一个较大的总体，则采用随机影响模型（random effects model）比较合适。随机影响模型与固定影响模型一样，通过允许截距变动来处理横截面个体之间的差异，但截距变动的量是随机的。,采用随机影响模型的好处是它大大减少了要估计的参数，代价是，如果我们关于随机常数项的假设被证明不

17、恰当的话，得到的估计值可能是不一致的。,一、随机影响模型的设定 为简单起见，我们在此仅介绍一元随机影响模型，所得到的结果不难推广到多元的一般情形。一元随机影响模型可表示为,假设：,由于是一个随机变量，则模型（9.14）的扰动项有两个分量，一个是，一个是，令，其中满足OLS关于扰动项的假设条件，代表每个横截面个体的截距与截距均值之间的差异，这个分量不随时间改变，但对于每个横截面个体都不同。,由于扰动项的这个分量不随时间而变，因此随机影响模型中的扰动项将不满足OLS关于各期扰动项互不相关的假设条件，事实上，我们有,由上可见，尽管模型的扰动项在不同横截面个体之间是独立的，但在同一个横截面个体内是存在

18、自相关的，因此模型（9.14）的估计就不能采用OLS，而需采用广义最小二乘法（GLS）进行估计。,二、随机影响模型的参数估计,对模型（9.14）采用GLS进行估计，其GLS估计量为：,其中、和 分别是前面介绍过的组内平方和和交叉积，而、和 分别为组间平方和和交叉积，其计算公式如下：,其中,为总平方和及总交叉乘积。,现在我们来考虑两种极端的情况：（1）当 为0时，则为1。若为1，则GLS估计量就等价于OLS估计量，模型为经典回归模型。（2）当 为0时，为0。若为0，则GLS估计量就等价于固定影响模型中的虚拟变量估计量。这是因为 为0时，不同个体之间的全部差异都来自于不同的，而由于 在不同时期是保

19、持不变的，这就等同于我们在固定影响背景下所用的虚拟变量。,在实际应用GLS估计时，是未知的，所以必须先对进行估计，即估计。Fuller和Battese（1973）提出了下面的估计方法。,对模型（9.14）两边在时间上取均值，则,（9.14）（9.15），得,对（9.16）进行OLS估计，用得到的残差 来估计，即,模型（9.15）中，令，则,（9.17）,对（9.15）回归，用得到的残差来估计，即,然后根据（9.17）用 和 来估计，得到,最终得到的估计值,当模型中有多个解释变量时，广义最小二乘估计量为,三、随机影响的检验,Breusch和Pagan（1980）基于拉格朗日乘数（Lagrange

20、 multiplier）法提出了随机影响的检验方法。其原假设和备择假设分别为：,原假设表示横截面个体的随机影响不存在，则模型为混合回归模型，其参数可用OLS进行估计。检验统计量如下：,其中,例9.2 仍采用例9.1的数据，假设截距差异是随机的，建立随机影响模型，模型如下：,应用EViews6，估计模型参数，得到31个省市自治区城镇居民家庭的随机影响模型如下：,人均年边际消费倾向均为0.585，截距的均值为1499.78，各个省市与截距均值的差异见表9.2。,表9.2 随机影响模型中各省市截距与截距均值的差异,我们可以利用回归结果来检验31个省市截距随机影响是否存在，原假设和备择假设是：,检验统

21、计量如下：,查表，5显著性水平下，=3.84因为LM98.765 3.84，故拒绝原假设H0。结论：31个省市的截距存在随机影响，模型应设定为随机影响模型。,四、豪斯曼检验（Hausman Test）,豪斯曼检验的思路是在随机影响模型中，如果，即随机影响与解释变量之间没有正交性，则GLS估计量 是有偏和非一致的。但是，正交性并不影响固定影响模型的组内估计量 的性质。于是，通过检验模型误差项与解释变量的正交性就可解决面板数据模型的设定问题，如果模型误差项与解释变量之间是正交的，即GLS估计量是无偏的，则应将模型设为随机影响模型，否则设为固定影响模型。其原假设与备择假设分别为：,检验统计量为：,其

22、中,可见，拒绝原假设 时，模型设定为固定影响模型；否则，模型应设定为随机影响模型。,例9.3 在例9.1及例9.2中，我们分别假定模型为固定影响模型和随机影响模型，在本例中，我们应用豪斯曼检验来判别我国31个省市的消费模型中的截距差异是确定的还是随机的。,应用EViews6，对例9.2随机影响模型进行豪斯曼检验，结果如下表9.3。,表9.3 豪斯曼检验结果,从表9.3可知，豪斯曼检验统计量m39.37，其p值小于显著性水平0.05，则拒绝原假设，即城镇消费模型应设定为固定影响模型。,第四节 SUR模型,泽尔纳（Zellner）提出的表面不相关回归（Seemingly unrelated reg

23、ression，SUR）是另一种可供选择的分析面板数据的方法。在SUR模型中，各个方程的扰动项在时间上是独立的，但在横截面单元间相关，GLS法被应用来利用这种扰动项中跨横截面单元的相关：,一、表面不相关回归模型,表面不相关回归模型的一般形式为：,模型有n个方程，每个横截面单元一个。每个方程都有自己的斜率系数，即每个横截面个体的解释变量对被解释变量的影响是不随时间变化的确定性关系，但随着横截面个体的不同而不同。模型的扰动项 满足下列条件：,则模型扰动项的方差协方差矩阵为：，其中,的维数是。,由假设条件可知，各个回归方程之间实际上确实有关联。表面不相关回归容许各个回归方程的扰动项之间存在跨方程相关

24、，方程中的诸u在任何一个时期中不必相互独立，即不同方程的扰动项之间可以存在同期相关。这样，SUR估计程序就可以使用扰动项的相关来改善估计值。各个回归之间任何的相关都是有价值的信息，它可能是告诉我们某时期中发生了某些影响不止一个个体的变化或事件，这一变化并没有被任何一个自变量捕捉到，而只能反映在扰动项中。,事实上，在经济活动中，有许多问题具有同期相关性，例如，在各种资产定价模型中，由于资产处于同一个市场环境中，会共同受到政策、市场环境等不易观测或度量的因素的共同影响，则其扰动项会表现出显著的同期相关性。因此，在研究这些问题时，就可将模型设定为表面不相关模型。,二、表面不相关回归模型的参数估计,S

25、UR模型的参数估计按以下三个步骤进行：1用OLS法分别估计每个方程，计算和保存回归中得到的残差；2用这些残差来估计扰动项方差和不同回归方程扰动项之间的协方差，即 矩阵中各元素：,于是得到了 和 矩阵的估计值 和。,3上一步估计的 矩阵被用于执行广义最小二乘法，得到各方程参数的GLS估计值。,表面不相关回归得到的估计值是一致估计值。在下面两种情况下，表面不相关回归与分别运行OLS回归的结果相同：（1）若各方程的扰动项之间的协方差都等于0；（2）若各方程的自变量都相同，并且每个自变量的每个观测值亦相同。,三、同期不相关性的假设检验,Breusch和Pagan（1980）基于拉格朗日乘数检验方法提出

26、了检验原假设,检验统计量为,在给定显著性水平下，拒绝原假设，则表示模型方程的扰动项存在同期相关，则模型应设定为表面不相关回归模型。,例9.4 在本例中，我们从例9.1的数据中选取北京、辽宁、浙江、四川、安徽、河南等6个省市的数据来建立消费模型（c为消费，y为收入），并用SUR方法和OLS分别进行估计，结果见表9.4。,表9.4 SUR估计结果与OLS估计结果的比较,表9.4中a表示方程中的常数项，y表示收入。如：北京市的SUR估计结果为：,经比较，我们可发现，SUR相对于OLS估计结果而言，各方程的系数变化不大，但各系数的标准误差明显降低，t值有显著提高。这说明SUR方法利用各方程同期相关的信

27、息，显著改善了方程的估计值。,*第五节 随机系数模型,如果每个横截面个体的解释变量对被解释变量的影响是不随时间变化的确定性关系，但随着横截面个体的不同而不同，则我们可以利用面板数据建立表面不相关回归模型，但是当这种影响在横截面个体之间差异的变动是随机的时候，我们就得考虑建立随机系数模型。,一、随机系数模型的设定,在随机系数模型中，是一个随机变量，为简单起见，我们先不考虑，则一元随机系数模型可表达为：,经整理，模型为,由于,可见模型存在异方差和自相关，故采用GLS进行估计。,二、随机系数模型的参数估计,随机系数模型的GLS估计量为各横截面个体方程的OLS估计量的加权平均，其公式如下：,但由于实践

28、中，和 是未知的，因此需要先对其进行估计。方法为对每个横截面个体方程进行OLS估计，得到残差，则,当模型中有多个解释变量时，将会是一个矩阵，记为，将是一个向量，和 是矩阵，为：,*第六节 动态面板数据模型,一、动态面板数据模型本节将简单讨论两类动态面板数据模型：1.序列相关面板数据模型,2.包含滞后因变量的面板数据模型,两个模型中扰动项皆满足，且和是相互独立的。,二、动态面板数据模型的参数估计 模型的参数估计可采用极大似然法（ML）、工具变量法（IV）、广义矩估计（GMM）等方法，但由于这些方法比较复杂，具体本节就不介绍。对（9.20），我们将考虑比较简单的估计方法，虽然估计量不如ML估计量、IV估计量、GMM估计量有效，但是更容易计算。与前面一样，为表达方便起见，不失一般性，我们用双变量模型来说明。在这种情况下，模型（9.20）简化成：,（9.22）,先对模型（9.22）进行变换，对模型左右两端取滞后一期，则模型为,模型（9.22）减去乘以模型（9.23），得：,令,（9.24）变换为,（9.25）可采用GLS进行估计，具体估计方法见随机影响模型。,