奈奎斯特奈氏图判断稳定性教学课件PPT.ppt
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1、43 奈奎斯特稳定判据,第三章已经介绍,闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统,解出特征根就能判断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统,求解特征根通常都很困难,前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。奈奎斯特(Nyquist)稳定判据(简称奈氏判据)是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法,它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得,因此,应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。,一、幅
2、角定理(Kauthy 幅角定理)幅角定理又称映射定理,它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的,因此有必要先简要地介绍幅角定理。设有一复变函数 称之为辅助函数,其中 是系统的开环传递函数.,通常可写成如下形式 式中 是系统的开环极点,将式(4-106)代入式(4-105)得 比较式(4107)和式(4106)可知,,辅助函数 的零点 即闭环传递函数的极点,即系统特征方程 的根。因此,如果辅助函数 的零点都具有负的实部,即都位于S平面左半部,系统就是稳定的,否则系统便不稳定。,假设复变函数 为单值,且除了S平面上有限的奇点外,处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平面上除
3、奇点外处处解析,那么,对于S平面上的每一个解析点,在 平面上必有一点(称为映射点)与之对应。例如,当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外,在S平面上任取一点,如 则,(一)S平面与 平面的映射关系,如图437所示,在 平面上有点 与S平面上的点 对应,就叫做 在 平面上的映射点。,如图438所示,如果解析点 在S平面上沿封闭曲线(不经过 的奇点)按顺时针方向连续变化一周,那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线,但其变化方向可以是顺时针的,也可以是逆时针的,这要依据辅助函数的性质而定。,(二)幅角定理(映射定理)设 在S平面上,除有限个奇点外,为单值的连续正则函数,若在S
4、平面上任选一封闭曲线s,并使s不通过 的奇点,则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F。当解析点s按顺时针方向沿s 变化一周时,则在 平面上,F 曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线s内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z(4108)式中,若N0,则F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周;若N0,则F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周;且若 N=0,则F不包围F(s)平面坐标原点。在图438中,在S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。被s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个,即Z=2,包围的极点只有P2,即P=1,由式(410
5、8)得 N=P-Z=1-2=-1 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。由幅角定理,我们可以确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。,前面已经指出,的极点数等于开环传递函数 的极点数,因此当从 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后,则在 S 平面上封闭曲线s 包含的零点数Z(即系统的闭环极点数)便可简单地由下式计算出来 Z=P-N(4-109)封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的,因为它不影响上述结论。关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍,这里仅从几何图形上简单说明。设有辅助函数为(4-110)其零、极点在S平面上的分布如图
6、 439 所示,在 S平面上作一封闭曲线s,s不通过上述零、极点,在封闭曲线s 上任取一点,其对应的辅助函数 的幅角应为(4-111),当解析点s1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点,从图中可以发现,所有位于封闭曲线s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0,而位于封闭曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2pi弧度(一周)。这样,对图439(a),Z=1,P=0,即N=1,绕 平面原点顺时针旋转一周;对图439(b),Z=0,P=1,即N=1,绕 平面原点逆时针旋转一周;对图439(c),Z=1,P=1,即N=0,不包围 平面原点。
7、将上述分析推广到一般情况则有(4-112)由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z(4-113),图 4-39,图 4-39,图 4-39,二、基于辅助函数 的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性,只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。为此,在S平面上作一条完整的封闭曲线s,使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如图440所示,该曲线包括S平面的整个虚轴(由 到)及右半平面上以原点为圆心,半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然,由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z,就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。,图4-40 Nyquist轨迹,前面已经指出,辅助函
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