概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT.ppt

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1、1.4 条件概率与事件的独立性,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,1.4.1、条件概率,条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B)P(A),P(A)=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)=1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A)=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件

2、二等品.现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,P(A)=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,注1.如果B,则条件概率即为前面所定义的概率.如果B,则条件概率相当于将样本空间缩小为B.,注2.,事件 A 发生的条件下事件,B 发生的条件概率.,设A、B为两事件,P(B)0,则,定义,称 为事件 B 发生的条件下事

3、,件 A 发生的条件概率，记为,（1）古 典 概 型:可用缩减样本空间法;,（2）其 它 概 型:用定义与有关公式;,注3.条件概率的计算方法,条件概率也是概率,故具有概率的性质：,上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列性质:,有限可加性,可减性,例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女,孩的家庭中,另一小孩也是女孩的概率有多大?,(假设生男,生女是等可能的),单调性,加法公式,半可加性,B=至少有一个女孩家庭=(男,女)(女,男)(女,女),于是所求概率为,AB=至少有一个为女孩家庭中,另一个小孩也是女孩=(女,女),解：根据题意样本空间为,=(男,男)(男,女)

4、(女,男)(女,女),例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此,类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的,解：设B:活到20或20岁以上;A:活到25岁以上,概率是多少?,求P(A|B),AB,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,二、乘法公式,一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到

5、“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

6、,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,(1)设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B),(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则 P(B)=().,课堂练习,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,三、事件的独立性,A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,定 义,设 A,B 为两事件，若,则称事件A与事件B 相互独立,注1.两事件 A 与 B 相互独立是相

7、互对称的,若,注2.若,则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和“事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容)”不能同时成立,注3.若,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即 若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.,而P(A)0,P(B)0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，

8、且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,两事件相互独立的性质,试证其一,事实上,性质2.A、B两个事件独立，则,三事件 A,B,C 相互独立,是指下面的关系式同时成立：,(2),定义,注2)仅满足(1)式时,称 A,B,C 两两独立,也称 A,B,C 为两两独立的事件组.,注1)三事件A,B,C 相互独立,要求满足(1)(2)式,也称 A,B,C 为相互独立的事件组.,注3)关系式(1)(2)不能互相推出.,n 个事件 A1,A2,An 相互独立 是指下面的关

9、系式同时成立,定义,两两独立的事件组未必是独立的事件组。,独立的性质,性质2.若 A1,A2,An 相互独立,则,例 已知事件 A,B,C 相互独立,证明事件,证,概率是多少？(这三种品质相互独立).,解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘,则所求概率为,根据题意有,即十亿分之一。,例 有一个单身汉，他梦想的姑娘有一笔直的鼻,梁，金色的头发，并有充分的概率统计知识，假,设对应的概率分别为0.01,0.01,0.00001,那么他遇,到第一位姑娘(或随机挑一位)具有前三种品质的,例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解 将三人编号为1，2，3，,所求为,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,1,2,=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),3,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为 p,每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.,S1:,S2:,注 利用导数可证,当 时,恒有,总结,一、条件概率,二、乘法公式,三、事件的独立性,