第七章 应力和应变分析 强度理论.ppt

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1、1,第七章 应力和应变分析 强度理论,本章内容:7.1 应力状态概述7.2 二向和三向应力状态的实例7.3 二向应力状态分析 解析法 7.4 二向应力状态分析 图解法 7.5 三向应力状态7.6 位移与应变分量7.7平面应变状态分析7.8 广义胡克定律7.9 复杂应力状态的变形比能7.10 强度理论概述7.11 四种常用强度理论7.12 莫尔强度理论 7.13 构件含裂纹时的断裂准则,2,7.1 应力状态概述,由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。,无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，

2、为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。,3,n,设杆的横截面面积为A，,则斜截面面积为：,这是斜截面上与轴线平行的应力,直杆轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力,为横截面正应力,杆件截面上各点的应力会随点在截面的位置不同和截面的方向不同，应力的数值将发生发生变化,研究截面上任一点在各个不同方位的应力情况点的应力状态,4,一、一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。,2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,二、研究应力

3、状态的方法单元体法,1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,5,（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。,（2）面的方位用其法线方向表示,3.截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：,2.单元体上的应力分量,单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；,4.单元体的特点,单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。,6,c)同b)，但从上

4、表面截取,b)横截面，周向面，直径面各一对,a)一对横截面，两对纵截面,C,A,B,d)从A、B、C三点截取,7,5.主应力及应力状态的分类,主应力和主平面,切应力全为零时的正应力称为主应力；,主应力所在的平面称为主平面；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用1,2,3 表示(1 2 3)。,应力状态分类,单向应力状态,二向应力状态(平面应力状态),三向应力状态(空间应力状态),主单元体,8,7.2 二向和三向应力状态的实例,1 二向应力状态的实例,薄壁圆筒,端部总压力,n,取研究对象如图。,9,求,计算N力,即：内压力在y方向的投影等于内压乘以投影面积。,所以,10,可以看出：轴向应力 是环

5、向应力的一半。对于薄壁圆筒，有：,所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。,11,2 三向应力状态的实例,滚珠轴承,12,例8.1:已知：蒸汽锅炉，=10mm,D=1m,p=3MPa。,解：,求：三个主应力。,前面已得到,13,7.3 二向应力状态分析 解析法,二向应力状态的表示,应力状态分析,在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。,切应力的下标,作用面的法线,切应力的方向,平面应力状态两向应力状态,正负号规定,14,切应力,使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。,截面的方向角,由x正向逆时针转到截面的

6、外法线n的正向的角为正;反之为负。,15,计算方向角为的截面上的应力,以单元体的一部分为研究对象。,由平衡条件,16,17,考虑到剪应力互等定理：xy=yx以及利用三角函数关系：,18,最大正应力和最小正应力,令：,可以看出：当=0 时，,取极值的正应力为主应力。,若 0 满足上式，则 0+90也满足上式，代入公式可得：,平面应力状态下的主应力为：,19,正应力的不变量,截面上的正应力为:,+90 截面上的正应力为:,任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.,20,最大切应力和最小切应力,令：,若 1 满足上式，则 1+90也满足上式，代入,公式可得：,21,若 1 满足上式，则 1+90

7、也满足上式，代入,公式可得：,切应力的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力,将 1 和 1+90 代入公式可得：,即：主剪平面上的正应力为平均正应力。,22,主平面与主剪平面的关系,由 0 和 1 的公式可得：,即：主平面与主剪平面的夹角为45。,23,例7.3:图示单元体，试求：主应力并确定主平面的位置。,解：,根据应力的符号规定的规则：,24,主应力按大小顺序排列为：,25,例7.4:已知：圆轴受扭转。求：应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象。,解：,最大切应力,取单元体ABCD,纯切应力状态,主应力,主方向,或,26,主应力,主方向,或,主应力排序,圆轴扭

8、转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；,对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断,对于脆性材料(如铸铁粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。,27,例(p256)7.11 如图所示的简支梁由36a工字钢组F=140KN,L=4m。A点所在的截面在集中F的左侧，且无限靠近F力作用的截面，试求：1).A点在指点截面上的应力。2).A的主应力及主平面位置,解：,1.计算集中F且无限靠近F力作用的截面的左侧的弯矩为：,查表：,28,29,30,31,

9、主应力 主平面 主方向角,32,例 图示梁，求得m-m截面上的k点处的正应力大小70MPa,剪应力大小为50MPa。试确定k点的主应力及主平面的方位，并讨论同一横截面上其他点的应力状态。,M,K,Q,解：1、切取单元体，确定A的应力状态，如图所示。,2、应力状态分析：,计算主应力的大小及位置,33,例：试画图示拉弯构件点A的单元体，并求A 点-60o斜截面上的应力。,解(1)构件发生拉扭组合变形，构件横截面上有拉伸引起的正应力，和扭转引起的剪应力。其原始单元体如图（c）、(d)所示：,34,(2)求A点指定-600斜截面上的应力,35,(3)求梁的主应力及主平面方位角：,(4)画点的主应力单元

10、体如图（e）所示。,36,例7.4 已知:A点应力=-70MPa,=50MPa。,解：,求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。,A点单元体,取x轴如图所示,A点的主应力,37,主应力,主方向角,或,38,单向拉伸,单向压缩,纯剪切,其它几点的应力状态,39,主拉应力1迹线,主应力迹线,主压应力3迹线,主应力迹线主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位,40,例(p255)7.8：,已知矩形截面梁，某截面上的剪力Fs=120 kN及弯矩M=10KN.m。试绘出1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=50 mm，h=100 mm。,从

11、图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，3点上既有正应力又有切应力。,计算各点处主应力,梁截面惯性矩为,1 点处弯曲正应力（压应力）,1 点为单向压缩受力状态，所以,解：,41,2点的应力计算（纯剪切）,42,3点的应力计算,43,例(p256)7.15):以绕带焊接成的园管，焊缝为螺旋线，管的内径为300mm,管的壁厚为1mm内压为p=0.5Mpa，求沿焊逢斜面上的正应力和切应力。,解：,在焊逢斜面上取一单元体如图：,轴向应力为：,环向应力为：,xy=0,焊逢斜面上的正应力和切应力,方向角=400,44,7.4 二向应力状态分析 图解法,1 应力圆(莫尔圆)方

12、程,由公式,平方相加得,45,这是坐标轴为：、，以、为变量的圆的方程。,园的半径：,圆心坐标为：,O,R,应力园,46,应力圆是在以横坐标轴为，纵坐标轴为上画出 应力圆的圆周上的每一个点分别代表着所研究的单元体上某一斜截面上的正应力和切应力 应力圆上的点的纵、横坐标与单元体上的截面的切、正应力，有着一一对应的关系，称为“点面对应”,应力圆的画法步骤：1）建立O直角坐标系2）按选定的比例尺，在O坐标系中定出x面上的点D1(x、x)和y面上的点D2(y、y)3）连接两点得到交点，即为应力圆的圆心C,2 应力圆的画法,47,（y，-y),具体作法：,（x，x),该圆上的每一点表示单元体上斜面的正应力

13、和切应力如果欲求任意斜截面上的应力只要按斜面的方向从x面转过2倍的角度即可得到该面的应力,2,三、主应力和最大切应力,max,注意应力圆的A1、A2点和G1点,48,由应力圆的A1点和A2点处切应力为零这两点就是主应力的数值G1点为最大切应力的数值,主应力的方向用0表示,它表示从x面的D1点旋转到轴的方向各值为：,20,49,单向应力状态的应力圆,50,B,E,纯切应力状态的应力圆,D1,51,例：,一单元体应力状态如图。已知x=-20MPa，xy=20MPa，y=40MPa，yx=-20MPa。用应力圆求：1）=30斜截面上的应力；2）主应力与主平面的位置3）最大切应力,解：,建立O坐标系，

14、选定比例,(-20,20),(40,-20),确定x面上的点D1（-20，20）,确定y面上的点D2（40，-20）,过D1、D2作直线得到圆心C点完成应力圆,以CD1为起点顺时针旋转60得到E点,E点的坐标值就是30斜截面上的应力,30=-22.3MPa，30=-16MPa,求斜截面上的应力,52,求主应力及主平面位置,该应力圆上与轴相交的左右点A1和A2即为主应力数值,经测量得到：1=46.1MPa，2=0,3=-26.1MPa,20,经CD1到CA2（轴）之间的夹角20即是主方向角之一,经测量得到：20=A2CD1=33.7 0=16.85,最大切主应力应力圆的最高点G是切应力最大值所在

15、点,经测量得到：max=36.1MPa,主应力状态,53,例8.5:已知：x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa。,解：,求：用应力圆求主应力和主方向。,作应力圆:,由,D1点(80,-60),由,D2点(-40,60),画出应力圆,54,圆心坐标,半径,O,(-40,60),(80,-60),20,E,55,主平面,从D1点(x轴)逆时针转45至A1点，,由几何关系,O,(-40,60),(80,-60),20,E,sx,y,0=22.50,56,7.5 三向应力状态,三向应力状态,三个主应力均不为零的应力状态。,57,特例,至少有一个主应力的大小方向为已知。

16、,平面应力状态即为这种特例之一。,58,三向应力状态的应力圆,设三个主应力均已知。,平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆 I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆 III,任一方向面上的应力位于阴影区内。,59,最大切应力,t,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,60,200,300,50,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意：,(1),可能是1,也可能是2或3.,(2),按三个主应力的代数

17、值排序确定1,2,3。,(3),61,7.8 广义胡克定律,1.单向应力状态下的胡克定律,或,纯剪切应力状态下的剪切胡克定律,或,横向变形与泊松比,62,2.广义胡克定律,三向应力状态,可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。,叠加原理,用叠加原理的条件：,(1)各向同性材料；,(2)小变形；,(3)变形在线弹性范围内。,x方向的线应变 x,x引起的部分:,63,x方向的线应变 x,x引起的部分:,y引起的部分:,z引起的部分:,叠加得：,64,叠加得：,同理可得：,剪应变为：,这六个公式即为广义胡克定律。,65,用主应力表示的广义胡克定律,从前三式中可解出三个主应力,66,从前三式中可解

18、出三个主应力,例(p2597.27)从钢构件内某一点的周围取一部分如图，根据理论计算已经求得=30Mpa，=15Mpa，材料的E=200Gpa=0.30求对角线AC的长度改变量l。,解：,构件内的切应力对其线应变不产生影响。,67,对角线AC的长度改变量l,68,例：,已知:受扭圆轴，d,E,测得 45。求：外加扭矩的值。,解：,在测点取单元体,纯切应力状态,切应力为,要求出45方向的应变，需先求出 45方向的应力。,45方向为主应力方向,69,切应力为,45方向为主应力方向,由广义胡克定律,测扭矩的方法,70,3.体积胡克定律,单元体,变形前体积,变形后体积,略去高阶微量,单位体积的改变,7

19、1,单位体积的改变：,体积应变,将广义胡克定律,代入上式得,72,单位体积的改变,体积应变,将广义胡克定律代入上式得,又可写成,记,体积弹性模量,体积胡克定律,73,例7.9:已知:孔:d1=50.01mm柱:d2=50mm,P=300kN,钢块不变形。E=200GPa,=0.3。求：圆柱的主应力。,解：,柱受到的压应力,径向的应变,圆柱的主应力为：,74,7.9 复杂应力状态的变形比能,1 单向应力状态下的比能,功能原理,2 三向应力状态下的比能,变形能与加载方式无关,为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律,dy,75,2 三向应力状态下的比能,为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律,代入上

20、式，化简得,根据7，8的讨论，单元体上的平均应力为：,76,3 体积改变比能和形状改变比能,体积改变,形状不变；,体积不变,形状改变,因体积改变而贮存的变形能,体积改变比能,因形状改变而贮存的变形能,形状改变比能,77,体积改变比能：,78,形状改变比能,或,79,例8.10：已知:纯剪切应力状态。试导出E,G,之间的关系。,解：,第3章已求出纯剪切时,用本节公式求纯剪时的应变能,纯剪切时,80,强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。,7.10 强度理论概述,不同材料在相同的加载情况下，破坏(失效),的形式不同。,塑性材料：,屈服失效。,脆性材料：,断裂失效。,81,相同材料在不同的加

21、载情况下，破坏(失效),的形式不同。,塑性材料：,当有深切槽时，发生断裂。应力集中导致根部出现三向应力状态。,82,脆性材料：,83,对单向应力状态和纯剪切通过实验建立强度条件,对复杂应力状态无法通过实验建立强度条件,强度理论 根据部分实验结果，提出的假说。从而可根据单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。,强度理论分为两类：,7.11 四种常用的强度理论,适用于断裂失效情况,适用于屈服失效情况,84,1 最大拉应力理论(第一强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,强度条件,相当应力,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，

22、令,适用对象,脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且 s1、s2、s3 相近。,缺点,没有考虑 s2 和 s3 的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。,85,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,单向拉伸失效时,复杂应力状态时令,适用对象,脆性材料受压。,强度条件,相当应力,缺点,对脆性材料受拉与试验符合不好。,86,3 最大切应力理论(第三强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,复杂应力状态时,强度条件,适用对象,塑性材

23、料的一般受力状态。,缺点,偏于安全；没有考虑 s2 的影响。,87,4 形状改变比能理论(第四强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,代入上式得,88,复杂应力状态时,令上式在复杂应力状态时成立，得,强度条件,相当应力,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,缺点,计算相当应力较麻烦。,89,5 小结,强度条件可统一写为,第一强度理论和第二强度理论适用于脆性材料.,脆性材料受拉,第三强度理论和第四强度理论适用于塑性材料.,脆性材料受压,90,但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破

24、坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。,复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式,式中：n-构件的工作安全系数；n-构件的许用安全系数；0-材料的极限应力；r-相当应力；,91,（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力r。（5）确定材料的许用拉应力，将其与r比较。,3、应用强度理论的解题步骤,92,6 几种常见应力状态的相当应力,(1)单向拉伸,即：在单向拉伸应力状态下，各相当应力相同。,93,(2)纯剪

25、切,这就是书例7.12的主要内容。,94,(3)弯曲时一般位置处的应力状态,95,96,4、强度理论的应用举例,薄壁容器的强度计算,由横向截面上的静力平衡条件,由纵向截面上的静力平衡条件,97,因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论,98,例：,某转轴边缘上某点的应力状态如图所示。试用第三和第四强度理论建立其强度条件,解：,1）首先求出主应力,x=,x=,y=0,所以,第三强度理论建立的强度条件：,第四强度理论建立的强度条件：,99,先计算 oxy 平面内的主应力，然后计算工作安全系数,例 从某构件的危险点处取出一单元体如图所示，已知钢材的屈服点s=280MPa.试按第三强度

26、条件和第四强度条件计算构件的工作安全系数。,（1）求主应力,100 MPa,40 MPa,140 MPa,解：,100,（2）计算工作安全系数,通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。,101,例(p256)7.14 求图示单元体的主应力及主平面的位置(单位：MPa),解：,(3)AB的垂直平分线与sa 轴的交点 C 即是圆心，以 C 为圆心，以 AC为 半径画圆 应力圆,(2)在坐标系内画出点,(MPa),(1)应力坐标系如图,102,(4)按图计算 心标 和 半径 OC=(A 横坐标+B 横坐标)/2=70,(5)计算主应力及方位角,(6)在图上画主单元体、主应力,103,解：,例7.2 圆杆直径为d,受扭矩M和集中力F的作用,如图所示.(1).确定危险点的位置(2).用单元体表示危险点的应力状态.(3).按第三强度理论校核强度,