概率论的诞生及应用.ppt

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1、概率论的诞生及应用,1.概率论的诞生,干局，谁先赢 s 局就算赢,当赌徒A赢a局(a s),概率论是一门研究随机现象规律的数学分支.,起源于十七世纪，当时在误差、人口统计、人寿,保险等范畴中，需整理和研究大量的随机数据资,料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律,性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论,的问题，却是来自赌博者的问题.数学家费马向,帕斯卡提出下列的问题：“有两个赌徒相约赌若,了古典概率论的基础.概率论作为一门学科逐渐发展起来。,而赌徒B赢b局(b s)时,赌博中止,那赌本如何,分才合理?”于是他们从不同的理由出发,都给出,了正确的解法，而在三年后,荷兰的数学家惠根斯,(1

2、629-1695)亦用自己的方法解决了这一问题,更,写成了论赌博中的计算一书,此即概率论最,早的论著,在他们三人提出的解法中,首先都涉及,了数学期望(mathematical expectation),这一概念，并由此奠定,(1)金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；,(2)流水线上产品质量检验与质量控制；,(3)服务性行业中服务设施及服务员配置；,(4)生物医学中病理试验与药理试验；,(5)食品保质期、弹药贮存分析，电器与电子产品寿命分析；,(6)物矿探测、环保监 测、考古研究、机械仿生等,(7)信号学,研究系统鲁棒性（即干扰输入信号系统的时候系统稳定性抵抗）以及利用干扰进行信号传播。,2.概

3、率论的应用,（8）许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队,论、控制论等，都是以概率论作为基础的.,1.1 随机事件和样本空间,1.2 事件的关系和运算,1.3 事件的概率及其计算,1.4 概率的公理化定义及性质,1.5 条件概率和事件的独立性,在一定条件下一定发生的现象。,又叫随机现象,进行大量的观察或试验时，出现的结果有一定的规律性,每次试验前不能预言出现什么结果,1.1 随机事件和样本空间,概率论是研究随机现象统计规律性的科学。,确定性现象：,在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。,不确定性现象：,称之为统计规律性,概率论的任务：,一、随机试验 E,对某一个事物的特征进行观察，统称试

4、验,如果它具有下面的特点则称之为随机试验：,事先知道试验可能出现的全部结果。,可以在相同的条件下重复进行,每次试验可能会出现不同的结果，最终会出现哪种结果，试验之前不能确定。,例如：,打靶试验,掷骰子试验,二、随机事件,随机试验的每一个可能的结果称为一个随机事件，简称事件。,一般用A,B,C来表示。,如：,A=掷骰子一次出现1点,B=掷骰子一次出现偶数点,根据事件能不能再分解又把事件分为基本事件和复合事件。,基本事件：,A=掷骰子一次出现1点,复合事件：,B=掷骰子一次出现偶数点,注：,如：掷骰子赌输赢，掷出偶数点为赢，,则B就成为基本事件。,不能再分解的事件。,由若干个基本事件组成的事件。,

5、把事件分为基本事件和复合事件是相对于具体试验而言的，不是绝对的。,每次试验必定不发生的事情。,必然事件：,每次试验都必然发生的事件,记为,不可能事件：,如掷骰子一次出现7点。,如掷骰子一次出现1,2,3,4,5,6点。,随机事件的两种极端情况,记为,三、样本空间,样本空间：一个随机试验E 产生的所有基本事件构成的集合称为样本空间，记为；,样本空间中的每一个基本事件称为一个样本点，,记为。,=。,投一枚硬币，观察正面反面出现的情况,所有可能结果：,盒中有10个球，标号分别为1,2,10,从中取一个球，,取到i号球，i=1,2,10(十个),正面，反面（两种）,则取球的所有可能结果是,观察电话总机

6、每天9:0010:00接到的电话次数,测量石家庄8月1日12点的气温.,所有可能结果：收到0个电话，1个，2个,所有可能结果：大于等于15C,小于等于50C,1.1 随机事件和样本空间,1.2 事件的关系和运算,1.3 事件的概率及其计算,1.4 概率的公理化定义及性质,1.5 条件概率和事件的独立性,下面的讨论都是在同一个样本空间,为了用简单事件表示复杂事件，需要研究随机事件的关系和运算。,即,都是,的子集。,上，,1包含与相等,若随机事件A的发生必然导致随机事件B发生，则称随机事件A包含于随机事件B，或称随机事件B包含随机事件A。,1.2 事件的关系和运算,记为,A,B,维恩(Venn)图

7、,若,，则称随机事件A,与随机事件B相等，记为,设A=掷出点数为2，B=掷出点数为偶数,显然，对任意事件A，,且规定,例如：掷骰子,A=出现2,4,6点,B=出现偶数点,则A=B,例：掷骰子。,2积（交）,“随机事件A与随机事件B同时发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件 A与随机事件B的积（交），记为,例：掷骰子。,则AB=点数为2。,设A=点数不大于2，,B=点数为偶数。,“n个随机事件,同时发生”是一个,随机事件，则称此随机事件为 n个随机事件,的积（交），,，简记为,推广：,记为,的积事件,若随机事件A与随机事件B不能同时发生，则称随机事件A与随机事件B互不相容或互斥。,记为,

8、A=掷骰子一次出现1点,B=掷骰子一次出现2点,则A与B互不相容。,如：C=掷骰子一次出现奇数点,D=掷骰子一次出现偶数点,则C与D互不相容。,如：,若n个随机事件,中任意两个,随机事件都不能同时发生，则称n个随机事件,（两两）互不相容或（两两）互斥。,记为,两两互不相容,推广：,无穷可数个事件,记为,“随机事件A与随机事件B至少有一个发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件A与随机事件B的和（或并），记为,3和（并）,例：掷骰子。,则AB=点数为1，2，4或6。,设A=点数不大于2，B=点数为偶数。,“n个随机事件,至少有一个发生”,是一个随机事件，则称此随机事件为,n个随,机事件,的

9、和(并)，,，简记为,若n个随机事件,互不相容，,则记n个随机事件,的和为,简记,推广,简记为,记为,若随机事件A与随机事件B互不相容，且和事件为必然事件，,A,4对立事件（逆事件）,则称随机事件A与随机事件B为对立事件，或互为逆事件，记为,注2：,注1：,易见,是当A复杂而 简单时，可以通过研究 来达到研究A的目的。,每次试验，要么A发生，要么发生。即 A不发生等价于发生。,区别互逆事件与互不相容事件,注3：,引入逆事件的目的,“随机事件A发生，且随机事件B不发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件A与随机事件B的差事件，记为,5差事件,事件的运算律：,吸收律,重余律,幂等律,交换律,结合律,分配律,A,B,C,=,德莫根（De Morgan）律：（对偶律）,A,B,A,B,=,推广,事件“A与B发生，而C不发生”,事件“A,B,C 不同时发生”,事件“A、B、C同时发生”,事件“A、B、C都不发生”,事件“A、B、C至多有两个发生”,事件“A、B、C恰有两个发生”,事件“A、B、C不多于一个发生”,事件“A、B、C至少有一个发生”,事件“A、B、C至少有两个发生”,例1 利用简单事件来表示复杂事件,例2 指出下面式子中事件的包含关系。,(1)AB=A,(3)ABC=A,(4)A B C=A,(2)AB=A,