电磁场与电磁波第2章 静电场与恒定电场.ppt

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1、第 2 章 静电场与恒定电场,以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。,首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数;导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件。,电场能量的计算。,其中，电容的计算作为讨论或自修内容。,2.1 电荷与电流的分布及表示方法2.2 静电场的基本方程2.3 泊松方程 拉普拉斯方程2.4 介质中的高斯定律 电位移矢量2.5 介质分界面上的边界条件2.6 导体系统的电容2.7 电场的能量和能量密度2.8 恒定电场的基本方程2.9 恒定电场与静电场的比拟,2.1 电荷与电流的分布及表示法,基本电荷量：正、负两种电

2、荷：负电荷的基本带电单元是电子：正电荷的基本带电单元是质子：电荷的宏观分布：大量带电粒子密集出现在某空间内时，可假定电荷是以连续的形式分布的电荷的几种分布方式：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体时，用体积电荷体密度 描述 电荷分布于一个薄层上时，用电荷面密度s 描述 电荷分布在一条细线上时，用电荷线密度l描述电荷体密度：电荷面密度：电荷线密度：,一、电荷及电荷的表示法,点电荷密度：,二、电流与电流密度,电荷的定向流动形成电流，单位时间内穿过一曲面S的电荷量用电流强度I来描述，并简称电流，电流定义为 电荷在空间中流动，可以在一个区域中流动，也可以在一面上流动或在一条线上流动。除快慢不同外，方向

3、可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况，需要引入电流密度矢量 来描述电流的分布情况 电流的几种分布方式：空间中体积电流体密度 面上电流面密度 线上线电流I 体电流密度,面电流密度,设电流呈面分布,面电流密度,式中 的方向与电流的方向垂直,流过任意 的电流,而,于是,所以穿过任意曲线的电流,电流连续性方程,电流连续性方程,微分形式,取一闭合曲面S,S 所包围的体积为，从闭合面内流出的总的电流等于单位时间流出的电荷量。由电荷守恒定律，它应等于体积 内电荷的减少率，即,对于恒定电流,则有,2.2 静电场的基本方程,一、库仑定律,真空中：点电荷 对点电荷 的作用力。,式中0 为真空介电

4、常数。,库仑定律分析：,如果考虑电荷 单位电荷量（）受到的作用力：,作用力的性质：电荷 在空间激发电场，电场力,结论：这是一个由电荷 和空间位置决定的函数，它表征了电荷 对放入空间各点电荷进行相互作用的能力,二、电场强度、电通量及电场线,电场强度的定义：电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以 表示,式中q 为试验电荷的电量，为电荷q 受到的作用力。,位于 处的电荷Q在 处激励的电场强度为：,电场强度的物理意义：空间一点的电场强度的方向为电场对放置于该点正电荷作用力的方向，其大小为对放置于该点正电荷作用力的值，它表征了电场在空间各点对电荷进行相互作用力的能力。,多个点电荷组成的电荷系

5、统产生的电场,N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为,式中:,根据矢量叠加原理,连续分布的电荷系统产生的电场,处理思路：1)无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理设体电荷密度为，图中dV在P点产生的电场为：,体积V内电荷在P点处产生的电场为：,面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如,线电荷,面电荷,例 图中所示为一个半径为r的带电细圆环，圆环上单位长度带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。,解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷l(r)dl，则线元在轴线任意点产生的电场为,由对称性和电场的叠加性，合电场只有z分

6、量，则,结果分析,（1）当z0，此时P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E=0（2）当z，R与z平行且相等，rz，带电圆环相当于一个点电荷，有,例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。,由球体的对称性分析可知：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。,解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：,式中：,导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。,结果分析,-=extPa,3、真空中静电场的基本方程,一个矢量场的性质由其在空间中的通量和散度、环流和旋度来决定 静电场在空间中的分布

7、特征和场源关系由静电场的环流和旋度、通量和散度来决定静电场基本方程的积分形式静电场基本方程的微分形式静电场的数学解释：静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。从场源关系来看：基本方程告诉我们闭合面穿过的通量是区域内总源，它就是，二静电场在空间中一点的散度是该点上静电场的源，它为。从力场的角度来看，我们又可以把静电场说成是一种保守场。,基本方程的证明：引入立体角的概念,例1 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。,选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对于任一 z 为

8、常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。,取半径为 r，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律,因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为,当 r a 时，则电量q 为,求得电场强度为,当 r a 时，则电量q 为,求得电场强度为,上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为=a2 的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为 的无限长线电荷的电场强度为,由此例可见，对于这种结构对称的

9、无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。,例2 在半径为a的球中分布密度为 的电荷，已知空间中电场强度分布为：当 时，；当 时，（其中A为已知常数）。试求空间各点的电荷分布。,例3 圆柱坐标系中，在 与 之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为。利用高斯定律求各区域中的电场强度分布。作业：习题2.3,习题2.7，习题2.11。,直角坐标系,2.3 泊松方程 拉普拉斯方程,由,，称为静电场的标量位函数，又称电位函数,由此可求得电位的微分,空间A、B 两点的电位差,若选取 为电位参（即），则任意点 的电位为,1、电位函数,对

10、于点电荷的电位,体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：,电位的物理意义：,在静电场中，某点P处的电位为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。,如果电荷分布在有限区域，则电位的参考点通常选在无穷远点,电位参考点：选定的零电位点。,当电位参考点选在无穷远点时：,当电位参考点选在无穷远点时：,例 计算电偶极子的电场强度。,由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为,若观察距离远大于两电荷的间距 l，则可认为，与 平行，则,式中l 的方向规定

11、由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶极子的电矩，以 p 表示，即,求得,那么电偶极子产生的电位为,利用关系式，求得电偶极子的电场强度为,上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。,2.电位与等位面,静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。,应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的

12、参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。,电位的数学表示,式中q 为电荷的电量，W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。,由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。,电位相等的曲面称为等位面，其方程为,式中常数 C 等于电位值。,3 泊

13、松方程 拉普拉斯方程,标量场的拉普拉斯运算,在直角坐标系中：,对标量场的梯度求散度运算称为拉普拉斯运算。记作：,称为拉普拉斯算符。,静电场的电位方程：,泊松方程,拉普拉斯方程,（无源区域）,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,例 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。,解：球外空间的电位满足拉氏方程,电位满足的边界条件,电位及电场具有球对称性,直接积分得：,因此,代入边界条件：,电场强度为：,例 同轴传输线的内导体半径，外导体内半径。已知内导体的电位为，外导体接地，如图所示。试求同轴传输线内的电位和电场分布。,解：在柱坐标系下,设外导体接地，由于此问题具有轴

14、对称性 满足的方程为：边界条件为：直接积分得：代入边界条件：作业：习题2.15，习题2.20，习题2.23，习题2.24,2.4 介质中的高斯定律 电位移矢量,1.电介质的极化概念：电介质在电场的作用下发生极化，介质中出现极化电荷，极化电荷又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。介质的极化机理：主要有电子极化、离子极化、取向极化三种,极化强度：极化强度矢量：在电场作用下，介质中某点单位体积内电偶极子电矩的矢量和,有极分子,无极分子,极化强度矢量的取值主要取决于介质的材料特性和外加电场强度,电介质的极化(a)正常状态下正负电荷中心重合(b)极化电介质的等效电偶极矩,线性均匀介质 称为介

15、质的极化率，是一个无量纲的常数,极化电荷或束缚电荷：介质被极化后，在介质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表面上出现的极化电荷称为面极化电荷。2、介质中极化电荷体密度、面密度与极化强度的关系 体极化电荷的情况：闭合面内的极化电荷为 介质内分子密度是连续变化的，因此，极化强度矢量也应是一个空间连续函数。应用高斯散度定理极化介质体积内的极化电荷密度为,如果介质是均匀的，则极化强度矢量是一个常矢量,介质表面上极化电荷面密度 与极化强度矢量 的关系：,3、介质中的高斯定律 介质空间中的高

16、斯定律应为 为 面内的总源电荷，为 面内的总极化电荷 为电位移矢量或电通密度矢量（单位为）电位移矢量是一个为分析介质空间的电场而引入的辅助矢量，它不具有实际的物理意义 高斯定律的积分形式 高斯定律的微分形式,或,本构方程或组成关系（电位移矢量与电场强度的关系）：,相对电容率：电容率：,介质分类：,1、如果介质D与E的关系为线性关系，这样的介质称为线性介质，否则为非线性介质；2、如果介质D与E同向，这样的介质称为各向同性介质，如果介质D与E不同向，即 不是一个标量或标量函数，而是一个张量，这样的介质称为各向异性介质，如等离子体和铁氧体就是各向异性介质；3、如果介质 的是空间坐标的函数，这样的介质

17、称为非均匀介质；4、如果介质的 是一个实数或实函数，这样的介质称为无损耗介质，否则称为有损耗介质。线性、各向同性、均匀、无损耗介质称为理想介质。,4、介质中静电场的基本方程,在介质空间中，静电场的基本方程为：积分方程：微分方程：本构方程：,对于介质空间中电场的计算，可先根据源电荷分布求出电位移矢量，然后再根据介质的本构方程给出电场分布。,例1 圆心在原点，半径为R的介质球，其极化强度。试求此介质球内束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。,例2 有一介质同轴传输线,内导体半径,外导体的内半径。两导体间充满两层均匀介质,它们分界面的半径，已知内、外两层介质的介电常数分别为，；击穿电场强度分别是：，

18、。问：（1）内、外导体间的电压 逐渐升高时，哪层介质被先击穿？（2）此传输线能耐的最高电压为多少伏？作业：习题2.28，习题2.29，习题2.30。,1、电位移矢量D 的边界条件,将电场基本方程 用于圆柱形表面。,电位移矢量D 的边界条件,用矢量表示,方程右边,分界面上的源电荷面密度为,2.5 介质分界面上的边界条件,介质分界面上的边界条件：静电场中电场强度和电位移矢量在不同介质的分界面上遵循的变化规律,可见，边界条件是基本方程 在边界上的具体表现。它描述了电位移矢量在分界面两边的变化与分界面上的面电荷分布的关系,2、电场强度E 的边界条件,为回路所围面积的法线方向因为回路是任意的，其所围面的

19、法向也是任意的，因而有,电场强度E的边界条件：,在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高。将方程 用于此回路,介质分界面两侧电场强度的切向分量连续,由于电场强度为有限值，在回路高上的积分为零,改写为,边界条件总结,界面上无源时,用电位来表示,例 已知半径为r1 的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1，球壳的外半径为 r3，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4，介电常数为2，外部区域为真空，如左下图示。,试求：各区域中的电场强度；各个表面上的自由电荷 和 束缚电荷。,解 由于结构为球对称，场也是球对

20、称的。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。,在 r r1及 r2r r3 区域中，因导体中不可能存静电场，所以E=0。,在 r1r r2 区域中,同理，在 r3r r4 区域中，求得,在 r r4 区域中，求得,由边界条件：各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为,r=r4:,r=r2:,r=r3:,作业：习题2.32，习题2.33，习题2.34,2.7 导体系统的电容,本节作为自学和课外讨论课要求：1.讨论内容：导体系统的自电容和部分电容的概念 导体系统的电容系数 导体系统的电容系数的计算 电容的串并联关系 2、写一篇读书报告（独立完成）,3.8 电场能量,电

21、场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。,设系统完全建立时，最终的电荷分布为，电位为。,设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为。的变化为。,整个充电过程外界对整个系统提供的总能量,用场变量表示该能量为,单位体积的能量，称为能量密度,对某一体积元，变为 时（此时电位为 电荷增加）外界提供的能量,例 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量,解：设同轴线内导体电位 外导体电位，则同轴线内外导体间单位长度的能量,由例 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷,所以,由例 3.9.2 可

22、知，介质和空气中的电场强度相等,于是介质中的能量密度、能量,3.9 恒定电场的基本方程 边界条件,恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。,描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即,或,电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为,或,导电媒质中电流密度与电场强度成正比,称为导电媒质的电导率。,要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。,因此,Ee 是非保守场。,设局外场强为,设局外场强为，则电源电动势为,电源电动势与有无外电路

23、无关，它是表示电源本身的特征量。,则,与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数,一、恒定电场的电位,由,二、恒定电场的边界条件,若用电位表示,将恒定电场的基本方程、分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。,解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r 的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为,其通解,边界条件为,得,导电媒质中的电场强度,电流密度,单位长度上的漏电流,单位长度上的漏电导,例 1 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的 和单位长度的漏电电导。（教材例3.10.1),例 2 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和 外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。(教材例3.10.2),解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。,由边界条件,得,相应的电场,外加电压U 等于,得,于是,由边界条件,上极板 的自由电荷面密度,下极板 的自由电荷面密度,介质分界面 上的自由电荷,