机械工程控制基础（系统的频率特性分析）课件.ppt

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1、机械工程控制基础,引言,频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。,时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。,频域分析：通过系统在不同频率w的谐波输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。,1、时域分析的缺陷,高阶系统的分析难以进行；,难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；,当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。,2、频域分析的目的,频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。,无需求解微分方程，图解(频率特性图)法 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；,易于实验分析；,优点

2、：,可推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）；,可方便设计出能有效抑制噪声的系统。,5.1 频率特性,5.5.1 频率响应,设线性系统传递函数为：,当正弦输入 xi(t)=Arsint 时，相应的输出为：,线性系统在正弦输入信号作用下的稳态响应称为频率响应。,（51）,（52）,（53）对于稳定系统，特征根si(i=1,2,n)都是负实根，,假定G(s)的极点为si(i=1,2,n)互异，则式(52)可展开成部分分式,对上式取拉氏反变换，则,，因此系统的稳态响应为：,其中：,由于：,(54),由于,将B,D带入式（54）得,(55）,（56）,式中,因此 式（55）变为,5.1.2

3、 频率响应的定义,和稳态输出式,所以频率特性为,所以频率特性,可以将传递函数G(s)中的s用,代替完成，即,（58）,（57）,由此可见：频率特性是传递函数中的复变量s仅在虚轴上的特殊情况。因此和传递函数一样，式（58）中各项系数完全取决于系统本身的结构参数，而与输入信号的形式无关，它所描述的也是系统本身的固有特性，这就是运用频率特性可以研究系统动态特性的缘故。频率特性是在频率域内描述系统运动规律的又一种数学模型。,解：系统的闭环传递函数为,其频率特性为：,幅频特性为：,相频特性为：,，也即,由已知条件和式（57）得：,联立以上两式，求得：,解：根据回路电压定律有,对上式进行拉式变换得,系统的

4、传递函数为,系统的频率特性,系统的幅频特性,系统的相频特性,根据系统频率特性的定义有,也即：,解：系统的频率特性为,幅频特性,相频特性,编写MATLAB程序，源代码如eg5_3.m,运行上述程序得到如图53所示的频率特性曲线。,w=0:0.1:10A=10*sqrt(w.2+1)dd=(13-w.2).2+16*w.2dd=sqrt(dd)A=A./ddsubplot(211)plot(w,A,k)xlabel(omega)ylabel(|G(jomega)|)grid subplot(212)x=atan(w)-atan(4*w/(13-w.2)plot(w,x,k)xlabel(omega

5、)ylabel(phi(omega)%grid on grid,在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和.。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。,或写做,（59）,式中,5.2 频率特性的图示方法（1）_Nyquist图示法,一、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图）,其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：,在复平面上，随（0）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。,易知

6、，向量G(j)的长度等于A(j)（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()(G(j)）。,1、比例环节,二、典型环节的Nyquist图,传递函数：G(s)=K,频率特性：G(j)=K=Kej0,实频特性：P()=K,虚频特性：Q()=0,幅频特性：A()=K,相频特性：()=0,比例环节的Nyquist图：,2、积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=-90,实频特性：,虚频特性：,积分环节的Nyquist图,3、理想微分环节,传递函数：,频率特性：,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：,相频特性：()=90,理想微分环节的Nyqui

7、st图,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctanT,幅频特性：,当时，,当1/T时，,当0时，,下面证明其Nyquist是一个半圆：,由式（510）知,由于,因此,5、一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数为：G(s)Ts+1故其频率特性为 G(j)jT+1,实频特性：,虚频特性：,幅频特性：|G(j)|相频特性：G(j)arctanT,可见，当从0，G(j)的幅值由1，其相位由0900。,对上述两种环节用MATLAB编程验证上述结论，源代码如 fig5_5.m,运行上述程序得到如图5-5所示的Nyquist图,图55 惯性环节和一阶微分环节的Nyquist图,从图5

8、-5(a)中可以看出，当从0时，惯性环节频率特性的Nyquist图为正实轴下的一个半圆，圆心为(1/2，j0)，半径为12。惯性环节频率特性的幅值随着频率的增大而减小，因而具有低通滤波的性能。它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而增大，最大相位滞后为900。从图5-5(b)中可以看出:一阶微分环节频率特性的Nyquist图始于点(1，j0)，平行于虚轴，是在第一象限的一条垂线，它与惯性环节的Nyquist图截然不同。,6、振荡环节,典型开环系统二阶振荡环节的传递函数为：,系统的频率特性为,下面的MATLAB语句得出不同阻尼比下的Nyquist图。MATLAB程序源代码如fig5_6.m：,

9、wn=1;xi=0.1:0.1:1.2;w=logspace(-1,1)X=;Y=;for i=1:length(xi)x=-wn*wn./(4*xi(i)2*wn2+w.2);y=-2.*w*xi(i)*wn3./(w.4+4*xi(i)2*wn2*w.2);X=X,x;Y=Y,yendfigure(1)plot(X,Y),axis(square)grid onxlabel(real Axis);ylabel(Imag axis)gtext(xi=0.1)gtext(xi=0.2)gtext(xi=0.3),生成对数等分向量，logspace(a,b,n)生成从10a到10b之间按对数等分的

10、n个元素的行向量，n默认值为50；频率为0.110,产生正方形坐标系,比较P95程序，总结生成一簇曲线的编程方法。,图 56 二阶开环系统的Nyquist图,变小，,可以看出：如果,则频域响应的幅值将增大。,假设闭环系统由单位阶跃函数结构构成，则它的闭环传递函数为,它的频率响应为,（512）,幅频特性：,相频特性：,=0时,=n时,=时,实频特性：,虚频特性：,MATLAB程序源代码如 fig5_7.m：,wn=1;zeta=0.1:0.1:1.2;X=;Y=;w=logspace(-1,1,1000)for i=1:length(zeta)dd=wn4+w.4+2*(2*zeta(i)2-1

11、)*wn2*w.2;x=wn2*(wn2-w.2)./dd;y=-2*zeta(i)*wn3*w./dd;X=X,x;Y=Y,y;end plot(X,Y),axis(square)grid xlabel(real Axis);ylabel(Imag axis),增加点数,得到光滑曲线,运行上述程序得到图57所示的Nyquist图。,例57 二阶闭环系统的Nyquist图,5.2.2开环系统的Nyquist图,把开环频率特性化成如下的极坐标形式：,和,的特征。,下面分析不同类型的Nyquist图在,虚部特性的值，据此画出开环系统的Nyquist图。,考虑如下系统：,0型系统（v=0）,0+：A

12、(0)K,：A()0,(0)0,()(nm)90,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,I型系统（v=1）,0+：,：,(0)90,()(nm)90,A()0,A(0),只包含惯性环节的型系统Nyquist图,解：1）0型系统的频率特性为,实频特性：,虚频特性：,由上述两式，在MATLAB中编程绘制nyquist图，源代码如 fig5_8.m：,运行上述程序得到nyquist曲线如图58所示,图58 0型系统的Nyquist图,2）I型系统的频率特性,实部特性：,虚部特性：,由上述两式，在MATLAB中编程绘制Nyquist图，源代码如 fig5_9.m：,运行上述程序得到Nyquist曲

13、线如图59所示。,图59 I型系统的Nyquist图,II型系统（v=2）,只包含惯性环节的型系统Nyquist图,解：该系统的开环频率特性为,实部特性：,虚部特性：,由上述两式，在MATLAB中编程绘制Nyquist图，源代码如 fig5_10.m：,运行上述程序得到Nyquist曲线如图510所示。,图510 II型系统的Nyquist图,5.2.3用MATLAB函数绘制Nyquist图,控制系统的Nyquist图既可以判别闭环系统的稳定性，也能确定系统的相对稳定性。MATLAB有专用函数去绘制Nyquist图，不仅快捷方便，而且也省去了大量的编程工作。已知系统的传递函数，则可以应用MAT

14、LAB功能指令：,Nyquist(num,den),就能方便地画出系统的Nyquist图。,其中，num,den分别为开环传递函数G(s)H(s)的分子和分母多项式的系数，按下式所示形式组成的数组：,则,通过执行nyquist绘图命令，就能在屏幕上自动生成Nyquist绘图。,解：MATLAB程序源代码如eg5_6.m：,运行上述程序得到曲线如图511所示。,图511 例56 的Nyquist图,当用户需要指定的频率时，可用指令：Re,Im,w=nyquist(num,den)或 Re,Im,w=nyquist(num,den,w)这两种指令不能直接产生Nyquist绘图。因为MATLAB仅做

15、了系统频率响应实部和虚部的计算与排列工作。其中Re,Im,w分别以矩阵的形式给出。如要产生Nyquist绘图需要加指令：plot(Re,Im)指令plot根据已经算好的Re,Im，画出系统的Nyquist图。,解：MATLAB程序源代码如 eg5_7.m：,运行上述程序得到曲线如图512所示,图512 例57的Nyquist图,作业,5-25-3,5.3 Bode图示法,5.3.1 频率特性的对数坐标图,波德(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）,对数幅频特性图,横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率 单位 rad/s或Hz,纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数

16、的20 倍，即：,L()=20logA()单位 分贝（dB）,特别：当L()=0，输出幅值输入幅值；当L(w)0时，输出幅值输入幅值(放大)；当L(w)0时，输出幅值输入幅值(衰减)。,对数相频特性图,横坐标：与对数幅频特性图相同。,纵坐标：线性分度，频率特性的相角()单位 度(),当n个环节串联时：,对数幅频特性为：,对数相频特性为,（515）,（513）,（514）,几点说明,在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值；,在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化

17、的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。,通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。,对数坐标的优点,幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；,对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围,可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。,1、比例环节,5.3.2 典型环节的Bode图,传递函数：G(s)=K,频率特性：G(j)=K=Kej0,实频特性：P()=K,虚频特性：Q()=0,对数

18、幅频特性：L()=20lgK,对数相频特性：()=0,幅频特性：A()=K,相频特性：()=0,根据上述两式在MATLAB中编程，其源代码如下：w=logspace(-1,1,1000);K=10Lw=20*log10(K)phi_w=0subplot(211)semilogx(w,Lw,b)gridxlabel(omega)ylabel(L(omega)subplot(212)semilogx(w,phi_w,r)gridxlabel(omega)ylabel(phi(omega),运行程序fig5_14.m，得到图514所示的对数幅频特性曲线。,绘制x为对数坐标的曲线,比例环节的对数幅频特

19、性曲线图：,可见，比例环节的对数幅频特性曲线是条高度等于20lgK的水平直线；其对数相频特性曲线是与0o重合的直线，如图514所示(图中K10)。当K值改变时，只是对数幅频特性上、下移动而对数相频特性不变。,2、积分环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：()=-90,对数幅频特性：,对数相频特性：()=-90,积分环节的Bode图,3、理想微分环节,传递函数：,频率特性：,对数相频特性：()=90,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=90,理想微分环节的Bode图,4、惯性环节,传递函数：,频率特性：,相频特性：()=-arctgT,幅频特性：,惯性环节的Bode图,低频

20、段(1/T),即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。,对数相频特性：()=-arctanT,对数幅频特性：,高频段(1/T),即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。,转折频率（1/T),低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T，称为转折频率（截止频率）。,在转折频率处，L()-3dB，()-45。,惯性环节具有低通滤波特性。,5、一阶微分环节,对数相频特性：()=arctgT,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,幅频特性：,相频特性：()=arctgT,一阶微分环节的Bode图,注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的

21、特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。,6、振荡环节,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,图519 振荡环节的bode图,振荡环节的Bode图,对数幅频特性,低频段(n),即低频渐近线为0dB的水平线。,高频段(n),即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。,两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。,对数相频特性,易知：,在0.707或略小于此值时，幅域特性曲线与相频特性曲线在低频段近于直线。这点对测振仪器的设计很有用

22、处。设计时选择这样的值，可使仪器在线性段工作。,7、二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,二阶微分环节的Bode图,注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。,综上所述，关于某些典型环节的对数幅频特性及其渐近线和对数相频特性的特点可归纳如下：,（1）关于对数幅频特性 注意横坐标是1g还是,积分环节的为过点(1，0)、斜率为-20dBdec的直线；微分环节的为过点(1，0)、斜率为20dBdec的直线；惯性环节的低频渐近线为0dB，高频渐近线为

23、始于点(T，0)、斜率为-20dBdec的直线；,导前环节（一阶微分）的低频渐近线为0dB，高频渐近线为始于点(T，0)、斜率为20dBdec的直线；振荡环节的低频渐近线为0dB线，高频渐近线为始于点(1，0)、斜率为-40dBdec的直线；二阶微分环节的低频渐近线为0dB线，高频渐近线为始于点(1，0)、斜率为40dBdec的直线。,（2）关于对数相频特性：积分环节的为过-90o的水平线；微分环节的为过90o的水平线；惯性环节的为在0o-90o范围内变化的对称于点(T，-45o）的曲线；导前环节（一阶微分）的为在0o90o范围内变化的对称于点(T，450)的曲线；,振荡环节的为在0o-180

24、o范围内变化的对称于点(n，-90o)的曲线；二阶微分环节的为在0o180o范围内变化的对称于点(n，90o)的曲线。,解 系统的频率特性为,对数幅频特性：,对数相频特性：,根据上述两式在MATLAB中编程，其源代码如eg5_8.m:,运行程序，得到图示的对数幅频特性曲线。,5.3.3 利用MATLAB函数绘制Bode图,MATLAB提供了绘制系统Bode图的函数bode()，其用法如下：,Bode(A,B,C,D)：绘制系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统A,B,C,D的每个输入的Bode图，其中频率范围由函数自动选取，且在响应快速变化的位置会自动采用更多采样点。,Bode(nu

25、m,den)：绘制以连续时间多项式传递函数表示的系统。,Bode(num,den,w)：利用指定的角频率矢量绘制系统的Bode图。,当带输出变量mag,pha,w或mag,pha引用函数时，可得到系统Bode图响应的幅值mag、相角pha、角频率点w矢量，或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：,mag(dB)=20lg(mag)。,5.4 频率特性与时域响应的关系,对于二阶系统，其频域性能指标与时域指标之间存在一定的数学关系。二阶系统的闭环传递函数为：,(516),系统的闭环幅频特性为：,(518),系统的闭环频率特性为：,(517),系统的闭环相频特性为：,二阶系统的谐

26、振峰值Mr与时域超调量Mp之间的关系为：,（520）,（521）,（519）,补充 谐振现象（了解）,由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，在=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振频率。,由于：,令：,解得：,即：,显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：,谐振峰值：,谐振峰值Mr仅与阻尼比 有关，超调量Mp也一样；,越小，Mr增加的越快，此时超调量会很大，超过40，这样系统一般不符合瞬态响应指标的要求,当0 0.707时，Mr与Mp的闭环趋势一致，此时谐振频率峰值Mr=1.21.5，超调量为Mp=20%30%，系统响应结果比较理想；,当

27、0.707时，无谐振峰值，Mr与Mp的对应关系不再存在，通常在设计中 取值在0.40.7之间；,从以上各式可以看出：,二阶系统的谐振频率 与峰值时间tp之间的关系为：,从上式可以看出：当 为常数时，谐振频率 与峰值时间tp成反比，越大，tp越小，表示系统时间响应越快。,（522）,从上式可以看出：当阻尼比 给定后，闭环截止频率 与过渡时间tr成反比，换言之，越大（频带宽度越宽），系统的响应速度越快。,二阶系统的闭环截止频率 与过渡时间tr之间的关系为：,(523),在第3章的时域分析中介绍了衡量系统过渡过程的一些时域性能指标，下面介绍在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量或频域性能指标。频域

28、性能指标也是选用频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来评价系统的性能的，如图523所示。,频率特性的特征量,复现频率wm,零频幅值M(0),1、零频幅值M(0),它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。在频率极低时，对单位反馈系统而言，若输出幅值能完全准确地反映输入幅值，则M(0)1。M（0）越接近于1，系统的稳态误差越小，反映了系统的稳态精度。,2、复现频率wm与复现带宽0-wm,若事先规定一个 作为反映低输入信号的允许误差，那么wm就是幅频特性值与M(0)的差第一次达到时的频率值，称为复现频率。,3、谐振频率wr与相对谐振峰值Mr,幅频特性M(w)出现最大值Mmax时

29、的频率称为谐振频率,w=wr时的幅值M(wr)=Mmax与w=0时的幅值(0)之比为谐振比或相对谐振峰值Mr。,显然，在M(0)1时，Mr与Mmax在数值上相同。,Mr反映了系统的相对平稳性。一般而言，Mr越大，系统阶跃响应的超调量也越大，系统的平稳性较差。,在二阶系统中希望选取Mr1.4，因为这时阶跃响应的最大超调量Mp25，系统有较满意的过渡过程。,由公式（52）得知越小，Mr越大。因此，若Mr太大，即太小，则Mp过大；若Mr太小，即太大，则过渡过程时间ts过长。因此，为了减弱系统的振荡性能，又不失一定的快速性，只有适当地选取Mr值。,wr反映了系统瞬态响应的速度，wr 越大，则瞬态响应越

30、快，一般来说，wr 与上升时间tr成反比。,4、截止频率wb与截止带宽0-wb,(w)由(0)下降到0.707(0)的频率称为截止频率。,0-wb的范围称为截止带宽，它表示超过频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。对于随动系统来说，系统的带宽表征系统允许工作的最高额率范围，若此带宽大，则系统的动态性能好。对于低通滤波器，希望带宽要小，即只允许频率较低的输入信号通过系统，而频率稍高的输入信号均被滤掉。对系统响应的快速性而言，带宽越大，响应的快速性越好，即过渡过程的上升时间短。,crossover frequency:Wc=0.0525Resonance frequency:

31、Wr=3.9069Resonance magnitude:Magmax=6.1867-3dB frequency:W_3db=5.3993-90 phase frequency:W_90=3.9994,解：计算谐振峰值和谐振频率的MATLAB程序代码见eg5_11.m,Mr Pr Wrans=-2.8098-24.6446 0.6915,运行程序得计算结果如下：,运行程序后同时生成了bode图如图525所示。,5.5 最小相位系统与非最小相位系统,极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之，称为非最小相位系统。,MATLAB函数中有许多函数可用来分析系统的零点和极点的分布情况。,函数pole可直接用于计算系统的极点。函数eig用来计算矩阵特征值的根，函数roots用来求一个多项式的根。利用系统零极点形式模型函数zpk直接给出系统的零点和极点，函数pzmap用来绘制系统的零极点图和计算系统的零极点，判断系统的稳定性及是否为最小相位系统。,解：用MATLAB编写程序代码如eg5_12.m示：,运行上述程序，得到计算结果如下：Np=2系统不稳定Nz=0此系统不是最小相位系统,该系统的零极点图如图526所示,作业：P1625-5（1）、（3）5-65-7,