函数奇偶性的性质之运用(习题课)课件.ppt

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1、1.偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.2.奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.3.奇偶性：那么，就说函数f(x)具有奇偶性.4.奇函数的图象关于 对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是；偶函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是.,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),如果函数f(x)是奇函数或偶函数,原点,任意,任意,奇函数,y轴,偶函数,5.若奇函数f(x)在a,b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在-b,-a上是

2、 函数，且有.6.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=.7.若y=f(x)是偶函数，则f(x)与f(|x|)的大小关系是.8.若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于 对称.,增,最小值-M,0,f(x)=f(|x|),原点,【专题】函数奇偶性的性质之运用,由题目可获取以下主要信息：,函数f(x)的解析式均已知；,判断奇偶性问题.,解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(x)之间的关系来确定奇偶性.,题后感悟(1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对称；有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判

3、断或判断错误如本例(4)中，若不化简可能会判断为偶函数注意下面变式训练中的第(4)小题若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可,(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数,另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)

4、函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域),解析：(1)函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数(2)函数的定义域为x|x1不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)f(x)的定义域是R，又f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数,策略点睛,解：函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当x(，0)(0，)时，都有f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数,点评：(1)分段函数的奇偶性应分段

5、判断f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性(2)若f(x)是定义在R上的奇函数时必有f(0)0.(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断,解：函数f(x)的定义域是R，关于原点对对称，当x0，f(x)x1(x1)f(x)，另一方面，当x0时，x0，f(x)x1(x1)f(x)，而f(0)0，f(x)是奇函数,(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：根据x所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写x的所属区间；f(x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为x与x所属区间不同；定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏,解题过程函数定义域

6、为R，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f(y)，令yx，则f(0)f(x)f(x)，再令xy0，则f(0)f(0)f(0)，得f(0)0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数,题后感悟如何判断抽象函数的奇偶性？明确目标：判断f(x)与f(x)的关系；用赋值法在已知抽象关系中凑出f(x)与f(x),如本例中令yx；用赋值法求特殊函数值，如本例中令xy0,求f(0),证明：令x0，yx，则f(x)f(x)2f(0)f(x)又令xx，y0得f(x)f(x)2f(x)f(0)得f(x)f(x)f(x)是偶函数,【题型 4】,利用函数的奇偶性求函数值,【例 1】(2013 年湖南)已知 f(x)是奇

7、函数，g(x)是偶函数，,且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则 g(1)(,),A4,B3,C2,D1,解析：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，由消掉 f(1)，得 g(1)3.故选 B.答案：B,【变式与拓展】1(2013 年山东)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，,D,A2,B1,C0,D2,解析：f(1)f(1)(11)2.,【题型 5】,利用函数的奇偶性求函数解析式,【例 1】f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)2，则当 x0,时，有(,),Af(x)2Cf(x)2,Bf(x)2Df(x)R,（区间转移法求函数的

8、解析式）,思维突破：利用偶函数图象的对称性分析f(x)的大致图象,如图 1-3-4，易知当 x0 时，有 f(x)2.,图 1-3-4答案：B,利用偶函数的对称性，可根据函数图象在 y 轴,一侧的情况得到 y 轴另一侧的情况,【变式练习】,设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+x+1,求函数解析式.,【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x0和x0时解析式间的联系.,【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式，则取x为这一范围上的任一值，再转化为条件.（2）在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式表示出来.,已知

9、f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x|x-2|，求当x0时，f(x)的表达式.,【变式与拓展】3(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x3x2，则当 x0 时，f(x)的解析,式为_,f(x)x3x2,4若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)g(x),ex，则 g(x)(,),D,练习 3：设 f(x)是定义在(，)上的奇函数，且当,x0 时，f(x)x21，则 f(2)_.,5,练习 4：已知当 x0，)时，f(x)x(1x)若 f(x)为奇函数，则当 x(，0)时，f(x)_；若 f(x)为偶函数

10、，则当 x(，0)时，f(x)_.,x(1x),x(1x),题型 6,函数奇偶性与单调性的关系及运用,【例 1】已知 f(x)是偶函数，且在(0，)上是减函数，判断 f(x)在(，0)上是增函数还是减函数，并加以证明，,【变式与拓展】,1函数 f(x)是定义在(，)上的奇函数，且 f(x)在(，0)上是增函数，试讨论函数 f(x)在(0，)上的增减性，并证明你的结论,解：f(x)在(0，)上是增函数证明：任取 x1，x2 使 x2x10，,则x2f(x1)f(x)在(0，)上也是增函数,【例 2】(2014 年广东二模)定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0，)上是增函数，且 f 0，则不等式

11、 xf(x)0 的解集是,(,),思维突破：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集,函数f(x)的草图如图D13.,图 D13答案：C,【变式与拓展】2若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(，0)上是减,),函数，且 f(2)0，则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是(A(，2)B(2，)C(，2)(2，)D(2,2),D,题型7,抽象函数的奇偶性与单调性,【例 3】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0)上是增函数(1)判断函数 f(x)在(0，)上的单调性；(2)若 f(2a2a1)f(2a22a1)，求实数 a 的取值范围思维突

12、破：这是抽象函数问题欲要脱掉函数符号“f”，必须应用函数的单调性,解：(1)函数 f(x)在(0，)上是减函数证明如下：设任意 0 x1x2，则x2x10，f(x)在(，0)上是增函数，f(x2)f(x1)又f(x)为偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x1)，即 f(x)在(0，)上是减函数,又f(x)在(0，)上是减函数，且 f(2a2a1)2a22a1，解得 3a0，即 a0.,故实数 a 的取值范围是(0，),本题以抽象函数为载体，综合考查函数的奇偶性与单调性的关系，以及利用函数的单调性解不等式的能力判断出 2a2a10,2a22a10，对本题的解答起到关

13、键作用,【变式与拓展】3已知函数 f(x)为奇函数，且在(2,2)上单调递增，且有f(2a)f(12a)0，求 a 的取值范围解：因为函数 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)由 f(2a)f(12a)0，得 f(2a)f(12a)即 f(2a)f(2a1)又因为 f(x)在(2,2)上单调递增，,定义在-2,2上的偶函数g(x)，当x0时，g(x)为减函数，若g(1-m)g(m)成立，求m的取值范围.,1设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x 0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_,解析：由原函数是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称，由

14、yf(x)在0,5上的图象，得它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5)答案：(2,0)(2,5),2偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，使f(x)0的自变量范围是()A(，4)(4，)B(4，1)(1,4)C(，4)(1,0)D(，4)(1,0)(1,4),解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B,3、已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数，当x(，0)时，f(x)xx4，求当x(0，)时，f(x)的表达式解析：当x(0，)时，x(，0)，因为x(，0)时，f(x)xx4，所以f(x)(x)(x)4xx4，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xx4.,练一练当堂检测、目标达成落实处,A,练一练当堂检测、目标达成落实处,2,祝同学们学习上天天有进步！,