冀教版九年级数学下册第30章二次函数课件.ppt

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1、,30.1 二次函数,第三十章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（JJ）教学课件,1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？,导入新课,情境引入,1.什么叫函数?,一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.,3.一元二次方程的一般形式是什么？,一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做

2、一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.,2.什么是一次函数？正比例函数？,ax2+bx+c=0(a0),问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？,讲授新课,探究归纳,(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？,(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？,(4)如果果园橙子的总

3、产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子,y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000.,(100+x)(600-5x)=60320 解得，,问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为.,y=6x2,此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.,问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？,设围成的矩形水面的一边长

4、为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有,此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.,函数有什么共同点?,函数都是用自变量的二次整式表示的,y=6x2,y=-5x+100 x+60000.,二次函数的定义：,一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数.,温馨提示：,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次

5、项.,归纳总结,例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x,不一定是，缺少a0的条件.,不是，右边是分式.,不是，x的最高次数是3.,y=6x+9,典例精析,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.,方法归纳,想一想:二次函数的一般式y=axbxc（a0）与一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区别？,联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0

6、；(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.,区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.,例2（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？,解：,（1）由题可知,解得,（2）由题可知,解得,m=3.,第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.,1.已知:，m取什么值时，y是x的二次函数？,解：当=2且k+20，即k=-2时,y是x的二次函数.,变式训练,m3,【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.,例3 一个二次函

7、数.,（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？,解得,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.,归纳总结,例4：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1x10)，求出y关于x的函数关系式；,解：第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，第x

8、档次，提高了(x1)档，利润增加了2(x1)元y62(x1)955(x1)，即y10 x2180 x400(其中x是正整数，且1x10)；,(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次,解：由题意可得 10 x2180 x4001120，整理得 x218x720，解得 x16，x212(舍去)所以，该产品的质量档次为第6档,【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型,思考：1.已知二次函数y10 x2180 x400,自变量x的取值范围是什么？,2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y10 x2180 x400，其自变量x的取值范围与1中相同

9、吗？,【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.,当堂练习,2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数,C,1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为.,3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D,C,-3x2,-16,12,4.已知函数 y=3x2m-15 当m=时，y是关于x的一次函数；当m=时，y是关于x的反比例函数；当m=时，y是关于x的二次函数.,1,0,5

10、.（1）n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？,（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税).,y=10(x+1)=10 x+20 x+10.,6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.,解：(1)y(8x)xx28x(0 x8)；,(2)当x3时，y328315 cm2.,课堂小结,二次函数,定 义,y=ax2+

11、bx+c(a 0，a,b,c是常数）,一般形式,右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.,特殊形式,y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.,30.2 二次函数的图像和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（JJ）教学课件,第1课时 二次函数y=ax的图像和性质,第三十章 二次函数,学习目标,1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax的图像，概括出图像的特点.（难点）3.掌握形如y=ax的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）,导入新课,情境引入,讲授新课,例1 画出二次函数y=x2的图像.,9,4,1

12、,0,1,9,4,典例精析,1.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：,2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）,3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图像,-3,3,o,3,6,9,当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：,x,y,二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.,这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,练一练：画出函数y=-x2的图像.,根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.,x,o,y=x2,议

13、一议,1.yx2是一条抛物线;2.图像开口向上;3.图像关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图像有最低点,y,说说二次函数y=-x2的图像有哪些性质,与同伴交流.,o,x,y,y=-x2,1.y-x2是一条抛物线;2.图像开口向下;3.图像关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图像有最高点,1.顶点都在原点;,3.当a0时，开口向上；当a0时，开口向下,二次函数y=ax2 的图像性质：,知识要点,2.图像关于y轴对称;,观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？,二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.,x,y,O,y=ax2,y=-ax2,交流讨

14、论,二次函数y=ax2的性质,问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？,对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而增大；当x0时，y随x取值的增大而减小.,知识要点,问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？,对于抛物线 y=ax 2（a0）当x0时，y随x取值的增大而减小；当x0时，y随x取值的增大而增大.,知识要点,解：分别填表，再画出它们的图像，如图,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图像,思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,当a0时，a越大，开口越

15、小.,练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图像,-8,-4.5,-2,-0.5,0,-8,-4.5,-2,-0.5,-8,-4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.,思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,对于抛物线 y=ax 2，a越大，抛物线的开口越小,位置开口方向,对称性,顶点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称，对称轴是直线x0,顶点坐标是原点（0，0）,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增

16、在对称轴右侧递减,知识要点,例1 已知二次函数y=x2（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=x2的图像上吗？,典例精析,（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？,解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图像上；,（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；,（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4）

17、，点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；,（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=x2的图像上吗？,当x=2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图像上；当x=2时，y=x2=4，所以B点在二次函数y=x2的图像上；当x=2时，y=x2=4，所以D点在二次函数y=x2的图像上,已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k=.,分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，,解得 k=2,2,练一练,例3.已知二次函数y2x2.(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数

18、的图像上，则y1_y2；(填“”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和,分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图像经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图像关于y轴对称求出OAOB，即图像左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积,(2)解：二次函数y2x2的图像经过点B，当x2时，y2228.抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴，

19、OAOB，在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，S阴影部分面积之和2816.,二次函数yax2的图像关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解,方法总结,当堂练习,1.函数y=2x2的图像的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而.,2.函数y=-3x2的图像的开口,对称轴,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随

20、x的增大而.,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),减小,减小,增大,增大,x,x,y,y,O,O,3、如右图，观察函数y=（k-1）x2的图像,则k的取值范围是.,k1,4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：,向上,向下,向下,向上,y轴,y轴,y轴,y轴,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,O,5.若抛物线y=ax2（a 0），过点（-1，2）.（1）则a的值是；（2）对称轴是，开口.（3）顶点坐标是，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x20,则y1 y2.,2,y轴,向上,（

21、0,0）,小,上,6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围,解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当xm时，y最小值=0，m0,7.已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积,解：由题意得 解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.SACO CO48，SBOC 412，SABOSACOSBOC10.,课堂小结,二次函数y=ax2的图像及性质,画法,描点法,以对称轴为中心对称取点,图像,抛物线,轴对称图形,性质

22、,重点关注4个方面,开口方向及大小,对称轴,顶点坐标,增减性,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（JJ）教学课件,第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质,30.2 二次函数的图像和性质,第三十章 二次函数,学习目标,1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a 0)的图像.2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a 0)的图像的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a 0)与y=ax2(a 0)之间的联系.（难点）,导入新课,复习引入,向上,向下,y轴（直线x

23、=0）,y轴（直线x=0）,（0,c）,（0,c）,当x0时，y随x增大而增大.,当x0时，y随x增大而减小.,x=0时，y最小值=c,x=0时，y最大值=c,问题1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图像的特征.,问题2 二次函数 y=ax2+c（a0）与 y=ax2（a 0）的图像有何关系？,答：二次函数y=ax2+c（a 0）的图像可以由 y=ax2（a 0）的图像平移得到：当c 0 时，向上平移c个单位长度得到.当c 0 时，向下平移-c个单位长度得到.,问题3 函数 的图像，能否也可以由函数 平移得到？,答：应该可以.,讲授新课,例1 画出二次函数 的图像，并考虑它们的开口方向、对

24、称轴和顶点,2,4.5,2,0,0,2,2,4.5,0,x,y,8,向下,直线x=-1,(-1,0),直线x=0,直线x=1,向下,向下,(0,0),(1,0),a0时，开口,最 _ 点是顶点;a0时，开口,最 _ 点是顶点;对称轴是，顶点坐标是.,向上,低,向下,高,直线 x=h,(h,0),知识要点,二次函数y=a（x-h)2 的特点,若抛物线y3(x)2的图像上的三个点，A(3，y1)，B(1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为_,解析：抛物线y3(x)2的对称轴为x，a30，x 时，y随x的增大而减小；x 时，y随x的增大而增大点A的坐标为(3，y1)，点A在抛物线

25、上的对称点A的坐标为(，y1)10，y2y3y1.故答案为y2y3y1.,练一练,y2y3y1,向右平移1个单位,想一想 抛物线，与抛物线 有什么关系？,向左平移1个单位,二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系,可以看作互相平移得到.,左右平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.,知识要点,例2.抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式,解：二次函数yax2的图像向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2，平移后二次函数关系式为y(x3)2.,方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，

26、a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”,将二次函数y2x2的图像平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图像，平移的方法是()A向上平移1个单位B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位,解析：抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图像向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图像故选C.,练一练,C,例3 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.,探究归纳,解:先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,开口方

27、向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1),试一试 画出函数y=2（x+1）2-2图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.,开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2),知识要点,二次函数y=a（x-h)2+k的特点,a0时，开口,最 点是顶点;a0时，开口,最 点是顶点;对称轴是，顶点坐标是.,向上,低,向下,高,直线x=h,(h,k),顶点式,例4.已知二次函数ya(x1)2c的图像如图所示，则一次函数yaxc的大致图像可能是(),解析：根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图像经过第一、二、三象限故

28、选A.,典例精析,A,例5.已知二次函数ya(x1)24的图像经过点(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图像上的两点，当y1y 2时，求m、n之间的数量关系,解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；,(2)方法一：根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；,方法二：函数y(x1)24的图像的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线，mn11m，化简，得2mn2.,方法总结：已知函数图像上的点，则这点的坐标必满

29、足函数的表达式，代入即可求得函数解析式,例6 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,C(3,0),B(1，3),A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0)，,0=a(31)23.,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23(0 x3).,当x=0时,y=2.25.,答:水管长应为2.25m.,向左平移1个单位,探究归纳,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？,平移方

30、法1,向下平移1个单位,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？,平移方法2,向左平移1个单位,向下平移1个单位,二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系,可以看作互相平移得到的.,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,平移规律,简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.,要点归纳,1.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.,2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式

31、.,练一练,1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是.2.二次函数y=2(x-)2图像的对称轴是直线_，顶点是_.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_.,当堂练习,y=-(x+3)2或y=-(x-3)2,y1 y2 y3,4.指出下列函数图像的开口方向,对称轴和顶点坐标.,向上,直线x=3,(3,0),直线x=2,直线x=1,向下,向上,(2,0),(1,0),5.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图像，分别指出两个图像之间的相互关系,解：图像如图.函数y=2(x

32、-2)2的图像由函数y=2x2的图像向右平移2个单位得到.,y=2x2,2,6.已知一个二次函数图像的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.,y=a(x-h)2+k,课堂小结,二次函数y=a(x-h)2的图像及性质,图像性质,对称轴是直线x=h;顶点坐标是（h,0)a的符号决定开口方向.,左右平移,平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.,一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.,二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质,图像特点,当a0,开口向上；当a0,开口向下.对称轴是直线x=h,顶点坐标是（h,k).,平

33、移规律,左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.,30.2 二次函数的图像和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（JJ）教学课件,第3课时 二次函数y=ax+bx+c的图像和性质,第三十章 二次函数,情境引入,1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.（重点）,导入新课,复习引入,向上,向下,(h,k),(h,k),x=h,x=h,当xh时，y随着x的增大而增大.,当xh时，y随着x的增大而减小.,x=h时,y最小=k,x=h时,y最大=k,抛物线y=a(

34、x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.,(0,0),y轴,0,(0,-5),y轴,-5,(-2,0),直线x=-2,0,(-2,-4),直线x=-2,-4,(4,3),直线x=4,3,?,?,?,?,?,?,讲授新课,探究归纳,我们已经知道y=a(x-h)2+k的图像和性质，能否利用这些知识来讨论 的图像和性质？,问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？,配方可得,配方,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,(2)“配”：括号内配成完全平方；,(3)“化”：化成顶点式.,提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.,问题2 你能说出 的对称轴及顶

35、点坐标吗？,答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.,问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？,答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.,问题4 如何用描点法画二次函数 的图像？,解:先利用图形的对称性列表,7.5,5,3.5,3,3.5,5,7.5,然后描点画图，得到图像如右图.,O,问题5 结合二次函数 的图像，说出其性质.,x=6,当x6时，y随x的增大而增大.,O,例1 画出函数 的图像，并说明这个函数具有哪些性质.,-6.5,-4,-2.5,-2,-2.5,-4,-6.5,解:函数 通过配方

36、可得，先列表：,典例精析,然后描点、连线，得到图像如下图.,由图像可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.,求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.,因此，二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).,解：,练一练,我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？,y=ax+bx+c,归纳总结,二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质,归纳总结,二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质,(1),(2),如果

37、a0,当x 时，y随x的增大而增大.,如果a 时，y随x的增大而减小.,例2 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴，即b1，故选择D.,D,填一填,(1,3),x=1,最大值1,(0,-1),y轴,最大值-1,最小值-6,(,-6),直线x=,合作探究,问题1 一次函数y=kx+b的图像如下图所示，请根

38、据一次函数图像的性质填空：,问题2 二次函数 的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：,x=0时，y=c.,x=0时，y=c.,二次函数y=ax2+bx+c的图像与a、b、c的关系,向上,向下,y,左,右,正,负,知识要点,例3 已知二次函数yax2bxc的图像如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是()A1B2C3D4,D,由图像上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；,由图像上x1的点在第四象限得abc0，由图像上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确,【解

39、析】由图像开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图像与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；,由对称轴x1可得2ab0，故正确；,练一练,二次函数 的图像如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图像是（）,解析：由二次函数的图像得知：a0，b0.故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限.即正确答案是C.,C,1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：,A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=,则该二次函数图像的对称轴为(),D,当堂练习,2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图所示，则下列结论：（

40、1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是.,直线x=1,（2）,3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图像的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（）,A B C D,x,y,O,2,x=-1,B,4.根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：,直线x=3,直线x=8,直线x=1.25,直线x=0.5,课堂小结,顶点：,对称轴：,y=ax2+bx+c（a 0)(一般式),配方法,公式法,(顶点式),30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数*,导入新课,讲授

41、新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（JJ）教学课件,第三十章 二次函数,1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）,导入新课,复习引入,1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？,2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？,2个,2个,待定系数法,(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）,讲授新课,典例精析,例1.已知二次函数yax2 c的图象经过点(2,3)和(1,3)，求这个二次函数的表达式,解:该图象经过点（2,3）和(1

42、,3)，,3=4a+c，,3=a+c，,所求二次函数表达式为 y=2x25.,a=2，,c=5.,解得,1.已知二次函数yax2 bx的图象经过点(2，8)和(1，5)，求这个二次函数的表达式,解:该图象经过点（-2,8）和（-1,5），,做一做,解得a=-1,b=-6.,y=-x2-6x.,选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.,解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得,y=a(x+2)2+1，,再把点（1，-8）代入上式得,a(1+2)2+1=-8，,解得 a=-1.,所求的二次函数的表达式是y=-(x+

43、2)2+1或y=-x2-4x-3.,归纳总结,顶点法求二次函数的方法,这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-h)2+k；先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.,例2 一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.,解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.,又由于它的图象经过点(0,1)，可得 0=a(0-8)2+9.解得,所求的二次函数的解析式是,解：（-3，0）（-1，0）是抛物

44、线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得,y=a(x+3)(x+1).,再把点（0，-3）代入上式得,a(0+3)(0+1)=-3，,解得a=-1，,所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.,选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的表达式.,归纳总结,交点法求二次函数表达式的方法,这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于

45、a的一元一次方程；将方程的解代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.,想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？,任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.,探究归纳,问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？,3个,3个,（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：,解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得,选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.,解得,所求的二次函

46、数的表达式是y=-x2-4x-3.,待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）,这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：设函数表达式为y=ax2+bx+c；代入后得到一个三元一次方程组；解方程组得到a,b,c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.,归纳总结,一般式法求二次函数表达式的方法,例3 一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.,解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，

47、可得,解这个方程组，得,所求的二次函数的表达式是,当堂练习,1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是.,注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.,x,y,O,1,2,-1,-2,-3,-4,3,2,1,-1,3,4,5,2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是.,顶点坐标是（1，6）,y=-2(x-1)2+6,3.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式,解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得,这个二次函数的表达式为y2x23x4.,

48、abc1，,c4，,a-bc-5，,解得,b3，,c4，,a2，,4.已知抛物线与x轴相交于点A(1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式,解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1)又因为抛物线过点M(0，1)，所以1a(01)(01)，解得a1，所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)，即yx21.,5.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：,(1)求抛物线的表达式；,解：(1)把点A(4，3)代入yx2bxc得164bc3，c4b19.对称轴是x3，3，b6，c

49、5，抛物线的表达式是yx26x5；,(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积,(2)CDx轴，点C与点D关于x3对称点C在对称轴左侧，且CD8，点C的横坐标为7，点C的纵坐标为(7)26(7)512.点B的坐标为(0，5)，BCD中CD边上的高为1257，BCD的面积 8728.,课堂小结,已知三点坐标,已知顶点坐标或对称轴或最值,已知抛物线与x轴的两个交点,已知条件,所选方法,用一般式法：y=ax2+bx+c,用顶点法：y=a(x-h)2+k,用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标）,待定系数法求二次函数解析式,见学练优本课时练习,课后作业,