冀教版九年级数学上册第28章圆教学ppt课件.ppt

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1、,28.1 圆的概念及性质,第二十八章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,1.理解圆的相关概念并会简单应用.2.理解并掌握圆的对称性并会简单运用和计算.(重点、难点),问题1 观察车轮，你发现了什么？,导入新课,观察与思考,问题2 你能举例说明生活中哪些物体是圆形的吗？,讲授新课,o,d,r,r,r,同圆内，半径有无数条，长度都相等。,观察画圆过程,（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于.,定长（半径r),（2）到定点的距离等于定长的点都在.,同一个圆上,圆心为O、半径为r的圆可以看成是,所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.,确定一个圆的要素:

2、,圆心确定其位置，,一是圆心，,二是半径，,半径确定其大小,弦:,连接圆上任意两点的线段(图中的线段AB、AC）.,注意:,凡直径都是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径.,经过圆心的弦（图中的AB）.,直径:,直径,弦,圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,以A、B为端点的弧记作 AB，,读作：“圆弧AB”或“弧AB”.,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.,等弧:在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧.,长度相等的弧是等弧吗？,.,O,A,C,P,H,G,F,E,如图:(1)直径是_;(2)弦是 _;(3)PQ是直径吗?_;(4)线段EF、GH 是弦吗？

3、_.,K,AB,CD、DK、AB,不是,不是,D,B,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆的对称性：,（1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴；,（2）圆也是中心对称图形，它的圆心就是它的对称中心.,1.填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是_，而不是“圆面”（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的_，半径决定圆的_，二者缺一不可,圆周,位置,大小,当堂作业,（4）图中有_条直径，_条非直径 的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_ 条，劣弧有_ 条,（

4、3）_是圆中最长的弦，它是_的2倍,直径,半径,一,二,四,四,2.判断下列说法的正误：,(1)弦是直径；,(2)半圆是弧；,(3)过圆心的线段是直径；,(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;,(8)半径相等的两个圆是等圆,(4)过圆心的直线是直径；,(5)半圆是最长的弧；,(6)直径是最长的弦；,3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？,不公平，圆形.,4.选择：（1）下列说法中，正确的是（）线段是弦；直径是弦；经过圆心的弦是直径；经过圆上一点有无数条直径 A B C D,B,课堂小结,1.师生共同回顾圆的两种定义及圆的对

5、称性，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.,28.2 过三点的圆,第二十八章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,1.复习并巩固圆中的基本概念.2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.(重点)3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.（难点）,问题1 构成圆的基本要素有那些?,导入新课,观察与思考,o,r,两个条件:,圆心,半径,那么我们又如何画

6、圆呢?,问题2 过一点可以作几条直线？,问题3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？,讲授新课,1.过一点作圆,过一点可以作无数个圆,2.过两个点作圆,过两个点可以作无数个圆,圆心在什么位置呢?,线段AB的垂直平分线上,A,B,C,过如下三点能不能做圆?为什么?,不在同一直线上的三点确定一个圆.,3.经过三个点A、B、C能确定一个圆吗？,不能，三点在同一直线上.,问题1 将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？,方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C.2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC长为半径作圆,O即为所求.,A,B,C,O,问题2 已知AB

7、C，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.,O,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.,当堂练习,（1）圆心O到A、B、C三点距离（填“相等”或”不相等”）.,（2）连结AB、AC，过O点分别作直线MNAB，EFAC，则MN是AB的；EF是AC的.,（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距离.,相等,垂直平分线,垂直平分线,相等,N,M,F,E,课堂小结,（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定；,（2）经过一个已知点能作无数个圆；,（3）经过两个已知点A、B能作无数

8、个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；,（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆；,（5）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.,28.3 圆心角和圆周角,第二十八章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,第1课时 圆心角,情境引入,1.复习并巩固圆中的基本概念.2.理解并掌握圆心角的定义，能够运用其进行计算.(重点)3.理解并掌握圆心角、弧、弦间的关系.（难点）,问题1 圆的对称性有哪几方面？,导入新课,回顾与思考,轴对称性,问题2 将圆绕圆心任意旋转,你发现了什么？,圆具有旋转不变性,讲

9、授新课,圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?,圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心,圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.,O,概念：,如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到A O B 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时，显然AOBAOB，射线OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点A与点A重合，点B与点B重合,O,A,B,A,B,因此，弧AB与弧AB重合，弦AB与弦AB重合,弧AB=弧AB，,同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弦_；在同圆或等圆

10、中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角_，所对的弧_,这样，我们就得到下面的定理：,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,相等,相等,相等,相等,同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等,典例精析,如图在O中，弧AB=弧AC，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC.,证明：,AB=AC,ABC等腰三角形,又 ACB=60，,ABC是等边三角形，AB=BC=CA.,AOBBOCAOC.,A,B,C,O,弧AB=弧AC，,1.如图，AB、CD是O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果弧AB=弧CD，那么_，_（3）如

11、果AOB=COD，那么_，_,AB=CD,AB=CD,弧AB=弧CD,弧AB=弧CD,当堂练习,相等,因为AB=CD，所以AOB=COD.,又因为AO=CO，BO=DO，,所以AOB COD.,又因为OE、OF分别是AB与CD边上的高，,所以 OE=OF.,（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？,2.如图，AB是O的直径，弧BC=弧CD=弧DE,COD=35，求AOE的度数,解：弧BC=弧CD=弧DE，,BOC=COD=DOE=35.,弧BC=弧CD=弧DE，,课堂小结,2.圆心角、弧、弦间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,同圆

12、或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等,1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,28.3 圆心角和圆周角,第二十八章 圆,第2课时 圆周角,导入新课,回顾与思考,3.下列命题是真命题的是()在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等圆既是轴对称图形,又是中心对称图形A.B.C.D.,1.圆心角的定义?,答：相等.,答:顶点在圆心的角叫圆心角.,2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?,B,讲授新课,圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?,思考：三个图中的B

13、AC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？,A,.,你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?,特征：,角的顶点在圆上.,圆周角定义:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫圆周角.,角的两边都与圆相交.,解:AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即ABC=AOC.,你能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,提示:能否转化为1的情况?,你能写出这个命题吗?,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,如果

14、圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,ABC=AOC.,提示:能否也转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,你能写出这个命题吗?,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,A,B,C,3.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,ABD=AOD,CBD=COD,ABC=AOC.,O,圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧所得的圆心角度数的一半.,提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.,即ABC=AOC.,圆心在角的边,圆心在角,圆心在角,上

15、,内,外,D,A,B,O,C,E,F,CAD=EBF CD=EF,）,）,推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.,推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.,AB是直径AC1B=90,AC1B=90 AB是直径.,典例精析,AOB=2BOC,ACB=2BAC,证明：,ACB=AOB,BAC=BOC,例.如图：OA，OB，OC都是O的半径，AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.,当堂练习,1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.,图,图,图,图,图,2.指出图中的圆周角.,ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO

16、CBO ABC,3.如图，点B，C在O上，且BO=BC，则圆周角BAC等于（）,D,A.60,B.50,C.40,D.30,4.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60,A,【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.,课堂小结,定理：圆上一条弧都所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.,推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.,导入新课,讲授新

17、课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,28.3 圆心角和圆周角,第二十八章 圆,第3课时 圆内接四边形,1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.(重点),问题1 什么是圆周角？,导入新课,回顾与思考,特征：,角的顶点在圆上.,角的两边都与圆相交.,圆周角概念:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,问题2 什么是圆周角定理？,圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,即 ABC=AOC.,讲授新课,若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,O,A

18、,C,D,E,B,如图，四边形ABCD为O的内接四边形；O为四边形ABCD的外接圆.,C,O,D,B,A,弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,E,延长BC到点E，有,BCDDCE180.,ADCE.,定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.,由于A是DCE的补角BCD的对角（简称DCE的内对角），于是我们得到圆内接四边形的性质：,当堂练习,1.在O中，CBD=30，BDC=20,求A.,解：CBD=30，BDC=20C=180-CBD-BDC=130A=180-C=50（圆内接四边形对角互补）,变式：已知OAB等于40,求C 的度

19、数.,A,B,C,O,D,2.判断.（1）等弧所对的圆周角相等；（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等；（）（3）90的角所对的弦是直径；（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）,课堂小结,2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.,1.若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.,28.4 垂径定理*,第二十八章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,1.复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识.2.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程.(重点)3.能够运用垂径定理及其推

20、论解决实际问题.（难点）,问题 赵州桥的半径是多少？,导入新课,观察与思考,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,问题1 如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,讲授新课,（1）圆是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2）线段：AE=BE,O,A,B,C,D,E,O,A,B,C,D,E,弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD,把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B

21、重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD 重合,O,A,B,C,E,由此，我们得到下面的定理：,即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC,D,我们还可以得到结论：,平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？,垂径定理的本质是:,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对

22、的劣弧,解决求赵州桥拱半径的问题：,如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,解得R27.9.,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.,OA2=AD2+OD2,AB=37.4 m，CD=7.2 m，,OD=OCCD=R7.2,在图中,（m）,问题 命题：“平分弦（不是直径）

23、的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例.,CDAB,CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,（1）如何证明？,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=BE.,证明：连接OA，OB，则OA=OB,AE=BE,CDAB，AOD=BOD.,AD=BD,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,CD是直径,CDAB,AM=BM,如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？,一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;

24、(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.,当堂练习,1如图，在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5 cm.,在RtAOE中，,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证：四边形ADOE是正方形,O,A,B,C,D,E,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB，,AE=AD.,四边形ADOE为正方形.,课堂小结,垂径定理及其逆定理,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,

25、上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,28.5 弧长和扇形面积的计算,第二十八章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（JJ）教学课件,1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算.2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算.(重点)3.能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.（难点）,问题1 已知O半径为R，O的周长C是多少？,导入新课,回顾与思考,C=2R,问题2 已知O半径为R，O的面积S是多少？,S=R2,讲授新课,制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.,已知O半径为R，求n圆心角所对弧

26、长,（1）半径为R的圆,周长是多少？,C=2R,（2）1圆心角所对弧长是多少？,（3）n圆心角所对的弧长是1圆心角所对的弧长的多少倍？,n倍,（4）n圆心角所对弧长是多少？,若设O半径为R，n的圆心角所对的弧长为l，则,l,（1）在应用弧长公式l，进行计算时，要注意公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；,（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧,已知O半径为R，如何求圆心角n的扇形的面积?,研究问题的步骤:,（1）半径为R的圆,面积是多少?,S=R2,（2）圆心角为1的扇形的面积是多少?,（3）

27、圆心角为n的扇形的面积是圆心角为1的扇形的面积的多少倍？,n倍,（4）圆心角为n的扇形的面积是多少?,扇形面积公式:,若设O半径为R，圆心角为n的扇形的面积S扇形，则S扇形=.,注意:,（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；,（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.,问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？,想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？,如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no，那么扇形面积的计算公式为：,扇形面积的弧长与扇形面积:,圆锥的高,母线,我们把连接圆锥的顶点和底面圆上任一点的线段叫做圆锥的母线.,连

28、接顶点与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高.,思考圆锥的母线和圆锥的高有哪些性质？,由勾股定理得：,如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r,h,l之间有怎样的数量关系呢？,r2+h 2=l 2,圆锥的侧面展开图是扇形,其侧面展开图扇形的半径=母线的长l,l,侧面展开图扇形的弧长=底面周长,请推导出圆锥的侧面积公式.,S 侧=rl(r表示圆锥底面的半径,l 表示圆锥的母线长),圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).,l,r,当堂练习,1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm),解：由弧长公式，可得弧AB的长,因此所要求的展直长度,答：管道的展直长度为2970mm,2.圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（取3.14，结果保留2个有效数字）.,解：l=80，h=38.7,r=,S侧=rl3.1470801.8104（cm2）,答：烟囱帽的面积约为1.8104cm2.,l,h,r,课堂小结,1.n的圆心角所对的弧长.,2.圆心角为n的扇形面积S扇=(l为扇形的弧长）.,3.其侧面展开图扇形的半径=母线的长l,侧面展开图扇形的弧长=底面周长,圆锥的侧面展开图是扇形,S 侧=rl(r表示圆锥底面的半径，l 表示圆锥的母线长),