人教版八年级数学上册第十一章三角形课件.pptx
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1、,第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.三角形及其有关概念 2.三角形的分类 3.三角形的三边关系,学习目标,新课导入,知识回,下面请同学们仔细观察一组图片,找出你熟悉的几何图形.,你能画出一个三角形吗?,新课讲解,知识点1 三角形及有关概念,下面哪个是三角形?,结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的.,什么是三角形?,新课讲解,1.三角形的定义,注意:(1)三条线段(2)不在同一直线上(3)首尾顺次相接,由不在同一条直线上的三
2、条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形。,新课讲解,2.三角形的表示,三角形用符号“”表示,如下图的三角形,记作“ABC”,读作“三角形ABC”.,注意:表示三角形时,字母没有先后顺序.即:可以记作ABC,也可记作ACB.,新课讲解,3.三角形的顶点、边、内角,如图,ABC的三个顶点分别是:A,B,C.,ABC的三条边分别是:AB,BC,CA.它的三个内角(简称三角形的角)分别是:A,B,C.,新课讲解,3.三角形的顶点、边、内角,注意:1.三角形的三边用字母表示时,字母没有顺序限制.2.三角形的三边,有时也用一个小写字母来表示.如:ABC的三边中,顶点A所对的边BC也可表示为a,顶点B所
3、对的边AC也可表示为b,顶点C所对的边AB可表示为c.3.一般情况下,我们把边BC叫做A的对边,AC,AB叫 A的邻边;边AC叫B的对边,AB,BC叫B的邻边;你能说出C的对边及邻边吗?,对边是AB,邻边是BC,AC.,新课讲解,一位同学用三根木棒拼成的图形如下,则其中符合三角形定义的是(),D,1,新课讲解,如图:(1)ADC的三个顶点分别是_,三个内角分 别是_(2)在ABC中,C的对边是_;在AEC 中,C的对边是_,2,A、D、C,AB,AE,新课讲解,知识点2 三角形的分类,我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直 角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进
4、行分类呢?说说你的想法,并与同学交流.,新课讲解,知识点2 三角形的分类,三边都相等的三角形叫做等边三角形(图(1);有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图(2).图(3)中的三角形是三边都不相等的三角形.,新课讲解,知识点2 三角形的分类,腰,腰,顶角,底角,底角,在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.,新课讲解,知识点2 三角形的分类,等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.,以“是否有边相等”,可以将三角形分为两类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.,新课讲解,知识点2 三角形的分类 总结,按角分,锐角三角形,钝
5、角三角形,直角三角形,按边分,三边都不相等的三角形,等腰三角形,底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形,新课讲解,1,下列说法:等边三角形是等腰三角形;等腰三角形也可能是直角三角形;三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个,C,分析:等腰三角形不一定是等边三角形,故错误;三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形,故错误;两边相等的三角形是等腰三角形,故正确;易知正确.所以选C.,新课讲解,D,2,已知一个三角
6、形是等腰三角形,则这个三角形()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,任意画一个ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择?各条线路的长有什么关系?能证明你的结论吗?,新课讲解,如图三角形中,假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C,它有几条路线可以选择?各条路线的长一样吗?,对于任意一个 ABC,如果把其中任意两个顶点(例如B,C)看成定点,由“两点之间,线段最短”可得 AB+ACBC.同理有 AC+BCAB,AB+BCAC.一般地,我们有:三角形两边的和大于第三边.由不
7、等式移项可得BCABAC,BCACAB.这就是说,三角形两边的差小于第三边.,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么?(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以,三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,(2)如果4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则 4+2x=18.解得x=7.如果4 cm长的边为腰,设底边长为 x cm,则 24+x=18.
8、解得x=10.因为4+410,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不 能围成腰长 是4 cm的等腰三角形.由以上讨论可知,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,注意:1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话:三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边.2.在做题时,不仅要考虑到两边之和大于第三边,还必须考虑到两边之差小于第三边.,新课讲解,下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么?(1)3,4,8;(2)5,6,11;(3)5,6,10.,(1)不能组成三角形 因为348,不满足三角形的三边关系(2)不能组成三角形 因为5611,不满足三
9、角形的三边关系(3)能组成三角形 因为5610,满足三角形的三边关系,解:,1,新课讲解,下列长度的三条线段能组成三角形的是()A5,6,10 B5,6,11C3,4,8 D4a,4a,8a(a0),已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A5B6C12D16,C,A,2,3,课堂小结,三角形,不在同一条直线上,首尾顺次相接,三条线段,ABC,概念,表示方法,分类,三边关系,按“边”分,按“角”分,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,当堂小练,当堂小练,当堂小练,D,拓展与延伸,1,第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2三角形的高、中线、角平分
10、线,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念.(重点)2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.(难点)3.了解三角形的重心的概念.,学习目标,新课导入,知识回,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,把一条线段分成两条相等的线段的点,一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线,新课讲解,知识点1 三角形的高,定义:从三角形的一个顶点,向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三
11、角形的高线,简称三角形的高.,如图,从ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的高.,垂足D,注意:标明垂直的记号和垂足的字母.,新课讲解,1.锐角三角形的三条高,问题:(1)你能画出这个三角形的三条高吗?,(2)这三条高之间有怎样的位置关系?,(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,如图所示;,锐角三角形的三条高交于同一点;,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,新课讲解,2.直角三角形的三条高,问题:画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?,直角三角形的三条高交于直角顶点;,AC边上的高是;,直角边BC边上的
12、高是;,直角边AB边上的高是;,BD,AB,BC,新课讲解,3.钝角三角形的三条高,问题:画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?,钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,AC边上的高是;,BC边上的高是;,AB边上的高是;,BF,AD,CE,新课讲解,新课讲解,作ABC的边AB上的高,下列作法中,正确的是(),D,新课讲解,知识点2 三角形的中线,定义:连接三角形的一个顶点和它所对的中点的线段叫做三角形的中线.如图,AD是ABC的边BC上的中线.,想一想:由三角形的中线能得到什么结论?,新课讲解,问题:你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝
13、角三角形的三条中线吗?观察它们中线的交点你会发现什么规律?,新课讲解,拓展:如图所示,在ABC中,AD是ABC的中线,AE是ABC的高试判断ABD和ACD的面积有什么关系?你能发现什么规律?,相等,因为两个三角形等底同高,所以它们面积相等.,发现:三角形的中线能将三角形的面积平分.,新课讲解,在ABC中,AC5cm,AD是ABC的中线,若ABD的周长比ADC的周长大2cm,则BA_.,7cm,解析:因为ABD的周长 AB+BD+AD,ADC的周长 AC+DC+AD,所以ABD的周长-ADC的周长(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD)AB-AC=2cm.又因为AC5cm,所以AB7cm.,新
14、课讲解,知识点3 三角形的角平分线,定义:在三角形中,一个内角的平分线和它所对的边相交于一点,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图,AD是ABC的角平分线,或BAD=CAD=BAC且点D在边BC上.,想一想:三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?,不同,三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,新课讲解,问题:请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么?,新课讲解,问题:分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线,观察它们是否也有这样的发现?,新课讲解,在ABC中,已知A=50,BE,CF分别是ABC,ACB的平分线,相交于点P.ABP=21,求BCP的
15、度数.,解:因为BE 平分ABC,ABE 21,所以ABC 221 42.因为A+ABC+BCA 180,A50,所以BCA 180-50-4288.因为CF 平分BCA,所以BCP1/2BCA 44.,课堂小结,三角形重要线段,三角形的三条角平分线交于三角形内部一点,这一点我们称为三角形的内心,直角三角形:三条高交于直角顶点,锐角三角形:三条高交于在三角形的内部一点,钝角三角形:三条高所在直线交于三角形外部一点,高,中线,三角形的三条中线交于三角形内部一点,这一点我们称为三角形的重心,一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形,这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,角平分线,当堂
16、小练,1.如图,在ABC中,1=2,G为AD中点,延长BG交 AC于E,F为AB上一点,CF交AD于H,判断下列说法的正误.,(1)AD是ABE的角平分线()(2)BE是ABD边AD上的中线()(3)BE是ABC边AC上的中线(),分析:(1)AD线段不在ABE内部,所以不是其角平分线,(2)BE 线段不在ABD内部,所以不是其角平分线,(3)AE不等于CE,所以BE不是ABC边AC上的中线,当堂小练,B,当堂小练,3.如图,AE是 ABC的角平分线.已知B=45,C=60,求BAE和AEB的度数.,D,拓展与延伸,3.如图所示,在等腰三角形ABC 中,AB AC,一腰上的中线BD 将这个等腰
17、三角形的周长分成12 和6 两部分,求这个等腰三角形的腰长及底边长.,解:设AB AC 2x,则AD CD x.(1)当AB+AD 12,BC+CD 6 时,有2x+x 12,所以x 4,2x 8.所以AB AC 8,BC 6-4 2.(2)当BC+CD 12,AB+AD 6 时,有2x+x 6,解得x 2,所以2x 4.所以AB AC 4,BC 12-2 10.因为4+410,所以此时不能构成三角形.综上所述,等腰三角形ABC 的腰长为8,底边长为2.,第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.3三角形的稳定性,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲
18、解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.了解三角形的稳定性.(重点)2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用.(难点),学习目标,新课导入,工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶钢架,其中的道理是什么?盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?,新课讲解,知识点1 三角形的稳定性,探究1:如图,将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?,分析:,不会改变,也就是说,三角形的三条边长确定后,三角形的形状就确定了.,新课讲解,知识点1 三角形的稳定性,探究2:如图,将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后
19、扭动它,它的形状会改变吗?,分析:,会改变,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.,新课讲解,知识点1 三角形的稳定性,探究3:如图,四边形木架上再钉一根木条,将它的一对不相等的顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状会改变吗?为什么?,分析:,不会改变,三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性.,新课讲解,“只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说,三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题,其实质应是“三角形边长确定,其形状和大小就确定了”,新课讲解,1 小明用7根木条钉成一个七边
20、形的木架,他为了使该木架稳固,想在其中加上四根木条,请你在下图的三个图中画出你的三种想法.,解:如图所示(答案不唯一).,新课讲解,1.在如图 11-1-17 所示图形中,具有稳定性的有.(只填序号),1,分析:三角形具有稳定性,多边形不具有稳定性。如果图形可以继续切割为三角形,则不具有稳定性.,新课讲解,如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是(),D,2,A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性,新课讲解,下列图形中,不是应用三角形的稳定性的是(),C,3,A.房屋顶支撑架 B.自行车三脚架 C.伸
21、缩门 D.木门上钉一条木条,新课讲解,3,4,如图,两条木条钉成一个六边形框架ABCD,要使框架稳固不活动,至少还需要添加()根木条.,解:答案不唯一,如图,课堂小结,稳定性,应用,三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性,应用,当堂小练,(1)有下列图形:正方形;长方形;直角三角形;平行四边形.其中具有稳定性的是_.(填序号)(2)铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如,是利用四边形的_.(3)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少要钉上_根木条.,不稳定性,2,D,拓展与延伸,(1)要使四边形木架(用四根木条钉成)具有稳定性,至少要再钉上几根木条?(2)要使五边形木架(用五根木条钉成)具有稳定
22、性,至少要再钉上几根木条?(3)要使六边形木架(用六根木条钉成)具有稳定性,至少要再钉上几根木条?,(4)要使n边形木架(用n根木条钉成)具有稳定性,至少要再钉上几根木条?,D,拓展与延伸,(1)至少再需要1根木条,使得变成2个三角形.,(2)至少再需要2根木条,使得变成3个三角形.,(3)至少再需要3根木条,使得变成4个三角形.,D,拓展与延伸,(4)至少再需要(n-3)根木条,使得变成(n-2)个三角形.,根据四边形木架、五边形木架和六边形木架的规律,n边形木架至少再需要(n-3)根木条,使得变成(n-2)个三角形.,第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角
23、课时一 三角形的内角,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.学习和掌握三角形的内角和定理.(重点)2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.(重点)3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理.,学习目标,新课导入,小学的时候我们通过测量或者剪拼已经验证过三角形的内角和等于180,现在怎么通过推理去验证这个结论呢?请大家在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,得到一个平角.在这个操作中,你能发现证明的思路吗?,新课讲解,知识点1 三角形内角和定理,如图,B,C分别拼凑在A的左右两侧,三个
24、角合起来形成一个平角,出现一条过点A的直线l.想一想,直线l与ABC的边BC有什么关系?由这个图,你能想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗?,从位置关系和角度的大小关系可以看出,直线l与边BC是平行关系.,新课讲解,知识点1 三角形内角和定理,如图,已知ABC,求证A+B+C=180.,A,B,C,2,3,l,证明:过点A作直线l,使得l/BC.l/BC,2=B,3=C(两直线平行,内错角相等).1、2、3构成平角,1+2+3=180(平角的定义).则BAC+B+C=180(等量代换).,你能想出来其他的证明方法吗?,新课讲解,知识点1 三角形内角和定理,如图,已知ABC,求证A+B+
25、C=180.,A,B,C,l,证明:过点C作直线l,使得l/AB,延长BC.l/AB,2=A(两直线平行,内错角相等),3=B(两直线平行,同位角相等).1、2、3构成平角,1+2+3=180(平角的定义).则ACB+A+B=180(等量代换).,1,2,3,新课讲解,1 如图,在ABC中,BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线.求ADB的度数.,解:BAC=40,AD是ABC的角平分线,BAD=20.在ADB中,B=75,ADB=180-BAD-B=85(三角形内角和定理).,新课讲解,2 如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80方向,C岛在B
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