二次函数的图像和性质课件.pptx

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1、22.1 二次函数的图像和性质22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质,第一课时,第二课时,第三课时,人教版 数学 九年级 上册,第一课时,二次函数y=ax2+k的图像和性质,返回,这个函数的图象是如何画出来呢？,x,y,导入新知,素养目标,3.能说出抛物线y=ax+k的开口方向、对称轴、顶点.,1.会画二次函数y=ax2+k的图象.,2.理解抛物线y=ax与抛物线 y=ax+k之间的联系.,在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.,【解析】,10 5 2 1 2 5 10,8 3 0-1 0 3 8,二次函数y=ax2+k图象的画法,探究新

2、知,1.列表：,y=x2+1,10,8,6,4,2,-2,-5,5,x,y,y=x2-1,y=x2,O,2.描点，连线：,探究新知,【思考】抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？,解：,探究新知,二次函数y=ax2+k的图象的画法,例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=2x2+1，y=2x2-1的图象。,解析 先列表：,探究新知,然后描点画图：,y=2x2-1,y=2x2+1,-1,探究新知,y=2x2-1,y=2x2+1,-1,抛物线y=2x2+1,y=2x2-1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？,【思考】,解答：,探究新知,1.在同一坐标系中，

3、画出二次函数，的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.,如图所示,巩固练习,解：先列表：,在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象,二次函数y=ax2+k的图象和性质,1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0),探究新知,再描点、连线，画出这两个函数的图象：,探究新知,【思考】抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？,向上,向上,（0,0）,（0,1）,y轴,y轴,【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a0)的性质是什么？,探究新知,开口方向：向上对称轴：x=0顶点坐标：（0，k）最值：当x=0时，有最小值，y=k增减性：当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，

4、y随x的增大而增大.,探究新知,二次函数y=ax2+k(a0)的性质,y,-2,-2,4,2,2,-4,x,0,2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a0),在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：,探究新知,根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是.(2)三条抛物线的开口方向_;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _,抛物线,向下,直线x=0,(0,0),(0，2),(0,-2),探究新知,(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_,高,大,y=0,y=-2,y=2,对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小,探究新

5、知,注意：k带前面的符号！,探究新知,二次函数y=ax2+k（a0）的性质,例2 已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当xx1+x2时，其函数值为_.,解析 由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.,c,【方法总结】二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数,二次函数y=ax2+k的性质的应用,探究新知,抛物线y=2x2+3的顶点坐标是,对称轴是，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小.,巩固练习,

6、2.,（0,3）,y轴,对称轴左,对称轴右,解析式,y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1,+1,-1,点的坐标,函数对应值表,4.5,-1.5,3.5,5.5,-1,2,1,3,x,2x2,2x2-1,(x,),(x,),(x,),2x2-1,2x2,2x2+1,从数的角度探究,二次函数y=ax2+k的图象及平移,2x2+1,探究新知,y=2x21,y=2x21,观察图象可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.,下,y=2x2+1,上,从形的角度探究,探究新知,二次函数y=ax2+k的图象可

7、以由 y=ax2 的图象平移得到：当k 0 时,向上平移 个单位长度得到.当k 0 时,向下平移 个单位长度得到.,上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.,探究新知,二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a0）的图象的关系,二次函数y3x21的图象是将()A抛物线y3x2向左平移3个单位得到 B抛物线y3x2向左平移1个单位得到 C抛物线y3x2向上平移1个单位得到 D抛物线y3x2向上平移1个单位得到,解析 二次函数y3x21的图象是将抛物线y3x2向上平移1个单位得到的,D,巩固练习,3.,1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？,2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定

8、的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？,第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移k 单位.,第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.,a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.,【想一想】,探究新知,将二次函数y=x21的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是,连接中考,巩固练习,y=x2+2,1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线,2.填表：,y=2x24,向上,向上,向下,（0,0）,(0,1),(0,-5),y轴,y轴,y轴,有最低点,有最低点,有最高点,课堂检测,基础巩固题,3.

9、已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)_（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k_；若顶点位于x轴上方，则k_；若顶点位于x轴下方，则k.,在,=2,2,2,课堂检测,基础巩固题,5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：,（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.,（2）函数y=-x2+1，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是，其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.,（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐

10、标.,向下平移1个单位.,0,=0,1,(0,1),(-1,0),(1,0),开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.,课堂检测,基础巩固题,1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=_.2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=_.3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_.,2,-2,8,能力提升题,课堂检测,1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.,二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质,图象,性质,与y=ax2的关

11、系,增减性结合开口方向和对称轴才能确定.,平移规律：k正向上；k负向下.,课堂小结,课堂小结,第二课时,二次函数y=a（x-h）2的图象和性质,返回,导入新知,向上,向下,y轴（直线x=0）,y轴（直线x=0）,（0,c）,（0,c）,当x0时，y随x增大而增大.,当x0时，y随x增大而减小.,x=0时，y最小值=c,x=0时，y最大值=c,说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征.,导入新知,二次函数 y=ax2+k(a0)与 y=ax2(a 0)的图象有何关系？,答：二次函数y=ax2+k(a 0)的图象可以由y=ax2(a 0)的图象平移得到：当k 0 时，向上平移 个单位长度得到

12、.当k 0 时，向下平移 个单位长度得到.,【思考】函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？,导入新知,素养目标,3.能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.,1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.,2.理解抛物线y=ax2 与抛物线 y=a(x-h)2的联系.,二次函数y=a(x-h)2的图象和性质,在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象,解：先列表：,探究新知,再描点、连线，画出这两个函数的图象：,探究新知,向上,向上,y轴,x=2,(0,0),(2,0),根据所画图象，填写下表：,【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a0）的性质是什么？,探究新知

13、,当x=0时，y最小值=0,当x=2时，y最小值=0,当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小,当x2时，y随x的增大而增大；当x2时，y随x的增大而减小,探究新知,二次函数y=a(x-h)2（a0）的图象性质,【试一试】画出二次函数 的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点,2,4.5,2,0,0,2,2,4.5,0,x,y,8,探究新知,向下,直线x=-1,(-1,0),直线x=0,直线x=1,向下,向下,(0,0),(1,0),探究新知,函数y=a(x-h)2（a0）的性质（结合图象）,【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a0）的性质是什么？,探究新知,探

14、究新知,二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象性质,向上,直线x=h,（h,0）,当x=h时，y最小值=0,当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.,向下,直线x=h,（h,0）,当x=h时，y最大值=0,当xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大.,例1 若抛物线y3(x)2的图象上的三个点，A(3，y1)，B(1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为_,解：抛物线y3(x)2的对称轴为x，a30，开口向上，当x 时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x 时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大点A的坐标为(3，y1)，点A在抛物线上

15、关于x=-的对称点A的坐标为(，y1)又10，y2y3y1.,y2y3y1,二次函数y=a（x-h）2 的图象和性质,探究新知,利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先依对称性转化到同侧，再比较大小.,探究新知,1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x-3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是（）A.-1 B.-9 C.1 D.9,巩固练习,B,向右平移1个单位,二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系,抛物线，与抛物线 有什么关系？,向左平移1个单位,探究新知,可以看作互相平移得到.,左右平移规律：括

16、号内左加右减；括号外不变.,y=a(x-h)2,当向左平移 h 个单位时,y=a(x+h)2,当向右平移 h个单位 时,y=ax2,探究新知,二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系,例2 抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式,解：二次函数yax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2，因此平移后二次函数关系式为y(x3)2.,方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”,二次函数平

17、移性质的应用,探究新知,2.,将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是()A向上平移1个单位B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位,解析 抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图象,C,巩固练习,已知二次函数y=（xh）2（h为常数），当自变量x的值满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为1，则h的值为（）A3或6 B1或6 C1或3 D4或6,连接中考,巩固练习,B,1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，

18、那么平移后抛物线的解析式是.2.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线_，顶点是_.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_.,y=-(x+3)2或y=-(x-3)2,y1 y2 y3,课堂检测,基础巩固题,4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,向上,直线x=3,(3,0),直线x=2,直线x=1,向下,向上,(2,0),(1,0),课堂检测,基础巩固题,在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系,解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图

19、象向右平移2个单位得到.,y=2x2,2,课堂检测,能力提升题,在直角坐标系中画出函数y(x-3)2的图象(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?,课堂检测,拓广探索题,解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.（3）当x3时，y随x的增大而增大，当x3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.,（2）该函数图象由二次函数y=x2的图象向右平移3个单位得到.,复习y=ax2+k,探索y=a(x-h)2的图象及

20、性质,图象的画法,图象的特征,描点法,平移法,开口方向,顶点坐标,对称轴,平移关系,直线x=h,（h,0）,a0,开口向上a0,开口向下,y=ax2,平移规律：括号内左加右减；括号外不变.,课堂小结,第三课时,二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质,返回,y=ax2,y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=ax2,k0,k0,上移,下移,左加,右减,说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.,顶点在x轴上（h，0）,顶点 在y轴上(0,k),对称轴 y轴,对称轴 x=h,导入新知,【思考】顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？,素养目标,3.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶

21、点.,1.能画出y=a(x-h)2+k(a 0)的图象.,2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)与y=ax2(a 0)之间的联系.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,解：,开口方向：,对称轴：,顶点：,向下,x=-1,(-1,-1),探究新知,探究新知,画一画，填写下表:,画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.,开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2),1.,巩固练习,当xh时，y随x增大而减小.,当xh时，y随x增大而增大.,向上,向下,直线x=h,直线x=h,（h,k）,x=h时，y最小值=k,x=h时，y最大值=

22、k,（h,k）,探究新知,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,例1 已知二次函数ya(x1)2c的图象如图所示，则一次函数yaxc的大致图象可能是(),解析 根据二次函数开口向上则a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图象经过第一、二、三象限,A,利用二次函数y=a(x-h)2+k的性质识别图象,探究新知,在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x+a的图象可能是（）,巩固练习,2.,C,向左平移一个单位,向下平移一个单位,向左平移一个单位，再向下平移一个单位,二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移,探究新知,怎样移动抛物线 就可以得到

23、抛物线？,向左平移1个单位,【思考】还可以怎样移动抛物线 来得到抛物线？,平移方法：,向下平移1个单位,探究新知,y=a(x-h)2+k,y=ax2,？,二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：,这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？,探究新知,一般地,抛物线y=a(xh)k与y=ax形状相同,位置不同.把抛物线y=ax向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(xh)k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.,向左(右)平移|h|个单位,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xh)2+k,y=ax2,y=a(xh)2+k,向上(下)平移|k|个单位,y=a

24、x+k,向左(右)平移|h|个单位,平移方法:,探究新知,(1)当a0时,开口向上;,当a0时，开口向下;,(2)对称轴是直线x=h;,(3)顶点是(h,k).,探究新知,抛物线y=a(xh)2+k的特点,可以看作互相平移得到的.,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,平移规律,简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.,探究新知,二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系,如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.,巩固练习,3.,例2 要

25、修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,二次函数的应用,探究新知,C(3,0),B(1，3),A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0)，,0=a(31)23.,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23(0 x3).,当x=0时,y=2.25.,答:水管长应为2.25m.,探究新知,如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门

26、脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.,巩固练习,4.,巩固练习,解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B（9,0），C（8,1.7）.,把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得,解得,y=-0.1x2+8.1,h=k=8.1,即大门高8.1m.,点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.,1.抛物线y=3（x1）2+1的顶点坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）,连接中考,巩

27、固练习,A,2.将抛物线y=5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）Ay=5（x+1）21 By=5（x1）21Cy=5（x+1）2+3 Dy=5（x1）2+3,巩固练习,A,向上,(1,2),向下,向下,(3,7),(2,6),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3,5),y=3(x1)22,y=4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下表:,基础巩固题,课堂检测,2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是_.,4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2.,3.抛物线y=-3

28、x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 _.,答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.,基础巩固题,课堂检测,5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.,y=a(x-h)2+k,y=5(x+1)2+3,基础巩固题,课堂检测,已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，2），求这个二次函数的关系式,解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，解得a=2这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.,能力

29、提升题,课堂检测,小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是()A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m,B,解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5=a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.,拓广探索题,课堂检测,向右(h0)或向左(h0)平移|h|个单位,y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+k,向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位,向右(h0)或向左(h0)平移|h|个单位,向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位,向右(h0)或向左(h0)平移|h|个单位,向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位,y=ax2,y=a(x-h)2+k,h,k,课堂小结,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业,七彩课堂 伴你成长,