二次函数特殊四边形的存在性问题PPT精选文档课件.ppt
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1、专题七 二次函数综合题,类型三特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3);铜仁2018.25(2),【方法指导】平行四边形的判定,矩形、菱形的判定方法参照中平行四边形的判定,典例精讲,例已知抛物线yax2bxc经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴;,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式,需将A,B,C三点坐标代入yax2bxc中,解方程组即可;把抛物线一般式化成顶点式,可得抛物线的顶点坐标和对称轴,解:将点A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点代入yax2bxc中,得,解得,抛物线的解析式为yx24x3.把yx24x3化成顶点
2、式为y(x2)21,抛物线的顶点坐标为(2,1),对称轴是直线x2;,(2)过点C作CD平行于x轴,交抛物线对称轴于点D,试判断四边形ABDC的形状,并说明理由;,例题图,【思维教练】要判断四边形ABDC的形状,观察发现:四边形ABDC为平行四边形,结合已知条件有CDAB,再设法证明ABCD即可,解:四边形ABDC是平行四边形理由如下:D点在抛物线的对称轴上,CDx轴,D点的横坐标为2,即CD2,A(1,0),B(3,0),AB2,ABCD,又CDAB,四边形ABDC是平行四边形;,(3)如果点G是直线BC上一点,点H是抛物线上一点,是否存在这样的点G和H,使得以G,H,O,C为顶点的四边形是
3、平行四边形?如果存在,请求出点H的坐标;,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H,由于OC的长度和位置确定,所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等,据此可求出点H的坐标,解:存在,如解图,设直线BC的解析式为ykxb(k0),将点B(3,0),C(0,3)代入可得:,解得,直线BC的解析式为yx3.点G在直线BC上,点H在抛物线上,且以点G,H,O,C构成的四边形是以OC为边的平行四边形,GHx轴,GHOC,设G点坐标为(n,n3),H点坐标为(n,n24n3),,例题解图,GHOC3,GH|n24n3(n3)|n23n|3,当n23n3时,解得n;当n23n3时,方程无解;当n
4、 时,n24n3;当n 时,n24n3.综上所述,存在这样的点G和H,使得以G,H,O,C为顶点的四边形是平行四边形,点H的坐标为(,)或(,);,例题解图,(4)如果点M在直线BC上,点N在抛物线上,是否存在这样的点M和N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点N的坐标;,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N,因为AB长度和位置确定,故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论:当AB为边时,则MNAB,且MNAB,据此可求出点N的坐标;当AB为对角线时,则MN与AB互相平分,从而确定点N的坐标,解:存在点M,N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四
5、边形当AB为平行四边形的边时,需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边),如解图,()当点M在点N的左边时,设点N的坐标为(m,m24m3),则点M的坐标为(m2,m5),四边形ABNM是平行四边形,m24m3m5,解得m,当m 时,m24m3;当m 时,m24m3.点N的坐标为(,)或(,);,例题解图,()当点M在点N的右边时,设点N的坐标为(m,m24m3),则点M的坐标为(m2,m1),四边形ABMN是平行四边形,m24m3m1,解得m1或2,当m1时,点N与点A重合,故舍去;当m2时,m24m31,点N的坐标为(2,1);,当AB为平行四边形的对角线时,则MN与AB互相平
6、分,如解图,AB与MN相交于点J,易得J(2,0),易得AJNJBJMJ,设M(m,m3),N(n,n24n3),则有 2,m3n24n30,整理,得n23n20,解得n11(舍去),n22,N点坐标为(2,1)综上所述,点N的坐标为(,),(,),(2,1);,例题解图,(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K,点P是抛物线对称轴上一点,点Q为y轴上一点,是否存在这样的点P和Q,使得四边形CKPQ是菱形?如果存在,请求出点P的坐标;,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点P,由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定,则CK为菱形的边,故利用KPCK上下平移直线BC,与抛物线对称轴的交点即为
7、所求点P.,解:存在理由如下:K点的坐标为(2,1),CK,假如存在这样的点P,使得四边形CKPQ为菱形,则KPCK2,如解图,当点P在点K的下方时,点P1的坐标为(2,12),当点P在点K的上方时,点P2的坐标为(2,12)点P的坐标为(2,12)或(2,12);,例题解图,(6)若点R是抛物线对称轴上一点,点S是平面直角坐标系内任一点,是否存在满足条件的点R、S,使得四边形BCRS为矩形?若存在,求出点R、S的坐标,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点R、S,要使四边形BCRS为矩形,则点R在直线BC上方,且BCR90,可通过寻找相似三角形利用相似求出点R,再根据矩形性质求出点S.,
8、解:存在,如解图,要使四边形BCRS为矩形,抛物线对称轴交x轴于点T,则BCR90,CRKTBK,由(5)知,K(2,1),CK2,T(2,0),TK1,BK,RK 4,R(2,5),CBRS,CBRS,根据点平移及矩形性质可得S(5,2)故存在满足条件的点R、S,使得四边形BCRS为矩形,且点R、S的坐标分别为R(2,5),S(5,2),例题解图,针对演练,解:(1)设抛物线的解析式为yax2bxc,将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式,得,解得,抛物线的解析式为y x2 x4,配方,得y(x)2,顶点坐标为(,);(2)设E点坐标为(x,x2 x4),S2 OAyE6(x2 x4),
9、即S4x228x24;,(3)平行四边形OEAF的面积为24时,平行四边形OEAF可能为菱形,理由如下:当平行四边形OEAF的面积为24时,即4x228x2424,化简,得x27x120,解得x3或4,当x3时,EOEA,则平行四边形OEAF为菱形;当x4时,EOEA,则平行四边形OEAF不为菱形平行四边形OEAF的面积为24时,平行四边形OEAF可能为菱形,解:(1)C1与C2关于y轴对称,C1与C2交点一定在y轴上,且C1与C2的形状、大小均相同,a1,n3,C1的对称轴为x1,C2的对称轴为x1,m2,C1:yx22x3,C2:yx22x3;(2)令C2中y0,则x22x30,解得x13
10、,x21,点A在点B左侧,A(3,0),B(1,0);(3)存在如解图,设P(a,b),,第2题解图,四边形ABPQ是平行四边形,PQAB4,Q(a4,b)或(a4,b)当Q(a4,b)时,得a22a3(a4)22(a4)3,解得a2,ba22a34435,P1(2,5),Q1(2,5);当Q(a4,b)时,得a22a3(a4)22(a4)3,解得a2,ba22a34433.P2(2,3),Q2(2,3)综上所述,所求点的坐标为P1(2,5),Q1(2,5)或P2(2,3),Q2(2,3),类型四相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3)【方法指导】ABC与DEF相似,在没指明对应点的情
11、况下,理论上应分六种情况讨论,但实际问题中通常不超过四种,常见有如下两种类型,每类分两种情况讨论就可以了,另外,如果不满足以上两种情况,但可以确定已知三角形的形状(特征)时,先确定动态三角形中固定的因素,看是否与已知三角形中有相等的角,若存在,根据分类讨论列比例关系式求解;已知条件中有一条对应边,只需要讨论另外两条边的对应关系,列比例关系式求解;若可得相似三角形的某个对应角的度数时,分类讨论另外两个角的对应情况,列比例关系式求解,典例精讲,例如图,抛物线图象交x轴于A、B两点,且点A位于x轴的正半轴,点B位于x轴的负半轴,且OA,OB3.抛物线交y轴于点C(0,3)(1)求抛物线的解析式;,例
12、题图,【思维教练】要求抛物线的解析式,已知OA,OB 的长度,可知点A、B的坐标,再结合点C的坐标,利用待定系数法即可确定抛物线的解析式,解:OA,点A在x轴的正半轴,A(,0),OB3,点B在x轴的负半轴,B(3,0),设抛物线的解析式为:yax2bxc,将点A(,0),B(3,0),C(0,3)代入,得,解得,即此抛物线的解析式为y x2 x3;,(2)连接AC、BC,则在坐标轴上是否存在一点D,使得ABCACD(点D不与点B重合),若存在,请求出点D坐标;,例题图,【思维教练】要在坐标轴上找一点D,使得ABCACD,由(1)知A、B、C三点坐标,可判断出ABC为直角三角形,则可知ACD必
13、是直角三角形且点D对应直角顶点,根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标,解:存在,如解图,tanOCA,OCA30,tanBCO,BCO60,ACB90,ABC为直角三角形,ABCACD,且点D在坐标轴上,由题易知,AB4,AC2,BC6,即,CD3,C(0,3),D(0,0);,例题解图,(3)设抛物线的对称轴分别交抛物线,x轴于点E,F,在x轴上是否存在一点G(不与点F重合),使得AEF与AEG相似,若存在,请求出点G坐标;,【思维教练】要使AEF与AEG相似,因为AEF为直角三角形,需考虑AEG中哪个角为直角的情况:当点G在x轴上时,分AEFAGE和AEFAEG两种情况,例题图,解:
14、存在,AEF是直角三角形,且AEF与AEG相似,AEG也是直角三角形,点G在x轴上,分两种情况讨论:当AGEAEF时,由(1)知A(,0),E(,4),EF4,AF2,根据勾股定理,得AE2,AE2AGAF,解得AG,OGAGOA,即G(,0);当AEFAEG时,点F与点G重合,综上所述,G点坐标为(,0);,(4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点,在y轴上是否存在一点N,使得AOC与MNC相似,若存在,请求出点N坐标;,例题图,【思维教练】要使AOC与MNC相似,因为ACOMCN,则需考虑AOC90这个直角与哪个角对应,从而分以下两种情况讨论:AOCMNC,AOCNMC,根据对应边成比例计算
15、出点N的坐标,解:存在,设直线AC的解析式为ykxb,将A(,0),C(0,3)代入,直线AC的解析式为y x3,易知AC2,又抛物线对称轴为x,将x 代入y x3中,得y6,M(,6),又C(0,3),MC.分以下两种情况讨论:,()如解图,过点M作MNy轴于点N,此时AOCMNC,则此时,点N与点M纵坐标相等,N(0,6);,例题解图,()如解图,过点M作MNAC 于点M,此时AOCNMC,即,NC4,则ONOCNC7,N(0,7)综上所述:满足要求的点N的坐标为(0,6)或(0,7);,例题解图,(5)在抛物线上是否存在点P,使AOC与ACP相似若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理
16、由,例题图,【思维教练】要使AOC与ACP相似,因为AOC是直角三角形,而ACP中三个内角均可能为直角,故需分三种情况讨论,在每种情况之下,求出对应点,再看求出的点是否满足三角形相似的条件,解:存在,AOC是直角三角形,AOC与ACP相似,ACP也是直角三角形,分以下三种情况讨论:()如解图,当点P与点B重合,即ACP90时,AOCACB,CAOBAC,AOCACB,此时,点P的坐标为(3,0);,例题解图,()如解图,当CAP90时,AC2AP2CP2,设点P坐标为(x,x2 x3),A(,0),C(0,3),AC2()23212,AP2(x)2(x2 x3)2,CP2x2(3 x2 x3)
17、2,即12(x)2(x2 x3)2x2(3 x2 x3)2,解得x 或4.当x 时y0,点P与点A重合,故舍去,P(4,5);,例题解图,AP.,2,.AOC与ACP不相似,P(4,5)(舍去);()如解图,当CPA90时,以AC为直径作圆,此圆过点O、A、C,不与抛物线有其他交点,则不存在符合要求的点P.综上所述:满足条件的点P的坐标为(3,0),例题解图,针对演练,1.(2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y x2bxc经过点A(2,0),B(8,0)(1)求抛物线的解析式;(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PDBC,垂足为点D.是否
18、存在点P,使线段PD的长度最大,若存在,请求出点P的坐标;当PDC与COA相似时,求点P的坐标,第1题图,解:(1)将A(2,0),B(8,0)代入y x2bxc得,抛物线解析式为:y x2 x4;,在RtPDE中,PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE,当线段PE最长时,PD的长度最大设P(t,t2 t4),点E在直线BC上,且点E,G的横坐标与点P的横坐标相等,E(t,t4),G(t,0),即PG t2 t4,EG t4,PEPGEG t22t(t4)24(0t8),当t4时,PE有最大值4,此时点P坐标为(4,6),即当P点坐标为(4,6)时,PD的长度最大,最大值为 PE
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