三角函数与三角恒等变换课件.ppt
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1、第五章 三角函数与三角恒等变换,5.3 三角函数的图象和性质,知识框架,考试要求,5.1 三角函数的概念、同角关系、诱导公式,5.2 三角恒等变换,5.4 三角函数应用,知识框架,任意的概念,角的度量方法(角度制与弧度制),同角三角函数关系式,任意角的三角函数,三角函数的图象和性质,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形(求值、化简、证明),函数y=Asin(x+)的图象,理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切),能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性.借
2、助图象理解正弦函数、余弦函数在 0,2,正切函数在 上的性质(如单调性、最在和最小值、图象与x轴交点等).理解同角三角函数的基本关系式:,考试要求,了解y=Asin(x+)的实际意义;能画出y=Asin(x+)的图象,观察参数A,,对函数图象变化的影响.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).,考试要求,5.1 三角函数
3、的概念、同角关系、诱导公式,知识要点,1.角的概念2.弧度制3.任意角的三角函数(1)设角是一任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin=y,cos=xtanx=;(2)三角函数的符号:由于sin0 y0,故的终边在第一、二象限及y轴非负半轴时,sin为正;由于cos0 x0,故的终边在第一、四象限及x轴的非负半轴时,cos为正;由于tan0 xy0,即x与y同号,故当终边在第一、三象限时,tan为正.,知识要点,4.同角三角函数关系同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的,所以各“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义.5.同角三角函数的基本关系式:平方关系:商数关系:6.诱
4、导公式:的三角函数值等于的同名函数值,前面加上一个把“看成”锐角时原函数值的符号,即“函数名不变,符号看象限”;的三角函数值等于的余函数值,前面加,上一个把“看成”锐角时原函数值的符号,即“函数名改变,符号看象限”;诱导公式可以将任意角的三角函数转化为090角的三角函数值.,知识要点,例题剖析,例1 若角是第三象限的角,则点P(sin,tan)位于第 象限.,答案 二,解析 为第三象限角 sin0,tan0 p(sin,tan)位于第二象限,例2 化简 sin420cos330+sin(-690)cos(-660),例题剖析,解析 原式=sin(360+60)cos(360-30)+sin(-
5、720+30)cos(-720+60)=sin 60 cos 30+sin 30cos 60=原式=,例题剖析,点评 应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数是应掌握的基本技能,在有弦有切的题中,切化弦是常用的方法.,例题剖析,例3,解析,例题剖析,例题剖析,点评 知sin+cos,sin-cos,sincos三个式子中的一个,可以求出其余两个式子的值.,延伸拓展1,解析,例题剖析,例4,解析代入原式得,例题剖析,延伸拓展2,解析,例题剖析,点评 将关于sin、cos的齐次式变换为关于tan的表达式在三角变换中有广泛的应用,其中“1”用“sin2+cos2”等反代是常用的技巧.,例题
6、剖析,例5已知一扇形的中心角是,所在圆的半径是R,如图所示.(1)若=60,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值c(c0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?,解析(1)设弧长为l,弓形面积为S弓.,例题剖析,例题剖析,点评弧长和扇形的核心公式是圆周长公式c=2R和圆面积公式S=R2;当用圆心角(弧度)代换2时,即可得到一般弧长和扇形面积公式.,5.2 三角恒等变换,知识要点,1.两角和与差的三角函数公式,2.二倍角公式,3.平方降幂扩角公式,知识要点,4.,5.公式应用讲究一个“活”字,即正用、逆用、变形用,还要创造条件应用公式,如拆角、拼角等技巧,如,
7、例1 sin15+cos15的值:.,例题剖析,答案,解析 法(一)sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30,例题剖析,例题剖析,例2 不查表求值,解析 原式=cos40(1+),例题剖析,点评 不查表求含非特殊角的三角函数式的值,应注意题中各角的特征与相互之间的关系,特别注意这些角的和、差、倍、半是否为特殊角.,例题剖析,例3 已知,解析,例题剖析,例题剖析,点评 给出角的三角函数值,求另一角的三角函数值时,要注意活用二角和、差的三角函数公式,将待求角配凑出用已知角表示的式子,再应用三角公式进行求解,如本例的2用(+)+(-)表示,2用(+)-(-)表示.
8、,延伸拓展1,解析 法(一)由条件可得法(二)由条件得,延伸拓展1,例题剖析,例4 已知 且,解析,例题剖析,例题剖析,点评 已知的某种三角函数值,可求的其它三角函数值,利用二倍角及两角和差关系式,可求2或+(为特殊角)的三角函数值.,延伸拓展2,解析 法(一)由条件得,延伸拓展2,例题剖析,例5 是否存在锐角、,使+2=与tan tan=同时成立?若存在,求出、的大小;若不存在,说明理由.,解析 假设存在满足条件的锐角,则,例题剖析,例题剖析,点评 问是否存在的问题,一般选假设存在,再从条件入手;求角时,一般是先求得三角函数值,再由角的范围求得角的大小.,5.3 三角函数的图象和性质,知识要
9、点,1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质图象定义域值域奇偶性单调性周期性2.y=Asin(wx+)的图象作图方法:(1)五点作图法(2)图象变换法a.相位变换y=sinx图象向左(0)或向右(0)平移|个单位得到y=sin(x+)的图象.,知识要点,b.周期变换y=sinx横坐标伸长(01)到原来的 倍(纵坐标不变)得到y=sinwx的图象.c.振幅变换y=sinx纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)得到y=Asinx图象.3.y=Asin(wx+),y=Acos(wx+)(A0,w0)的最小正周期为,y=Atan(wx+)(A0,w0)的最小正周期
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