《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵课件.ppt

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1、.,1,第5章 Hermite矩阵与正定矩阵,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.4 Hermite矩阵的特征值*,5.3 矩阵不等式,5.2 Hermite正定（非负定）矩阵,.,2,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.1.1 Hermite矩阵,5.1.2 矩阵的惯性,5.1.3 Hermite二次型,.,3,5.1.1 Hermite矩阵,Hermite矩阵具有如下简单性质：,(1)如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是 Hermite矩阵；,(2)如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵；,(3)如果 A,B

2、是Hermite矩阵，则对实数k,p,kA+pB 是 Hermite矩阵；,若A,B是Hermite矩阵，则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB=BA；,(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S，SH AS是Hermite矩阵。,.,4,定理5.1.1,定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。,定理5.1.3 设，则 A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U使得,.,5,定理5.1.4 设，则 A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得,.,6,5.1.2

3、矩阵的惯性,定理5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵,其中 r=rank(A)，s是 A的正特征值（重特征值按重数计算）的个数。,(5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。,.,7,定理5.1.6(Sylvester惯性定律）设 A,B是n 阶Hermite矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是,.,8,5.1.3 Hermite二次型,则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。,记,.,9,利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可表示为,设P是n阶可逆矩阵，作线性变

4、换x=Py，则,Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型,称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的标准形。,.,10,定理5.1.7 对Hermite二次型 f(x)=xHAx，存在酉线性变换x=Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite二次型f(x)变成标准形,定理5.1.8 对Hermite二次型 f(x)=xHAx，存在可逆线性变换x=Py 使得Hermite二次型f(x)化为,其中 r=rank(A)，s=(A).,.,11,Hermite二次型可分为五种情况,.,12,.,13,定义5.1.1 设f(x)=xHAx为Hermite二次型。,.,14,定理5

5、.1.9 对Hermite二次型f(x)=xHAx,有,.,15,5.2 Hermite正定（非负定）矩阵,定义5.2.1,正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：,.,16,定理5.2.1 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：,(1)A是正定矩阵；,(2)对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP 都是Hermite正定 矩阵；,(3)A的n 个特征值均为正数；,(4)存在n 阶可逆矩阵P使得PHAP=I；,(5)存在n 阶可逆矩阵Q使得A=QHQ；,(6)存在n 阶可逆Hermite矩阵S 使得A=S2.,.,17,推论5.2.1,.,18,定理5.2.2 设 A是n 阶Hermite矩阵

6、，则下列命题等价：,(1)A是非负定矩阵；,(2)对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP是Hermite非负定 矩阵；,(3)A的n 个特征值均为非负数；,.,19,推论5.2.2,.,20,定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数，即,定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是A的所有主子式全大于零。,定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件是A的所有主子式均非负。,定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得,.,21,定义5.2.2,则称为广义特征

7、值问题 的特征值，非零向量 x 称为对应于特征值的特征向量。,定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵，且B0，则存在非奇异矩阵 P 使得,.,22,5.3 矩阵不等式,定义5.3.1 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，若AB0，则称A大于或等于B（或称 B小于或等于 A），记作AB（或BA）；若AB0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB或（BA）。,设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，由定义5.3.1得,.,23,注意,(1)任意两个实数总可以比较大小。但任意两个n 阶 Hermite矩阵未必能“比较大小”，即并非AB或 BA两者之中必有一成立。,(2)对任意

8、两个实数a和b，如果a b，而ab，则 有a=b。但对两个n(n 2)阶Hermite矩阵A与B，从A B和AB，不能推出A=B。,矩阵的“”是Hermite矩阵集合中的一种偏序 关系。,.,24,定理5.3.1 设A,A1,B,B1,C均为n 阶Hermite矩阵，则,.,25,定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A0,B0，则,定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵,则其中 和 分别表示A的最大和最小特征值。,.,26,推论5.3.1 设A是Hermite非负定矩阵，则 A tr(A)I。,定理5.3.4 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，则,定理5.3.5 设A,B均为n 阶Hermite矩阵,且AB=BA,则,定理5.3.6,.,27,5.4 Hermite矩阵的特征值*,定义5.4.1,为Hermite矩阵A的Rayleigh商。,定理5.4.1,.,28,定理5.4.2,定理5.4.3,.,29,定理5.4.4,定理5.4.5,则,则,.,30,定理5.4.6,