空间点线面位置关系课件.ppt

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1、2.1 空间点、线、平面之间的位置关系,1,ppt课件,1.平面的基本知识,(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，即为不加定义的原始概念.,(2)平面的基本特征是无限延展性.,平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.,思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么?,不能.,2,ppt课件,画法,立体几何中通常用平行四边形来表示平面，有时也用圆或三角形等图形来表示平面.,画平面水平放置时，常把平行四边形的锐角通常画成45，且横边长

2、等于邻边长的2倍.,水平放置,垂直放置,为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用虚线画出来.,(3)平面的画法及表示,1.平面的基本知识,3,ppt课件,画出两个竖直放置的相交平面.,练习,4,ppt课件,表示方法：,A,B,C,D,把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面，平面.,用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.,用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD.,(3)平面的画法及表示,1.平面的基本知识,5,ppt课件,(1)点、线、面的表示,点(元素):大写字母A、B、C、D直

3、线(点的集合):小写英文字母 或者两个大写英文字母平面(点的集合):用希腊字母表示；用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.,(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系：集合与集合关系：,2.点、直线、平面的位置关系,6,ppt课件,点A在直线a上，记作,点B不在直线a上，记作,点A在平面上，记作,点B不在平面上，记作,(1)点与直线的位置关系：,(2)点与平面的位置关系：,2.点、直线、平面的位置关系,7,ppt课件,(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类,直线a与平面有且只有一个公共点，称直线a与平面相交.记为：,直线a与平面没有公共点，称直线a与平面平

4、行.记为：,直线a与平面有无数个公共点，称直线a在平面内，或称平面通过直线a.记为：,公理1,注1：情况和统称为直线a在平面外，记作,2.点、直线、平面的位置关系,8,ppt课件,(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类,当两个不同平面与平面有公共点时，它们的公共点组成直线a，称平面与平面相交.记作：,当平面与平面没有公共点时，称平面与平面平行.记作：,公理3,注2：当平面上的所有点都在平面上时，称平面与平面重合.,公理2,（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合),2.点、直线、平面的位置关系,9,ppt课件,小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,a,练习,平面与平

5、面重合,10,ppt课件,观察下列问题，你能得到什么结论？,直尺落在桌面上（直线AB在平面内）,3.平面的基本性质,11,ppt课件,图形语言：,(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内.,符号语言：,该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面.,3.平面的基本性质,12,ppt课件,观察下列问题，你能得到什么结论？,自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.,3.平面的基本性质,13,ppt课件,(3)公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,定义的说明：过不在一条直线上的四点，不一

6、定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件；“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代；确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.,3.平面的基本性质,14,ppt课件,推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.,推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.,公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,练习,3.平面的基本性质,15,ppt课件,思考：两个平面会不会只有

7、一个公共点呢？,不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.,3.平面的基本性质,16,ppt课件,P,(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.,图形语言：,符号语言：,该公理反映了平面与平面的位置关系：,i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.,3.平面的基本性质,17,ppt课

8、件,4.点线共面问题,18,ppt课件,例2 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面分别交于P、Q、R.求证：P、Q、R共线.,B,A,Q,R,C,P,证明：,同理Q、R也为公共点，,所以P、Q、R共线.,要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点.,5.证明三点共线、三线共点的问题,19,ppt课件,例3 空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.,分析：已知EHFG=K，要证EH，BD，FG共点.即要证明B，D，K三点共线.,而BD是面ABD和面CBD的交线.所以往证K面ABD面CBD.,而显然，由EH面ABD，KEH，可得K面ABD.同理，由FG面CBD，KFG，可得K面CBD.,5.证明三点共线、三线共点的问题,20,ppt课件,21,ppt课件,6.知识小结,1）公理1,2,3及其用途,3）多点共线问题,4）多线共点问题,2）点线共面问题,22,ppt课件,