直线、平面平行和垂直的判定及其性质课件.ppt
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1、本章内容,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.2 直线、平面平行的判定及其性质,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章 小结,1,PPT课件,第二章,点、直线、平面之间的位置关系,立体几何,2,PPT课件,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,2.3.1 直线与平面垂直的判定(第一课时),复习与提高,2.3.1 直线与平面垂直的判定(第二课时),2.3.2 平面与平面垂直的判定(第一课时),2.3.2 平面与平面垂直的判定(第二课时),3,PPT课件,第一课时,直线与平 面垂直的判定,2.3.1,返回目录,4,PPT课件,1.直线和平面垂直是怎样定义的?,2.用直线和平面垂直的
2、判定定理证明线面垂直需要哪些条件?,5,PPT课件,问题 1.在你的感觉中,直线和平面垂直是怎样一种情况?你能说出我们教室里直线与平面垂直的例子吗?你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 a 互相垂直,记作 la,直线 l 叫做平面 a 的垂线,平面 a 叫做直线 l 的垂面.,线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.,直线与平面垂直的定义:,1.直线与平面垂直的定义,6,PPT课件,画直线和水平平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.,画直线和竖
3、直平面垂直,要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.,7,PPT课件,问题2:已知平面 a 和空间任意一点 P,过点 P 能作 a 的几条垂线?为什么?,结论:过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.,如果有两条,PAa,PBa,只有一条.,垂足分别为 A,B.,则 PA,PB 确定的平面,与 a 相交于一直线 AB.,A,B,于是 PAAB,PBAB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.,8,PPT课件,问题 3.(1)请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内,另外一条直角边不在桌面内,请问这另一条直角边与桌面垂直吗?(2)用一张有
4、一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能吗?,用定义判断线面垂直不太方便,怎样有较方便的方法判断线面垂直呢,我们先看下面的问题.,当A、B、C 不共线时,折痕DC垂直桌面;,当A、B、C 共线时,折痕DC不一定垂直桌面.,2.直线与平面垂直的判定,9,PPT课件,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,符号表示:,la,lb,aa,ba,ab,la.,直线与平面垂直的判定定理:,由线线垂直得线面垂直.,10,PPT课件,问题 4.一旗杆高 8 m,在它的顶端系两条长10m 的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在
5、地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距 6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?,如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,ABC和ABD的三边,满足勾股定理,ABBC,ABBD,而 BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即 BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.,11,PPT课件,例 1.如图,已知 ab,aa.求证:ba.,m,证明:,在 a 内任作两相交直线 m、n,aa,ma,am,an,ba,bm,bn,又 m 与 n 相交,ba.,结论:两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,n,na,12,PPT课件,练习
6、(补充).已知 PQ 是平面 a 的垂线段,PA 是平面 a 的斜线段,直线 la.求证:(1)若 lPA,则 lQA;(2)若 lQA,则 lPA.,证明:,(1),PQa,la.,PQl.,若 lPA,l平面PQA.,QA平面PQA,lQA.,13,PPT课件,练习(补充).已知 PQ 是平面 a 的垂线段,PA 是平面 a 的斜线段,直线 la.求证:(1)若 lPA,则 lQA;(2)若 lQA,则 lPA.,证明:,(2),PQa,la.,PQl.,若 lQA,l平面PQA.,PA平面PQA,lPA.,14,PPT课件,练习(补充).已知 PQ 是平面 a 的垂线段,PA 是平面 a
7、 的斜线段,直线 la.求证:(1)若 lPA,则 lQA;(2)若 lQA,则 lPA.,Q 为垂线段 PQ 的垂足.,A 为斜线段 PA 的斜足.,QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.,有三条线:,平面的斜线,斜线在平面上的射影,平面内的一条直线 l.,结论:,如果 l 斜线,则 l射影;,如果 l射影,则 l斜线.,(三垂线定理),15,PPT课件,探究题.如图,直四棱柱 ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD 满足什么条件时,ACBD?,分析:,由题中定义知,侧棱 AA平面ABCD,从而 AABD.,又要使 ACBD,则需 BD平面AAC.,所
8、以需在平面AAC内另找一条直线,容易考虑的是AC是否满足?,要使ACBD,四边形ABCD需满足:,BA=BC,且DA=DC.,与BD垂直且与AA相交.,(改为如下的证明题,请同学们给出证明),16,PPT课件,如图,直四棱柱 ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,已知 AB=BC,AD=DC,求证:BDAC.,证明:,连结AC,AB=BC,BDAC,AA平面ABCD AABD,BD平面AACC,BDAC.,(定义),(判定),(定义),AD=DC,AAAC=A,AC 平面AACC,17,PPT课件,练习:(课本67页),第 1、2 题.,练习:(课本69页),18,PPT课件
9、,1.如图,在三棱锥 V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VBAC.,练习:(课本67页),证明:,D,取 AC 边的中点 D,连接 VD,BD.,VA=VC,VDAC,VB=BC,BDAC,AC平面VDB,而 VB平面VDB,ACVB.,19,PPT课件,2.过ABC所在平面 a 外一点 P,作 POa,垂足为 O,连接 PA,PB,PC.(1)若 PA=PB=PC,C=90,则 O 是 AB 边的.(2)若 PA=PB=PC,则 O 是ABC 的 心.(3)若 PAPB,PBPC,PCPA,则 O 是ABC的 心.,解:,(1),如图,POa,则POA=POB=POC=90,又 P
10、A=PB=PC,POAPOBPOC,得 OA=OB=OC,又C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.,中点,20,PPT课件,2.过ABC所在平面 a 外一点 P,作 POa,垂足为 O,连接 PA,PB,PC.(1)若 PA=PB=PC,C=90,则 O 是 AB 边的.(2)若 PA=PB=PC,则 O 是ABC 的 心.(3)若 PAPB,PBPC,PCPA,则 O 是ABC的 心.,O,a,解:,(2),由(1)得 OA=OB=OC,中点,到三角形三顶点的距离相等,外,的点是三角形的外心.,21,PPT课件,2.过ABC所在平面 a 外一点 P,作 POa,垂足为 O,
11、连接 PA,PB,PC.(1)若 PA=PB=PC,C=90,则 O 是 AB 边的.(2)若 PA=PB=PC,则 O 是ABC 的 心.(3)若 PAPB,PBPC,PCPA,则 O 是ABC的 心.,O,a,解:,(3),中点,外,由 PAPB,PAPC,得 PA平面PBC,PABC.,又由 POa 得 POBC,于是得 BC平面POA,BCAO.,同理可得 ABCO,O 为ABC的垂心.,垂,22,PPT课件,练习:(课本69页),如图,正方形 SG1G2G3中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF的中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使
12、 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为 G,则在四面体 S-EFG 中必有()(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面(D)GDSEF所在平面,A,23,PPT课件,【课时小结】,1.线面垂直的定义,若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线,则叫 la.,应用:,若 la,则 l 垂直平面 a 内的任意一直线.,24,PPT课件,【课时小结】,2.线面垂直的判定定理,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,25,PPT课件,【课时小结】,3.相关结论,过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.,两平行线中的一条垂直
13、于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.,26,PPT课件,习题 2.3,B 组,第 2、4 题,27,PPT课件,习题 2.3,B 组,答:能判定.,由 VA=VB,AD=BD 得,VDAB.,又由VO平面 ABC 得,VOAB.,于是得AB平面VOD,OCD,ABOD.,ABCD,而 AD=BD,从而得 AC=BC.,28,PPT课件,4.如图,AB 是 O 的直径,点 C 是 O 上的动点,过动点 C 的直线 VC 垂直于 O 所在平面,D,
14、E 分别是 VA,VC 的中点.试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系,并说明理由.,解:,DE平面VBC.,由直径所对的圆周角是直角得,ACBC.,又由 VC 垂直于 O 所在平面得,ACVC.,而 D,E 分别是 VA,VC 的中点得,DE/AC,DE平面VBC.,AC平面VBC.,29,PPT课件,第二课时,直线与平 面垂直的判定,2.3.1,返回目录,30,PPT课件,1.什么是斜线在平面上的射影?,2.直线和平面所成的角是由哪些元素构成?其范围是多少?,3.求直线和平面所成角的大小时,应掌握哪些要点?,31,PPT课件,问题5.如图,直线 l 与平面 a 斜交于一点 A,过点
15、A 在平面 a 内作直线 l1,l2,l3,这些直线与直线 l 的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?,P,过 l 上任一点 P 作平面 a 的,O,垂线 PO,垂足为 O,连结 AO,则PAO 就是那个最小的角.,【直线和平面所成的角】,32,PPT课件,问题5.如图,直线 l 与平面 a 斜交于一点 A,过点 A 在平面 a 内作直线 l1,l2,l3,这些直线与直线 l 的夹角中,你认为哪个角最小?怎样确定这个最小的角?,P,O,一条直线 PA 和一个平面 a 相交,但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,其交点 A 叫做斜足.过斜线,上斜足以外的一点向平面引垂线 PO,过垂足
16、 O 和斜足 A 的直线 AO 叫斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.,【直线和平面所成的角】,33,PPT课件,POa=O,PQa,Q 为垂足,则 OQ 是 PO 在平面 a,POQ 是斜线 PQ 与,平面 a 所成的角.,上的射影.,特例1:如果直线垂直平面,直线和平面所成的角为直角;特例2:如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角是0的角.,34,PPT课件,问题6.已知直线 l1、l2 和平面 a 所成的角相等,能否判断 l1l2?反之,如果 l1l2,l1,l2 与平面a 所成的角是否相等?,如图,ABa,CDa
17、,AOB=COD.,而 AO 与 CO 不平行.,如图,ABCD,AO1a,CO2a,则 AO1CO2,于是得BAO1=DCO2,则在直角三角形中得ABO1=CDO2.,35,PPT课件,结论:,和同一平面所成的角相等的两条斜线不一定平行.,两条平行线和同一个平面所成的角,一定相等.,36,PPT课件,例2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,分析:,需在平面A1B1CD上,找到直线A1B的射影.,即需找过A1B上的点垂直,平面A1B1CD的直线.,O,而 BB1,BC不可能垂直平面A1C,易看出对角线 BC1 有可能.,因为BC1B
18、1C,还容易看出BC1A1B1,于是可连结BC1,交B1C于O,即A1O就是要找的射影.,BA1O就是所要求的线面角,则可在RtBA1O中求.,37,PPT课件,例2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,解:,连结 BC1,交 B1C 于 O,则在正方形BCC1B1中,BC1B1C.,又A1B1平面BCC1B1,得 A1B1BC1.,O,则 BC1平面A1B1CD,O为垂足.,得 A1O为A1B在平面A1B1C1D上的射影.,BA1O就是直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在 RtBA1O 中,A1B=BC1=2BO,得BA1O=3
19、0.,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角是30.,38,PPT课件,例2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.,求线面角的要点:,(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.,(2)构造含线面角的三角形,O,通常构造直角三角形.,(3)在三角形中求角的大小.,39,PPT课件,练习(补充),如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2)求 AA1 与平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(1),A1C是平面B1BCC1的斜线,A1B1是平面B1BCC1的垂线,B
20、1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,则A1CB1为所求的线面角.,在RtA1B1C中,即 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值为,40,PPT课件,练习(补充),O,如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,(1)求对角线 A1C 与平面 B1BCC1 所成角的正切值;(2)求 A1A 与平面 A1BD 所成角的正切值.,解:,(2),取 BD 的中点 O,连结 AO,A1O,过点 A 作 AEA1O,垂足为 E.,AB=AD,A1B=A1D,E,BDAO,BDA1O,则 BD平面A1AO,得 BDAE.,由得AE平面A1BD.,A1E是A1A在平面A1BD上的射影,41,PP
21、T课件,O,E,则 AA1E 为所求的线面角.,在 RtA1AO 中,即 A1A 与平面 A1BD所成角的正切值为,42,PPT课件,【课时小结】,1.直线和平面所成的角,(1)平面的斜线与平面所成的角,斜线与射影的夹角(锐角).,(2)平面的垂线与平面所成的角为90.,(3)平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为0.,斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.,两条平行线和同一个平面所成的角相等.,43,PPT课件,【课时小结】,2.求线面角的要点,(1)找斜线在平面上的射影,确定线面角.,(2)构造含角的三角形,用三角函数求解.,44,PPT课件,练习(补充),2.已
22、知三棱锥的三条侧棱长都等于 2,底面是等边三角形,侧棱与底面所的角为60,求三棱锥的体积.,1.若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是.,45,PPT课件,1.若一直线与平面所成的角为 则此直线与该平面内任一直线所成的角的取值范围是.,解:,如图,直线AB是直线PC在平面 a 内的射影,直线 PC 与平面 a 内的直线,所成的角中,PCA最小,直角最大.,则PC与平面内任一直线所成的角的范围是,46,PPT课件,2.已知三棱锥的三条侧棱长都等于 2,底面是等边三角形,侧棱与底面所成的角为60,求三棱锥的体积.,O,解:,作PO底面ABC,垂足为O,如图,O 为
23、底面正三角形的中心,则PAO=PBO=PCO=60,PA=PB=PC=2.,得 RtPOARtPOBRtPOC,于是得 OA=OB=OC.,得 AO=1,底面ABC的高AE=,E,则 BC=2BE=,47,PPT课件,棱锥的体积为,48,PPT课件,3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为.,解:,平面BC1D1就是平面ABC1D1,如图,E,连结A1D,交AD1于E,则A1EAD1,A1EAB,A1E平面ABC1D1,连结BE,则A1BE就是A1B与平面BC1D1所成的角,设正方体的棱长为a,在RtA1ED中,A1BE=30.,30,49,PPT课件,2
24、.3.2,平面与平面垂直的判定,第一课时,返回目录,50,PPT课件,1.什么叫二面角?,2.二面角的大小是由什么确定的?求二面角的大小的关键是什么?,51,PPT课件,问题 1.当我们要求别人将一扇门(如教室门)开大点,或开小点时,用什么来度量,使开门的人能准确地按要求开门?,如图,两个平面相交,常要研究交成的角的大小,这就需要引入二面角.,【1】二面角,52,PPT课件,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,如图,记作 二面角 a-l-b,或 二面角 a-AB-b,二面角 P-l-Q,二面角 P-AB-Q.,53,PPT课件
25、,【2】二面角的平面角,要研究和度量二面角的大小,我们把它转化成从一点出发的两条射线的夹角.,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图,以棱 l 上任一点O为端点,在半平面 a 内作OAl,在半平面 b 内作OBl,则AOB就是二面角a-l-b 的平面角.,AOB的大小就是二面角 a-l-b 的大小.,二面角的大小就由它的平面角确定.,A,B,O,54,PPT课件,卫星轨道平面,68.5,我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5.,赤道平面,即卫星轨道平面与赤道,平面所成的二面角是68.5.,55,PPT课件,问题
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