数值分析方程求根课件.ppt
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1、数值分析,第二章 方程求根(2),2014年11月2日,clcclear allx=-3:0.05:3;f=inline(x.2-1);y=f(x);plot(x,x,LineWidth,3);hold onplot(x,y,k,LineWidth,3);grid onx0=-2.732;%1.618,1.619,0.618,0.619%=-2.732,0.732x1=x0;y0=-3;y1=y0;for i=1:80 y1=f(x1);plot(x0 x1,y0 y1,r);x0=x1;y0=y1;x1=y1;plot(x0 x1,y0 y1,r);x0=x1;y0=y1;end,迭代法的收
2、敛性,求方程,在,内的根,例:,。,解:,原方程可以等价变形为下列三个迭代格式,由迭代格式(1),取初值,得,由迭代格式(2),取初值,得,结果精确到四位有效数字,迭代到,得到收敛结果。,由迭代格式(3),取初值,得,结果精确到四位有效数字,迭代到,得到收敛结果。,迭代格式(1)的迭代函数为,求导得,当,时,故迭代格式(1)是发散的。,分析:,迭代格式(2)的迭代函数为,当,时,由,知当,时,,所以迭代格式(2)是收敛的。,迭代格式(3)的迭代函数为,当,时,由,时,,知当,所以迭代格式(3)也是收敛的。,结论:,通过以上算例可以看出对迭代函数,所得到的,若小于1,则收敛;且上界越小收敛速度越
3、快。,求导,,的上界若是大于1,则迭代格式发散;,构造不同迭代方法求 X2-3=0的根x*=sqrt(3),4.加速收敛技术,L越小迭代法的收敛速度越快,因此,可以从寻找较小的L来改进迭代格式以加快收敛速度。,思路,(1).松弛法,引入待定参数,,将,作等价变形为,将方程右端记为,,则得到新的迭代格式,由定理2知,为了使新的迭代格式比原来迭,代格式收敛得更快,只要满足,且,越小,所获取的L就越小,,迭代法收敛的就越快,因此我们希望,。,可取,,若记,则上式可改写为,称为松弛因子,这种方法称为松弛法。为使迭代速度加快,需要边计算边调整松弛因子。由于计算松弛因子需要用到微商,在实际应用中不便使用,
4、具有一定局限性。若迭代法是线性收敛的,当计算 不方便时,可以采用埃特金加速公式。,(2).埃特金加速公式,设迭代法是线性收敛,由定义知,成立,故当,时有,由此可得,的近似值,(2.3.1),由此获得比,和,更好的近似值,,利用(2.3.1),序列,的方法称为,(3).Steffensen 加速法:,将Aitken加速公式与不动点迭代相结合,可得,(2.3.4),式构造,埃特金(Aitken)加速方法。,利用(2.3.4)式构造序列,的方法称为Steffensen加速方法。,即每进行两次不动点迭代,就执行一次Aitken加速。,k xk yk zk 0 1.5000 2.3750 12.3965
5、 1.0000 1.4163 1.8409 5.2389 2.0000 1.3557 1.4914 2.3173 3.0000 1.3289 1.3471 1.4444 4.0000 1.3248 1.3252 1.3271 5.0000 1.3247 1.3247 1.3247,clcclear alldtol=1e-5;%容差x1=1.5;nMax=10;f=inline(x.3-1);disp(k xk yk zk);for i=1:nMax x0=x1;y1=f(x1);z1=f(y1);disp(i-1 x1 y1 z1);x1=x0-(y1-x0)2/(z1-2*y1+x0);%d
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