工程力学第九章：梁的弯曲课件.pptx

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1、第九章：梁的弯曲,问题引入工程实际中常见产生平面弯曲变形的构件有单梁吊车的横梁，车间用天车的横梁，火车轮轴，镗刀的刀杆，轧板机的轧辊等，这些构件可统称为梁，梁的强度问题和刚度问题是工程中必须解决的。下列这些工程实例都是工程中常见的梁，它们的强度条件和刚度条件该如何建立呢？,起重机大梁在工作的时候要考虑梁的强度和刚度，重点是考虑强度条件。,车削工件也是平面弯曲的常见实例。,火车轮轴：火车轮轴也是工程中常见平面弯曲的实例，其对应的强度条件和刚度条件是什么？,桥式吊梁：此梁在车辆通过的时候如果弯曲变形过大，会引起车辆通行困难，因此即使桥梁的强度是能够满足的，也要考虑刚度条件，以满足通车需求。,解决任

2、务的方法：,外力分析,正应力的强度计算,正应力计算,内力分析,1.正应力的强度校核2.设计截面尺寸3.设计外载荷,截面法,变形分析,刚度计算,取整体为研究对象，求解支座约束力。,切应力计算,切应力的强度计算,细长梁可以不必考虑切应力的强度条件。,细长梁可以不必考虑刚度条件。,第一节 平面弯曲的概念及梁的简化第二节 弯曲梁的剪力和弯矩第三节 梁的剪力图和弯矩图第四节 弯曲梁横截面上的正应力第五节 梁横截面上的剪应力第六节 弯曲梁的强度计算第七节 提高梁弯曲强度的主要措施,第一节 平面弯曲的概念及梁的简化,一、平面弯曲的概念,1.弯曲：杆受垂直于轴线的外力或垂直于横截面的外力偶矩的作用时，轴线由直

3、线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2.梁：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。,3.平面弯曲,常见弯曲构件截面,纵向对称平面,平面弯曲的特点：,有纵向对称面，纵向对称面由梁的轴线和纵向对称轴组成。,受力特点：外力、外力偶都作用在此面内。,变形特点：弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线。,纵向对称平面,二、梁的简化,1.构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。,2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座约束力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。,固定铰支座如：桥梁下的固定支座。,3.支座简化,可动（滚动）铰支座 如：桥梁下的辊轴支座。,火车轮轴的简化,吊车大梁简化：,固定端如：游泳池的跳水板支

4、座，木桩下端的支座等。,梁不考虑截面尺寸和大小，取梁的轴线代替梁本身。,支座简化为固定端支座，有约束力和约束力偶。,4.梁的三种基本形式,简支梁：梁的两端分别简化为固定铰和滚动铰,外伸梁：梁的一端或两端伸出支座之外,悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端,例1：已知：如图P，a，l。求：距A端x处截面上内力。,解：求外力,在类似梁的受力分析图中，固定圆柱铰链支座的水平分量可不画,第二节 弯曲梁的剪力与弯矩,求内力截面法,弯曲构件内力：剪力、弯矩,1.弯矩：M构件受弯时，在外力所在作用面内的内力偶矩。,2.剪力：FQ构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,取截面右段梁分析，剪力和弯矩大

5、小不变，反向。,3.内力的正负规定:,剪力FQ:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹向上形状的为正弯矩；使梁变成凹向下形状的为负弯矩。,计算时必须假设截面上的剪力和弯矩为正，计算得到的负值说明计算结果的真实方向和假设方向相反。,取截面左段为研究对象，截面上的剪力和弯矩设定为正。,取截面右段为研究对象，截面上的剪力和弯矩设定为正。,dx,dx,解：求支座约束力,例2：求简支梁E截面的内力。,对截面左端进行受力分析，并建平衡方程,截面上的内力假设为正,注意：请观察计算结果的规律，总结出计算内力的直接方法。,从上例可观察出：弯曲时梁横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧外力的代数

6、和，横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧外力对该截面形心的力矩的代数和。可由外力直接计算横截面上的内力。对于剪力，截面左侧的向上外力或右侧的向下外力产生正剪力，反正为负。对于弯矩，向上的外力（不论在截面的左侧还是右侧）产生正弯矩，反之为负；截面左侧的顺时针力偶和截面右侧的逆时针力偶产生正弯矩，反之即为负。,解 求支座约束力。建立平衡方程求支座约束力,例3：求图所示梁指定截面的内力。,求指定截面上的剪力与弯矩。,集中力所在截面剪力发生突变，突变值等于集中力的值，集中力偶所在截面弯矩发生突变，突变值等于集中力偶的值。,内力方程：内力与截面位置坐标 x 间的函数关系式。,剪力图和弯矩图：,第三节 梁

7、的剪力图和弯矩图,一、利用梁的内力方程绘制梁的剪力图和弯矩图,利用内力方程绘制内力图的步骤：,求解梁的支座约束力，悬臂梁可以不求。建立直角坐标系，坐标原点通常与梁的一端齐平。对梁分段：凡是集中力、集中力偶、分布载荷的起始终止截面都是分段的依据。建立各段的内力方程，确定各段控制截面及内力值。分段画图。,例4：悬臂梁受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,F,F,例5：简支梁受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：确定约束力,写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,例6：图示简支梁

8、C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：确定约束力,写出剪力和弯矩方程,AC,CB,依方程画出剪力图和弯矩图,例7：图示简支梁C点受集中力偶作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：确定约束力,写出剪力和弯矩方程,AC,CB,依方程画出剪力图和弯矩图,对dx段进行平衡分析：,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,二、利用微分法绘制梁的剪力图和弯矩图,1.剪力、弯矩与载荷集度之间的关系,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是,FQ(x)=常数，FQ图为一条水平直线,M图为一条斜直线,1）当q=0时,2.规律总

9、结,2）q=常数,剪力图为斜直线,弯矩图为抛物线,3）当有集中力,4）当有集中力偶,剪力发生突变，突变值等于集中力的大小，该截面弯矩值不变。,弯矩发生突变，突变值等于集中力偶的大小，该截面剪力不变。,5）极值的判断,当梁上作用均布载荷时，梁的弯矩图为抛物线，抛物线存在极值点。剪力为零的截面就是弯矩的极值截面。,3.利用三者微分关系画内力图的步骤,求解梁的支座约束力，悬臂梁可以不求。对梁分段：凡是集中力、集中力偶、分布载荷的起始终止截面都是分段的依据。判断各段内力图形状，求出控制截面的内力值；分段画图，并校核内力图。,例8：利用FQ、M与q之间的关系，画外伸梁的剪力图与弯矩图。,解：（1）求梁支

10、座约束力,（2）确定分界点处各横截面上的剪力,F=10kN,Me=4kN.m,q=4kN/m,2m,8m,FA=28kN,FB=14kN,1,2,3,4,A,B,（2）确定分界点处各横截面上的弯矩。,F=10kN,Me=4kN.m,q=4kN/m,2m,8m,FA=28kN,FB=14kN,1,2,3,4,5,x,20kN.m,16kN.m,24.5kN.m,A,B,例9：利用FQ、M与q之间的关系，画简支梁的剪力图与弯矩图。,F=20kN,Me=20kN.m,q=10kN/m,2m,1m,FA=16kN,FB=24kN,A,B,1m,1m,C,D,E,解：（1）求梁支座约束力,（2）分段，画

11、出控制截面,1,2,3,4,5,6,7,4,24,（3）求控制截面的剪力值,例9：利用FQ、M与q之间的关系，画简支梁的剪力图与弯矩图。,F=20kN,Me=20kN.m,q=10kN/m,2m,1m,FA=16kN,FB=24kN,A,B,1m,1m,C,D,E,1,2,3,4,5,6,7,4,24,（4）求控制截面的弯矩值,8,x,第四节 梁横截面上的正应力,弯曲构件横截面上的（内力）应力,纯弯曲:某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲,如CD段。,横力弯曲：某段梁的内力既有弯矩又有剪力时的变形称横力弯曲，如AC、BD段。,1.纯弯曲变形实验及实验结果分析,一、纯弯曲时梁横

12、截面上的正应力,取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在梁侧面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线。,然后在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲，观察现象：,纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短，靠近凸面的伸长。,横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动了一个角度。,纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。,两个概念:,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,所有与轴线平行的纵向纤维都只处于轴向拉压的简单受力状态，梁横截面上只有正应力。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发

13、生转动，距中性轴等高处，变形相等；,实验推论：,梁的各纵向纤维之间无挤压，梁横截面上没有切应力；,2.几何变形方程,（对确定截面，是常量）,3.物理关系：,当正应力不超过材料的比例极限，即处在线弹性范围，满足胡克定律，有,因此横截面上某点的正应力与此点到中性轴的距离成正比。,可推知弯曲正应力分布规律:,到中性轴距离相等的点，正应力相等。,正应力大小与其到中性轴距离成正比。,弯矩为正时，正应力下拉上压。,弯矩为负时，正应力上拉下压。,中性轴上，各点正应力等于零。,-M,4.静力学关系：,梁发生纯弯曲，横截面上无轴力，只有x y平面内的弯矩，因此：,以上两个方程可得到两个结论：,中性轴z轴通过横截

14、面形心。,该点到中性轴距离,该截面惯性矩,该截面弯矩,横截面上某点正应力,二、横力弯曲时梁横截面上的正应力,对细长梁进行强度计算时采用纯弯曲变形推出的公式来进行横力弯曲时横截面正应力的计算，实践证明误差在允许范围之内。,1.组合图形的形心公式：,三、截面的惯性矩计算,例10：求图示组合图形的形心，尺寸如图。,解：建立参考坐标系yOz，其中y为对称轴,2.简单截面惯性矩计算,1）矩形截面,当截面横放时，截面图形对中性轴的惯性矩就是,2）圆形与圆环截面,实心圆,空心圆,3.组合截面惯性矩,组合截面图形对某一坐标轴的惯性矩等于它的各组成部分对同一轴的惯性矩之代数和。被挖去的部分取负值。,4.平行移轴

15、公式,同一截面图形对平行的两对不同坐标轴的惯性矩不相同，当其中一轴为截面的形心轴时，它们关系由平行移轴公式给出。,a和b是坐标轴与形心轴之间的垂直距离,求解组合图形对其中性轴的惯性矩的步骤：确定形心轴（中性轴）的位置利用组合图形形心公式，确定形心轴（中性轴）的位置。求解各组成部分对中性轴的惯性矩先求各组成部分对该部分形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，求得各组成部分对组合图形形心轴的惯性矩。求解组合图形对中性轴的惯性矩求解出组合图形对中性轴的惯性矩大小，被挖去的部分取负号。,例11 求T字形截面中性轴z的位置，并求该截面对中性轴的惯性矩。,取与截面底边相重合的z 轴为参考坐标轴,确定形心（中性

16、轴）的位置,z,y,C,6cm,2cm,6cm,2cm,形心C 的坐标为：,即中性轴z与轴z的距离为3cm。,求组合部分对中性轴z的惯性矩,设两矩形的形心C1和C2，其形心轴为z1和z2，它们距z轴的距离分别为：,z,y,C,6cm,2cm,6cm,2cm,两矩形对中性轴z的惯性矩分别为：,求整个截面对中性轴的惯性矩,z,y,C,6cm,2cm,6cm,2cm,例12：受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）将截面竖放，求危险截面上a、e两点的正应力。（2）将截面横放，求危险截面上的最大正应力。,120,z,y,e,a,180,50,z,y,竖放：,横放：,解：,画梁的弯矩图,（1）求支座

17、约束力,120,z,y,e,a,180,50,竖放：,（2）竖放时,（3）横放时,z,y,横放：,第五节 梁横截面上的剪应力简介,矩形截面,横截面上的剪应力与剪力FQ方向相同；剪应力沿高度呈抛物线分布；最大剪应力 位于中性轴上。,其他常见截面,第六节 梁的弯曲强度计算,一、横力弯曲时梁横截面上的最大正应力,（Wz 抗弯截面模量）,矩形：,圆形：,圆环形：,二、梁的正应力强度条件,2,设计截面尺寸：,设计载荷：,三种强度计算：,3,塑性材料梁：,脆性材料梁：,弯矩最大的截面上；,离中性轴最远处；,变截面梁要综合考虑 与；,脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑。,脆性材料应采用不对称截面梁,

18、采用不对称截面梁易使最大拉应力和最大压应力的强度条件都得到满足。,例13简支矩形截面木梁AB受力情况如图所示，已知跨度l5m，承受均布荷载的荷载集度q=3.6kN/m，木材的顺纹许用正应力为=10MPa。设横截面高宽比h/b=2，试设计此梁的截面尺寸。,解（1）画出梁弯矩图。,（2）求梁的截面尺寸。,即b0.119m=119mm，h=2b=0.238m=238mm,取：h=240mm,b=120mm,例14 如图所示桥式起重机的大梁由32b工字钢制成，已知梁的跨度L10m，许用正应力 140MPa，电动葫芦自重G15kN，不计梁自重。试求该梁能承担的起吊重力F。,解：画出大梁的受力图。先求出最

19、大弯矩的表达式,FA,FB,x,当x=0.5L时，弯矩有最大值,由梁的弯曲强度条件式有,查得32b工字钢,解：求截面形心,C,52,88,z,求截面对中性轴z的惯性矩,42,28,作弯矩图,2.5kN.m,4kN.m,B截面校核,C截面校核,C截面的最大压应力不用校核，为什么？,提示：从这几个例子可以看出。当梁截面为上下对称截面，一般采用塑性材料如钢制成，危险截面只有一个，就是弯矩绝对值最大截面，危险点就是危险截面上距离中性轴最远的地方。当梁截面为上下不对称截面，一般采用脆性材料如铸铁制成，危险截面可能有一个，那这个截面必定是弯矩绝对值最大截面。也有可能危险截面有两个，那么这两个截面一定是最大

20、正弯矩所在截面和最大负弯矩所在截面。在一般情况下，对上下不对称截面梁，都要对最大正弯矩和最大负弯矩截面均进行讨论。上例就是这种情形。,注意：这里讨论的仅仅是等截面梁，如果是变截面梁还要综合考虑截面尺寸因素。,可知，强度分析的步骤为：,外力分析：列平衡方程，求支座约束力，校核计算结果。内力分析：画内力图，确定危险截面，校核内力计算结果。判断危险截面及危险点：对塑性材料，危险截面就是最大弯矩截面，危险点在其边缘处。对脆性材料，可能的危险截面在最大正弯矩和最大负弯矩所在截面，可能的危险点在相应危险截面的边缘处。对变截面梁，还需要进一步分析。进行强度计算：主要考虑弯曲正应力的强度分析。包括强度校核、截

21、面设计和确定许可载荷三种类型。,第七节 提高梁弯曲强度的措施,一般情况下，弯曲正应力是控制梁强度的主要因素，因此，讨论提高梁的强度措施，必须以弯曲正应力的强度条件作为主要依据。,要提高梁的强度和节省材料可从三个方面考虑：降低梁的最大弯矩；选择梁的合理截面；采用变截面梁。,一、降低梁的最大弯矩,1.使集中力远离简支梁的中点,当集中力作用在梁的中点，最大弯矩值为,当集中力偏离梁的中点，取,则最大弯矩值为,2.合理布置载荷,在情况允许的情况下,尽可能把较大的集中力分散成较小的力,或者改变成分布载荷,3.合理布置支座:,使支撑点略向中间移动，可以降低最大弯矩。,二、选择梁的合理截面,1.选择合理的截面

22、形状,2.根据材料特性选择截面形状,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，如T字形截面。,对于低碳钢类抗拉、压能力相同的材料，最好使用对中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。,3.合理放置截面,对于已经确定的截面，竖放比横放更合理。,1,采用变截面梁，如下图,三、设计变截面梁,1、根据梁的弯曲正应力分析，确定塑性材料和脆性材料各选用什么截面形状更合适？2、挑东西的扁担常在中间折断，而游泳池的跳水板易在固定端折断，为什么？,思考题：,塑性材料可选择矩形截面、工字形截面、圆形截面等。脆性材料可选择T字形截面、槽形截面等。,扁担中间截面是最大弯矩截面，跳水板则固

23、定端所在截面是最大弯矩截面，均为危险截面，强度不够时先破坏。,3、梁的截面为T字形，z轴通过截面形心，弯矩图如图，则：（1）横截面上最大拉应力和压应力位于同一截面，截面c或d（2）最大拉应力位于截面c，最大压应力位于截面d（3）最大拉应力位于截面d，最大压应力位于截面c,C截面：最大正弯矩截面，截面上弯曲正应力分布上压下拉，因此梁的最大拉应力在此截面。D截面：最大负弯矩截面，截面上弯曲正应力分布上拉下压，因此梁的最大压应力在此截面。因此（2）为正确答案。,4、丁字尺的截面为矩形，b比h小得多。由经验，当垂直长边h加力，丁字尺很容易变形或折断，若沿长边加力则不然，为什么？,5、对于下图所示梁截面，其截面形心为C，弯矩在纵向对称面内，截面上弯矩为正。画出截面上沿高度1-1和2-2的弯曲正应力分布图。,1-1,2-2,1-1,2-2,细长梁不讨论,小结：,基本变形总结,基本变形总结：轴向拉压：考虑强度条件，刚度条件不计算。剪切挤压：只考虑强度条件。扭转：强度条件和刚度条件都须考虑，通常刚度条件更重要。平面弯曲：细长梁弯曲正应力比弯曲切应力影响大得多，因此一般只考虑弯曲正应力的强度条件。细长梁强度条件对梁的影响比刚度条件更大，因此刚度条件可以不考虑。,第九章结束！,