实变函数PPT课件可测集.ppt

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1、2023年1月19日7时48分,2 可 测 集,1 集合的勒贝格(Lebesgue)可测的定义,2 集合可测的充要条件,3 可测集的性质(并、交、差、补、单调性质）,2023年1月19日7时48分,2023年1月19日7时48分,定义1,设,若对任何点集 T 都有,则称 E 为勒贝格(Lebesgue)可测集，简称为 L 可测集,这时 E 的 L 外测度,称为 E 的 L 测度，记为,称为Caratheodory条件,1 集合的勒贝格(Lebesgue)可测的定义,2023年1月19日7时48分,定理1,集合 E 可测的充要条件是,对任何,总有,证 必要性：设集合 E 可测，对任何 A E,B

2、 EC,取 T=A B,则 T E=A,T EC=B,所以,Caratheodory条件有一个等价的叙述方式，即,2 集合可测的充要条件,2023年1月19日7时48分,充分性：对任意集合 T,取 A=T E,B=T EC，则 A E,B EC,A B=T,于是,所以集合 E 可测,2023年1月19日7时48分,定理 2,集合 S 可测的充要条件是,可测,证,因为对任意的集 T，有,所以集合 S 可测的充要条件是,可测,2023年1月19日7时48分,定理 3,设集合 S1,S2 都可测，则 S1 S2 也可测,并且当 S1 S2=时，对任意集合 T 总有,特别当 S1 S2=时，有,即,3

3、 可测集的性质(并集性质）,2023年1月19日7时48分,证 首先证明 S1 S2 的可测性，即要证：对任何 T 有,因 S1 可测，则对任何 T 有,2023年1月19日7时48分,又因 S2 可测，则对集合 T S1C，有,代入上一个表达式，得,由德摩根公式，,2023年1月19日7时48分,因 S1 可测，故由定理 1，有,所以,从而 S1 S2 可测其次证明：当 S1 S2=时，对任意集合 T 总有,2023年1月19日7时48分,因 S1 可测，由定理 1，有,证毕,2023年1月19日7时48分,推论 1,设 Si(i=1,2,.,n)都可测，,则,也可测，并且当 Si Sj=(

4、i j)时,对任何集合 T 有,特别当 Si Sj=(i j)时,有,即,2023年1月19日7时48分,定理 4,设集合 S1,S2 都可测，,则,也可测,证 因为 S1 S2=(S1 S2)C)C=(S1C S2C)C所以由定理 2 与定理 3 知，S1 S2 可测,推论 2,设 Si(i=1,2,.,n)都可测，,则,也可测,3 可测集的性质(交集性质）,2023年1月19日7时48分,定理 5,设集合 S1,S2 都可测，,则,也可测,证 因为 S1 S2=S1 S2 C，所以由定理 2 与定理 4 知，S1 S2 可测,注：设集合 A,B 都可测，且A B，m A+，则 m(B A)

5、=m B m A,3 可测集的性质(差集性质）,2023年1月19日7时48分,定理 6,设 Si 是一列互不相交的可测集，,则,也是可测集，且,证,的可测性,首先证明,由推论1知，对任何正整数 n,是可测集，,从而对任意点集 T,总有,3 可测集的性质(并集性质）,2023年1月19日7时48分,令 n+,得,可测,因此,2023年1月19日7时48分,推论3,设 Si 是一列可测集，,则,也是可测集,定理7,设 Si 是一列可测集，,则,也是可测集,2023年1月19日7时48分,定理8,设 Si 是一列递增的可测集：,则,即,3 可测集的性质(单调集列性质）,2023年1月19日7时48

6、分,证,因为,所以,2023年1月19日7时48分,定理9,设 Si 是一列递减的可测集：,且,则,即,3 可测集的性质(单调集列性质）,2023年1月19日7时48分,证,因 Sn 是一列递减的可测集，从而 S1Sn,递增，故由定理 8 有,即,又因为,所以,由于,从而,2023年1月19日7时48分,定理9 中条件,不能缺少，,否则定理可能不成立,2023年1月19日7时48分,小结,1 可测集的定义（Caratheodory条件）；测度的定义2 可测集的余集可测，可数个可测集的并集可测，可数个可测集的交集可测，可测集合列的上极限集下极限集、极限集都是可测的 即可测集对取余、交、可数并、可数差、极限运算封闭3 测度除具有外测度的基本性质外还满足可数可加性,2023年1月19日7时48分,作业:,P.75 5,6,