均值不等式应用及例题解析课件.ppt
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1、基本不等式,均值不等式及应用,一、均值不等式,均值定理:,当且仅当a=b时,式中等号成立。,两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值,或,称为它们的几何平均数,称为正数a、b的算术平均数,证明:,上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想,问题:,均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何平均数的关系,这个不等式能否推广呢?例如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立呢?(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式),类比思想应用,定理3 三元均值不等式:,a、b、cN*当且仅当a=b=c时,式中等号成立。,语言表述:三个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值,同理三元均值不等式也可由 换元
2、得到,只要证明以下不等式成立:,证明:,(证明需要用到的公式),求差法证明:求差法是不等式证明常用的方法,二、均值不等式的推广,1、四个均值不等式链,平方平均数 算数平均数 几何平均数 调和平均数,3、常见变式,三、均值不等式的应用 用不等式证明不等式,当两项之积为一个常数直接用均值不等式,用a、b代换两数(有积定直接用均值不等式),当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式a、b代换每项内两数,再用不等式两边相乘的基本定理来解(积积定值直接用),直接用三元均值不等式来解,练习4:已知:a,b,c均为正数,求证:,二项之积为一个常数直接用均值不等式a、b代换即可.,技巧(构造法
3、),当不等式左边含有元数时,我们采用构造不等式来证明,再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的几个常用构造不等式:,带常数不等式两边乘上a或b都可以构造带元数的不等式,证明:因为,所以:两边相加,利用带元数的构造不等式,构造出不等式左边各项所带元数,再利用不等式两边相乘或相加求解。,不等式分母和右边交换,构造不等式相加,二边Xa,二边Xb,二边Xc,分子分母Xa,分子分母Xb,分子分母Xc,用求差法证明例4:,求差法常用来证明不等式,一般需配项化为平方差的连加形式,因为abc都大于0,这种式子最终都大于0的。,四、均值不等式的应用 求最值,两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个
4、正数的和为常数时,它们的积有最大值。,均值不等式,即:积定和最小,和定积最大,可用于最值求解。,在求最值时必须强调的三个条件:一正,二定,三相等,缺一不可,注意:”一正二定三相等”是指利用均值不等式 证明或求最值必 须强调的三个特殊要求:,(1)一正:各项都为正数(a、b0,由ab做成的两项也需0),(2)二定:两项积为定值,和有最小值 两项和为定值,积有最大值,(3)三相等:求最值时一定要考虑不等式是 否能取“”,取的值是否在已知的区间内,否则会出现错误,注:用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合,ab9,a+b6,解:,例6、(1)一个矩形的面积为100m2,问这个矩形的长、宽各为多少
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