圆周率课件.ppt

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1、.,1,圆周率,.,2,定义：,圆周率，一般以来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学上，可以严格地定义为满足sin(x)=0的最小正实数x。,.,3,历史发展：,实验时期 一块产于公元前1900年的古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。同一时期的古埃及文物也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.16。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。,.,4,英国作家 John Taylor(17811864)在其名著金字塔中指出，造于公元前2500年

2、左右的金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著百道梵书（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数339/108,约等于3.139。3,.,5,几何法时期古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287212 年)开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似值的先河。他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7，并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。中国古算

3、书周髀算经（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取=3。4汉朝时，张衡得出的平方除以16等于5/8，即等于10的开方（约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。,.,6,公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。后来发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3927/1250=3.1416。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小

4、数点后7位的值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。在之后的800年里祖冲之计算出的值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。,.,7,约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为9.8684。婆罗门笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将值算到20位小数值，后投入毕生

5、精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。,.,8,分析法时期,这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值表达式纷纷出现，使得值计算精度迅速增加。鲁道夫范科伊伦（约1600年）计算出的小数点后首35位。斯洛文尼亚数学家JurijVega于1789年得出的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了JohnMachin于1706年提出的数式。但是上述的方法都不能快速算出。第一个快速算法由英国数学家梅钦提出，1706年梅钦计算值突破100位小数大关，他利用了如下公式：6

6、其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。1873 年另一位英国数学家尚可斯将值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。,.,9,计算机时代,1949年，美国制造的世上首部电脑ENIAC（Electronic Numerical Interatorand Computer）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数

7、。五年后，NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M.Bouyer发现了的第一百万个小数位。在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算的值。,.,10,1989年

8、美国哥伦比亚大学研究人员用克雷2型和IBMVF型巨型电子计算机计算出值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下最新的纪录。2010年1月7日法国一工程师将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己组装的计算机，从去年10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。,.,11,在各领域的用途：,几何 圆

9、柱 底面积：r*r 底面周长：2r、d 侧面积：dh、2rh 表面积：2r*r+dh、2rh 体积：sh、r*rh（底面积高）圆锥 底面积：r*r 底面周长：2r、d 体积：1/3sh、r*rh 扇形 面积公式：n/360*r（其中n表示该扇形对应的角度）弧长公式：n/180*r（其中n表示该扇形对应的角度）圆 面积：r*r 周长：2r、d 圆环 面积：（R*R-r*r）周长：2r、d,.,12,代数,是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由JohannHeinrich Lambert于1761年证明的。1882年，Ferdinand Lindemann更证明了是超越数，即不可能是任何有理数

10、多项式的根。圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。,.,13,数学分析特斯林近似公式：欧拉恒等式：的连分数表示：,.,14,数论,两个任意自然数是互质的概率是 6/(*)。任取一个任意整数，该整数没有重复质因子的概率为 6/(*)。一个任意整数平均可用/4 个方法写成两个完全数之和。,.,15,概率论,设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题这个概率值是 1/。,.,16,统计学,正态分布的概率密度函数

11、：,.,17,物理学,海森堡不确定性原理：相对论的场方程：,.,18,趣闻事件：,历史上最马拉松式的手工值计算，其一是德国的LudolphVan Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。7圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。他们于2009年算出值2576980370000 位小数，这一结果打破了由日本人金田康正的队伍

12、于2002年创造的1241100000000位小数的世界纪录。,.,19,日本人AkiraHaraguchi曾在2005年将背到了小数点后第 83431 位，创造了个人背诵圆周率的世界纪录。在Google公司2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近的值：3.1，3.14，当前的最新版本号是3.1415923月14日为圆周率日，“终极圆周率日”则是1592年3

13、月14日6时54分，(因为其英式记法为“3/14/15926.54”，恰好是圆周率的十位近似值。)和3141年5月9日2时6分5秒（从前往后,3.14159265）4.7月22日为圆周率近似日（英国式日期记作22/7，看成圆周率的近似分数）有数学家认为真正的圆周率应为2，并将“真正的圆周率”记为（发音：tau）。数学界对圆周率到底是还是长期存在争论。8,.,20,祖冲之和圆周率,祖冲之是中国古代伟大的数学家和天文学家。祖冲之于公元429年出生在建康（今江苏南京），他家历代都对天文历法有研究，他从小就接触数学和天文知识，公元464年，祖冲之35岁时，他开始计算圆周率。在中国古代，人们从实践中认识

14、到，圆的周长是“圆径一而周三有余”，也就是圆的周长是圆直径的三倍多，但是多多少，意见不一。,.,21,祖冲之不但精通天文、历法，他在数学方面的贡献，特别对“圆周率”研究 的杰出成就，更是超越前代，在世界数学史上放射着异彩。圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是“3”，后来，随着天文、数学等科学的发展，研究圆周率的人越来越多了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周率值，他曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也算出圆周率为=3.1622。这些数值比起=3当然有了很大的进步，但是还远远不

15、够精密。到了三国末年，数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法，圆周率的研究才获得了重大的进展。,.,22,从理论上来讲，如果内接正多边形的边数增加到无限多时，那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起，从此计算出来的内接无限正多边形的面积，也就和圆面积相等了。不过事实上，我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多,只能有限度地增加内接正多边形的边数，使它的周界和圆周接近重合。刘徽从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形为止，求得了圆周率是3.141024。把这个数化为分数，就是157/50。刘徽所求得的圆周率，后来被称为“徽率”。他这种计算方法，实际上已具备了近代

16、数学中的极限概念。,.,23,圆周率符号,一个是355/113（约等于3.1415927），这一个数比较精密，祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。祖冲之求得“密率”，并且明确地用上、下两限来说明圆周率这个数值的范围。在一千五百年前，他有这样的成就和认识，真值得我们钦佩。,.,24,趣味记忆圆周率,趣味记忆圆周率100位先设想一个酒徒在山寺狂饮，醉死山沟的情景：山巅一寺一壶酒（3.14159），儿乐（26），我三壶不够吃（535897），酒撒了（932）！闪不死（384），遛了遛（626），死山扇把扇（43383），儿弃沟（279

17、）。前30位接着设想“死”者父亲得知儿“死”后的心情：吾疼儿（502），白白死已够凄矣（8841971），留给山沟沟（69399）。15位再设想“死”者父亲到山沟寻找儿子的情景：山拐我腰痛（37510），我怕你冻久（58209），凄事久思思（74944）。15位然后是父亲在山沟里把儿子找到，并把他救活。儿子迷途知返的情景：吾救儿（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四邻乐（406），儿不乐（286），儿疼爸久久（20899）。爸乐儿不懂（86280）。三思吧（348）！儿悟（25）。三思而依依（34211），妻等乐其久（70679）最后40位=3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679,.,25,Thank you!,