第六章薄板的失稳解析ppt课件.ppt
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1、第六章 薄板的失稳,大型梁、柱等结构构件,通常都由板件组合而成,为了节省材料,板件通常宽而薄,薄板在面内压力作用下就可能失稳,并由此导致整个构件的承载力下降因此,对板件失稳和失稳后性态的研究也是结构稳定的重要问题。,6.1 板的稳定微分方程,板按照其厚度可分为厚板、薄板和薄膜三种。将板的厚度 t 与板幅面的最小宽度b相比:如果 t/b1/51/8时,板被称为厚板;当1801100 t/b1/51/8,这个范围内的板称为薄板;而当t/b1/801/100时,板被称为薄膜。薄膜没有抗弯刚度,完全靠薄膜张力来支承横向荷载作用。薄板不仅具有抗弯刚度,还可能存在薄膜张力。薄板在横向荷载作用下,如果产生的
2、挠度 w t/5,则属于薄板的小挠度弯曲问题。,薄板中的物理方程和内力表达式与弹性力学中平面应力问题的物理方程和内力表达式相同。薄板中于薄板上下表面等距离的面称为中面。当薄板在中面内承受平行于中面的荷载而失稳时,也可以根据静力平衡准则来确定板的临界荷载。,下面根据小挠度理论给出薄板的弹性稳定微分方程。,根据小挠度理论给出薄板的弹性稳定微分方程,式中:,为单位宽度板的抗弯刚度。上式是一个以挠度 w为未知量的常系数线性四阶偏微分方程。板的边界条件表达式:,1)简支边:w0,,2)固定边:w0,,3)自由边:,6.2 受压简支板的弹性失稳,如图所示四边简支矩形板,板的中面上作用有荷载Nx=P x、N
3、x 0、Nxy 0;因此,板的弹性稳定微分方程式为,板的弹性稳定微分方程式为:,根据板的边界条件:当x=0 和 x=a 时,w0、;当y=0 和 y=b 时,w0、。符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示为式中:m和 n分别是板失稳时,在 x 和 y方向的半波数,为各项的待定常数。,对w微分两次和四次后代入偏微分方程,得,由于 和 均不为零,Amn也不为零,否则板仍然为平面平衡状态,所以解得 式中:。只有当n=1时,上式有最小值,所以 有意义的临界荷载为:,或;式中:K 为稳定系数,,由,可得,K=4,则。要使上式成立,m=a/b 必须是整数,如果 m=a/b不是整数,则 或 计算临
4、界荷载时,m的取值应使K值最小。当n=1时,即在 y方向成一个半波的条件下,K 随 m和 a/b成曲线关系,如前面图所示。,板的长宽比在 时,m=1,板以一个半波的形式失稳;长宽比在 与 之间时,m=2,板以两个半波的形式失稳;长宽比在 与 之间时,m=3,余类推。而当长宽比 时,K值已非常接近于最小值。板的临界应力:由上式可知:单向均匀受压板的临界应力与板的宽厚比的平方成反比,而与板的长度无关。对于单向均匀受压的矩形板,当加载边为简支,而非加载边为各种不同的支承条件时,稳定系数 K的最小值如下表所示。,稳定系数 K 的最小值,只有当 时,同时边界条件由简支变为固定,稳定系数K才会有较大提高。
5、通过上述讨论可知,对于单向均匀受压的狭长板,用增加横向加劲肋来改变 a/b,从而提高稳定系数的做法并无明显的效果;如果把加劲肋的间距取得小于2b又很不经济。而对于很宽的薄板,如果采用纵向加劲肋以减少板的宽度 b倒是有效的。例如在板的纵向中心加一条加劲肋时。,屈曲系数与板件长宽比的关系,失稳系数与板件长宽比的关系,6.3 能量法计算板的弹性失稳,对于四边简支的均匀受压板,计算公式中每一项都有,因此,可以从各项中将其分离出来,这样用平衡法求解很方便;而当板的支承条件不是简支时,三角函数则无法分离,这时就需要用能量法来求解。1)板的总势能 已知=U+V,则弹性应变能外力势能,2)瑞利李兹法,假设符合
6、板的几何边界条件的挠曲面函数为 将此式代入总势能公式中,经积分后,根据势能驻值原理建立一组 的线性代数方程组。其非零解的条件是方程组的系数行列式为零,即可得板的稳定方程。3)伽辽金法 已知板的平衡偏微分方程为,需假定符合板的几何与自然边界条件的挠曲面函数,现假定挠曲面函数,为,可组成伽辽金方程组 上面方程组经积分后可得到 A1,A2,An 的线性方程组,为得到它们的非零解,其系数行列式D=0 应为零,则可得稳定方程,由稳定方程可解的临界荷载。,6.4 均匀受剪简支板的弹性失稳,均匀受剪的四边简支板如图所示,在其对角线方向因受压而失稳,失稳时板的波长与另一对角线方向的拉力有关。对于长板,失稳时的
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