第八章分离变量法 数学物理方法ppt课件.ppt

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1、1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离变量的求解方法,2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅立叶级数的求解方法,3、非齐次边界条件的处理方法,4、三维泊松方程的特解求解方法,重点,8、1 齐次方程的分离变数解法,、线性定解问题的叠加性质,L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来,非齐次方程 Lu=f(x,y,z,t),齐次方程Lu=0,1.算符,2.性质,则其组合,u2是齐次方程的解 Lu2=0,Lu1=f,1)分别是齐次方程的,2)是非齐次方程的解,则 是非齐次方程的解:,3）若Lu1=f1,Lu2=f2,性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。,二、分离变数法解

2、齐次偏微分方程的基本思路：,1、两个变数方程的求解方法,则,1、设解的形式,解的形式为 u(x,y)=X(x)T(t),带入方程中，,得出两个常微分方程：,2、分离变量,分离过程：,代入边界条件：,3、本征值问题：,本征值方程,由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题,二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：,当x=0，l 时,X=0,l 时,x=0,l 时,则有,则必有,所以,n=1,2,3,又因为,所以有特征解：,4、通解：,5、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：,则有,把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：,6、物理意义：,（1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解,un 是驻

3、波,波腹振动总是最大点，波节振幅总是为零点,（2）、u n(x,t)特解称为本征振动模式它与初始条件无关。称固有振动模式,（4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）,7、分离变量法概要：,（1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程,（2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题,（3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解,例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一 端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不 变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。,边界条件：,初始条件：,(2)分离变数：,(3)、求解本征值问题：,X=0,l 时,x=0,l 时,则有,则必有,（k=

4、0,1,2）,故有：,本征解,（4）、通解中常数确定,分离变量法也适用于Laplace方程,解,若0，,例3 带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电 场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之 中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱“无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体圆 柱怎样改变了匀强静电场。,解 如图选择坐标系，电荷具有面 对称性,形成的电场也具有面对 称性.在圆柱外,电势满足Laplace 方程.,设导体上的电势为0,有下列边界条件:,定解问题为:,1)形式解,2)代入方程分离变量,3)求解本征值问题,得

5、本征值和本征函数:,径向方程为:,解为,3)通解为,4)代入边界条件确定系数,由(1)和(2)得:,代入给出符合题意的解:,说明,该方法只适应于齐次偏微分方程，齐次边界条件的定解问题，对于齐次方程非齐次边界条件不适合。,k=1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,8、2 非齐次振动方程和输送方程,基本思路：,对于定解问题：,、傅立叶级数法,（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：,(2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式,其中,代入方程,二、应用举例：,（2）、考虑齐次方程和齐次边界条件下的级数形式,（3）、代入非齐次方程中，有：

6、,n=1,二阶常系数非齐次线性微分方程,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如,的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式，,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解,而k按 不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0，1或2。,（4）、将级数解u(x,y)代入初始条件,作傅立叶展开有：,代入可得其解,1、,解：,2、,5、将系数代入u(x,t),得解：,4、,非齐次方程、齐次边界条件的定解问题的一般处理方法,定解问题：,三、冲量定理法,1、冲量定理法的基本思想,定解问题,1）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；,定解问题中，

7、持续力是,作用时间0-t,表为瞬时力的叠加,2）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加。,是 时刻有瞬时力 引起的位移。,代入泛定方程，有,由于瞬时力 是作用在 时间段上，从 时间上，瞬时力没有起作用，仍然是静止的，所以有,由于瞬时力作用时间 极短，作用结束后弦线来不及振动，所以,由冲量定理判断其作用后的速度，考虑单位长度的弦：,将考虑时刻 以后的定解问题，瞬时力 还没有来得及起作用，则：,将 时间间隔取为单位时间，且将，则,该定解问题可以用分离变量方法求解。,解,8、3非齐次边界条件的处理,、一般处理方法,定解问题;,带入（2）中,令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),则w(x,t

8、)满足,令v(x,y)满足非齐次边界条件，则可设形式为;,v（x,t）=A(t)x+B(t)(4),-是齐次边界条件的非齐次偏微分方程,解,（x,t）=a(t)x+b(t),满足边界条件的通解为,0,通过例子说明该方法,8、4 泊松方程的求解方法之一,、特解法求解泊松方程的基本思路,对于给定的泊松方程，寻找一个能够满足方程的特解 此特解一般较难寻找,u=v+w,二、例题举例,对于该方程我们易看出：,，,为对称有,又因为,2）、令u=v+w问题转化为求解拉氏方程的定解问题,3）、求解拉氏方程给出通解(8.1.68),由于讨论圆内问题，为了保证解有限，则应有：,代入边界条件确定系数,通过比较系数有：,m=0 时,m=2时,小结,(1)边界条件化为齐次,令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),（2）化成两个简单的定解问题,可令 w=wI+wII,