材料力学第6章 弯曲应力分析与强度计算ppt课件.ppt

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1、,第6章 梁的应力分析与强度计算,基础篇之六,材料力学,下一章,上一章,返回总目录,应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上的剪力和弯矩，但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果。因此，仅仅确定了剪力和弯矩并不能确定横截面上各点内力的大小。因为在一般情形下，分布内力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点的数值。,怎样确定横截面上的内力分布规律呢？,第6章 梁的应力分析与强度计算,应力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究

2、材料受力与变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,梁的强度计算,弯曲剪应力与弯曲中心的概念,斜弯曲的应力计算与强度设计,弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,结论与讨论(2),平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形 几何性质,返回,返回总目录,第6章 梁的应力分析与强度计算,实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。,与应力分析相关的截面图形

3、几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,金 茂 大 厦,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及

4、强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,静矩、形心及其相互关系,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,惯性矩与惯性积的移轴定理,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的计算方法,惯性矩与惯性积的转轴的概念,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,静矩、形心及其相互关系,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,图形对于 y 轴的静矩

5、,图形对于 z 轴的静矩,静矩、形心及其相互关系,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,分力之矩之和,合力之矩,静矩、形心及其相互关系,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,已知静矩，可以确定图形的形心坐标,已知图形的形心坐标，可以确定静矩,静矩、形心及其相互关系,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。,静矩、形心及其相互关系,如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,对于组合图形,静矩、形

6、心及其相互关系,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,图形对 y 轴的惯性矩,图形对 z轴的惯性矩,图形对 y z 轴的惯性积,图形对 O 点的极惯性矩,图形对 y 轴的惯性半径,图形对 z 轴的惯性半径,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,0,0 或,0,0,0,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,与应力分析相关的截面图形几何性质,第

7、6章 梁的应力分析与强度计算,已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IP,例 题 10,解：取圆环微元面积,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,已知：矩形截面b h求：Iy，Iz,解：取平行于x轴和y轴的微元面积,例 题 11,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,惯性矩与惯性积的移轴定理,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。,惯

8、性矩与惯性积的移轴定理,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,y1=ya z1=zb,已知：Iy，Iz，Iyz,求：Iy1，Iz1，Iy1z1,惯性矩与惯性积的移轴定理,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,y1=ya z1=zb,惯性矩与惯性积的移轴定理,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的SySz0,惯性矩与惯性积的移轴定理,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是

9、增加的。,a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。,惯性矩与惯性积的移轴定理,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,惯性矩与惯性积的转轴的概念,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。,惯性矩与惯性积的转轴的概念,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,惯性矩与惯性积的转轴公式,已知：Iy，Iz，Iyz,求：Iy1，Iz1，Iy1z1,与应力分析相关

10、的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,主轴与形心主轴、主惯性矩 与形心主惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principal axes）。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principal momen

11、t of inertia of an area）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,与应力分析相关的截面

12、图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定:,主轴与形心主轴,主惯性矩与形心主惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,有对称轴截面的惯性主轴,Iyz=(yizidA-yizidA)=0,当图形有

13、一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。,组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章

14、 梁的应力分析与强度计算,将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。,以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z 轴 一般与简单图形的形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz 和Iyz。,计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。,确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,例 题 12,已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与

15、强度计算,解：1将所给图形分解为简单图形的组合,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,2.建立初始坐标，确定形心位置,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,Iy0=Iy0()+Iy0(II),3.确定形心主惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,Iz0=Iz0()+Iz0(),3.确定形心主惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,第6章 梁的应力分析与强度计算,平面弯曲时梁横截面上的正应力,返回,返回总目录,第6章 梁的应力分析与强度计算,梁弯曲的若干定义与概念,纯弯曲时，梁横截面上正应力分析,弯曲正应

16、力公式的应用与推广,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,梁弯曲的若干定义与概念,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,对称面 梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane)。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,对称面 梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane)。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,主轴平面 梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成

17、的平面，称为梁的主轴平面(plane including principal axes)。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不然。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,平面弯曲 所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。,加载平面与主轴平面一致,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,纯弯曲,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,纯弯曲 一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力

18、分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(pure bending)。在纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,横向弯曲,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,横向弯曲梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲(transverse bending)。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,梁的中性层与横截面的中性轴

19、梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发生伸长变形，也不发生缩短变形，称为梁的中性层或中性面（neutral surface）。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴(neutral axis)。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,纯弯曲时，梁横截面上正应力分析,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形推

20、知梁横截面上的正应力分布。,纯弯曲时，梁横截面上正应力分析,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,纯弯曲时，梁横截面上正应力分析,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dx的一微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度。这一假定称为平面假定(plane assumption)。,应用平面假定确定应变分布,平

21、面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,应用平面假定确定应变分布,在横截面上建立Oyz 坐标系，其中z 轴与中性轴重合(中性轴的位置尚未确定)，y 轴沿横截面高度方向并与加载方向重合。,微段上到中性面的距离为y处长度的改变量，即,式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩变形；y坐标为负的线段产生伸长变形。,应用平面假定确定应变分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,将线段的长度改变量除以原长dx，即为线段的正应变，于是得到,这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式，其中,应用平面假定

22、确定应变分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,其中为中性面弯曲后的曲率半径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为与y坐标无关，所以在上述二式中，为常数。,应用平面假定确定应变分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,应用弹性范围内的应力-应变关系的胡克定律,得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式,式中C为待定的比例常数，即,其中E为材料的弹性模量，是待定的量。,应用胡克定律确定横截面上的正应力分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,这表明，横截面上的弯曲正应力，沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布。,应

23、用胡克定律确定横截面上的正应力分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个问题没有解决：一是y坐标是从中性轴开始计算的，中性轴的位置还没有确定；二是中性面的曲率半径也没有确定。,应用胡克定律确定横截面上的正应力分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,应用静力方程确定待定常数,为了确定中性轴的位置以及中性面的曲率半径，现在需要应用静力方程。,根据横截面存在正应力这一事实，正应力这一分布力系，在横截面上可以组成一个轴力和一个弯矩。但是，根据截面法和平衡

24、条件，纯弯曲时，横截面上只能有弯矩一个内力分量，二轴力必须等于零。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,于是，应用积分的方法，得到,负号表示坐标y为正值的微面积dA上的力对z轴之矩为负值；Mz为作用在加载平面内的弯矩，可由截面法求得。,应用静力方程确定待定常数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,应用静力方程确定待定常数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,式中弯矩Mz由截面法平衡求得；截面对于中性轴的惯性矩Iz既与截面的形状有关，又与截面的尺寸有关。,应用静力方程确定待定常数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章

25、梁的应力分析与强度计算,应用静力方程确定中性轴位置,为了利用上述应力公式计算梁弯曲时横截面上的正应力，还需要确定中性轴的位置。,将正应力表达式代入静力方程,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,根据截面的静矩定义，式中的积分即为横截面面积对于z轴的静矩Sz。又因为C0，静矩必须等于零：,前面讨论静矩与截面形心之间的关系时，已经知道：截面对于某一轴的静矩如果等于零，这一轴一定通过截面的形心。在分析正应力、设置坐标系时，指定z轴与中性轴重合。,应用静力方程确定中性轴位置,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,上述结果表明，中性轴z通过截面形心，并且垂

26、直于对称轴，所以，确定中性轴的位置就是确定截面的形心位置。,对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形心。例如，矩形截面，圆截面，圆环截面等，这些截面的形心很容易确定。,对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的截面的形心，也可以从有关的设计手册中查到。,应用静力方程确定中性轴位置,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,最大正应力公式与弯曲截面模量,工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到,称为弯曲截面模量，单位是mm3或m3。,平面弯曲时梁横截面上

27、的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,最大正应力公式与弯曲截面模量,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,最大正应力公式与弯曲截面模量,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,最大正应力公式与弯曲截面模量,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,梁弯曲后其轴线的曲率计算公式,这是梁弯曲时的另一个重要公式梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式。其中EIz称为梁的弯曲刚度。,这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲正应力公式的应用与推广,平

28、面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,计算梁弯曲时横截面上的最大正应力，注意以下几点是很重要的：,计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题,首先是正应力的正负号，决定正应力是拉应力还是压应力。确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。,弯曲正应力公式的应用与推广,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题,首先是正应力的正负号：,决定正应力是拉应力还是压应

29、力。确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题,其次是最大正应力的计算,如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。,如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大

30、压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计算：,在实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果的后面用括号注明“拉”或“压”。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题,要特别关注弯矩最大横截面上的最大正应力,某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力，应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的

31、就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲,以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于非纯弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形，如果是细长杆，也是近似适用的。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，这种翘曲对正应力分布的影响是很小的。对于细长梁这种影响更小，通常都可以忽略不计。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,例题 13,矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所

32、组成的平面，称为水平对称面。梁在自由端承受外加力偶作用，力偶矩为Me，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上的正应力分布图。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：1.确定固定端处横截面上的弯矩 根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分的平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩:MMe。这一梁的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩Me。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,Me,Me,M,解：2.确定中性轴的位置,中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴(y)垂直。因此，z轴就是中性轴。,3判断横截面上承受拉应力和压应力的区

33、域,根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,Me,M,3判断横截面上承受拉应力和压应力的区域,4画梁在固定端截面上正应力分布图,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,例题 14,丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP32kN，梁的长度l=2m。丁字形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz=1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：1确定弯矩最大截面以及

34、最大弯矩数值,根据静力学平衡方程 MA0 和MB0，可以求得支座A和B处的约束力分别为FRAFRB16 kN。根据内力分析，梁中点的截面上弯矩最大，数值为,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,2确定中性轴的位置,丁字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴方向，因此，中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴，z轴就是中性轴。,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,3确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算,4计算弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力,平面弯曲时梁横截面上的正应力,第

35、6章 梁的应力分析与强度计算,梁的强度计算,返回,返回总目录,第6章 梁的应力分析与强度计算,梁的强度计算,前面已经提到，当梁的横截面上同时存在弯矩和剪力时，其上既有正应力，也有剪应力。,但是，对于细长梁，在一般受力情形下，剪应力远小于正应力，因而，剪应力对强度的影可以忽略不计。,这里所介绍的强度计算是只考虑正应力的强度计算。,第6章 梁的应力分析与强度计算,与拉伸或压缩杆件失效类似，对于韧性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服应力(s)时，便认为梁发生失效；对于脆性材料制成的梁，当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的强度极限(b)时，便认为梁发生失效。即,(韧性材料),(

36、脆性材料),这就是判断梁是否失效的准则。其中s和b都由拉伸实验确定。,弯曲强度条件,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,与拉、压杆的强度设计相类似，工程设计中，为了保证梁具有足够的安全裕度，梁的危险截面上的最大正应力必须小于许用应力，许用应力等于s或b除以一个大于 1 的安全因数。于是有,上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则，又称为弯曲强度条件，式中为弯曲许用应力；ns和nb分别为对应于屈服强度和强度极限的安全因数。,弯曲强度条件,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,根据上述强度条件，同样可以解决三类强度问题：强度校核，截面尺寸设计，确定许用载荷。,弯曲强度条件,

37、梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,根据梁的弯曲强度设计准则，进行弯曲强度计算的一般步骤为：,根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力；,画出梁的弯矩图，根据弯矩图，确定可能的危险截面；,根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，确定可能的危险点：对于拉、压强度相同的材料（如低碳钢等），最大拉应力作用点与最大压应力作用点具有相同的危险性，通常不加以区分；对于拉、压强度性能不同的材料（如铸铁等脆性材料）最大压应力作用点和最大压应力作用点都有可能是危险点；,应用强度条件进行强度计算。,弯曲强度计算步骤,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强

38、度条件可以改写为,拉伸许用应力,压缩许用应力,弯曲强度计算步骤,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,例题 16,圆轴在A、B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座；轴的外伸部分BD是空心的。轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的载荷都标在图中。这样的圆轴主要承受弯曲变形，因此，可以简化为外伸梁。已知拉伸和压缩的许用应力相等120MPa。,试分析：圆轴的强度是否安全。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,FRA2.93kN FRB=5.07kN,解：1.确定约束力,因为A、B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座，圆轴上又没有水平方向的载荷作用，所以，A、B二处都只有垂直方向的约束力FRA、F

39、RB，假设方向都向上。于是，由平衡方程MA0和MB0，求得,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,MC1.17kNm MB0.9kNm,解：2.画弯矩图，判断可能的危险截面,根据圆轴所承受的载荷和约束力，可以画出圆轴的弯矩图，如图所示。根据弯矩图和圆轴的截面尺寸，在实心部分C截面处弯矩最大，为危险截面；在空心部分，轴承B以右截面处弯矩最大，为危险截面。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：3.计算危险截面上的最大正应力,应用最大正应力公式和圆截面以及圆环截面的弯曲截面系数公式,可以计算危险截面上的应力。,C截面：,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,B以右的截面

40、：,解：3.计算危险截面上的最大正应力,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,B以右的截面：,上述计算结果表明，两个危险截面上的最大正应力都小于许用应力。于是，强度条件得到满足，即,C截面：,解：3.计算危险截面上的最大正应力,4.分析梁的强度是否安全,因此，圆轴的强度是安全的。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,例题 17,由铸铁制造的外伸梁，受力及横截面尺寸如图所示，其中z轴为中性轴。已知铸铁的拉伸许用应力39.3 MPa，压缩许用应力为58.8 MPa，Iz=7.65106 mm4。试校核该梁的正应力强度。,试校核：梁的强度是否安全？,梁的强度计算,第6章 梁的应力分

41、析与强度计算,解：1.画弯矩图，判断可能的危险截面,因为梁的截面没有水平对称轴，所以其横截面上的最大拉应力与最大压应力不相等。同时，梁的材料为铸铁，其拉伸与压缩许用应力不等。因此，判断危险面位置时，除弯矩图外，还应考虑上述因素。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,由于梁的截面只有一根对称轴，而且拉伸许用应力和压缩许用应力不相等，弯矩小的截面上最大压应力作用点到中性轴的距离，大于弯矩大的截面上最大压应力作用点到中性轴的距离。,解：1.画弯矩图，判断可能的危险截面,所以弯矩小的截面上的最大压应力也可能比较大。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：1.画弯矩图，判断可能的危

42、险截面,因此，截面D和B都可能是危险截面。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：1.画弯矩图，判断可能的危险截面,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,因为截面D上的点3到中性轴的距离比点4到中性轴的距离大，所以弯矩小的截面D上的最大拉应力也可能比较大。,根据危险截面上弯矩的实际方向，可以画出截面D、B上的正应力分布图。,解：2.根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,从图中可以看出：截面D上的3点和截面B上的2点都将产生最大拉应力。,但是，截面B上的弯矩MB大于截面D上的弯矩MD，而3点到中性轴的距离y3大于2点到中性轴

43、的距离y2，此消彼长的结果，使3点和2点的拉应力都比较大。所以这两点的强度都需要校核。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：2.根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点,截面D的上边缘各点(例如4点)和截面B下边缘各点(例如1点)都承受压应力。,但是，截面B上的弯矩MB大于截面D上的弯矩MD，而4点到中性轴的距离y4小于1点到中性轴的距离y1。,所以，1点的压应力比4点的压应力大。因此对于最大压应力只需要校核1点的强度。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：2.根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点,对于最大拉应力，截面B上的上边缘各点(例如2点)：,截面D上

44、的下边缘各点(例如3点)：,解：3.计算危险点的正应力，进行强度校核,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：3.计算危险点的正应力，进行强度校核,截面B上的下边缘各点(例如1点):,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：4.结论,上述结果说明，梁上所有危险截面的危险点的强度都是安全的。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,例题 18,试计算：1.FP加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择什么型号的工字钢？,为了起吊重量为FP300 kN的大型设备，采用一台150 kN和一台200 kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临

45、时的附加悬挂系统。如果已知辅助梁的长度l4 m，型钢材料的许用应力 160MPa。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：1.确定FP加在辅助梁的什么位置,力FP加在辅助梁的不同位置上，两台吊车所承受的力是不相同的。假设 FP加在辅助梁的C点，这一点到150kN吊车的距离为x。将 FP 看作主动力，两台吊车所受的力为约束力，分别用FA和FB表示。由平衡方程MA0和MB0，可以解出：,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：1.确定FP加在辅助梁的什么位置,令：,由此解出：,于是，得到FP加在辅助梁上作用点的范围为：,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：2.确

46、定辅助梁所需要的工字钢型钢号码,在这两种情形下，辅助梁都在FP作用点处弯矩最大，最大弯矩数值分别为：,根据上述计算得到的FP加在辅助梁上作用点的范围，当x=2 m时，辅助梁在B点受力为150 kN；当x=2.667 m时，辅助梁在A点受力为200 kN。,因此，应该以Mmax(2)作为强度计算的依据。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,因此，应该以Mmax(2)作为强度计算的依据。于是，由强度条件,可以算出辅助梁所需要的弯曲截面模量：,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,解：2.确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码,由热轧普通工字钢型钢表中查得50a和50b工字钢的Wz分别为

47、1.860103 cm3和1.940103 cm3。如果选择50a工字钢，它的弯曲截面模量比所需要的大约小,工程设计中最大正应力可以允许超过许用应力5，所以选择50a工字钢是可以的。但是，对于安全性要求很高的构件，最大正应力不允许超过许用应力。这时就需要选择No.50b工字钢。,梁的强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力与弯曲中心的概念,返回,返回总目录,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,梁弯曲时横截面上的剪应力分析,实心截面梁的弯曲剪应力公式,薄壁截面梁的弯曲中心,横向载荷作用下开口薄壁杆件 的扭转变形,第6章 梁的应力分析与强度计算,梁弯曲时横截面

48、上的剪应力分析,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,对于开口薄壁截面梁，可以假定横截面上的剪应力沿着厚度方向均匀分布。,在上述前提下，分析弯曲剪应力的方法就是平衡的方法。,因为内壁和外壁都没有力作用，根据剪应力互等定理，剪应力作用线必然沿着横截面周边的切线方向。,确定横截面上任意点处的剪应力先从梁上截取dx微段；,分析弯曲剪应力的平衡方法-平衡对象,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,以微段的局部作为平衡对象；,微段局部的截取方法是从自由表面开始到所要求剪应力的点。,Fx=0,(d

49、 x)=0,FN*+d FN*,FN*,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,微段局部的截取方法是从自由表面开始到所要求剪应力的点。,考察微段局部的受力与平衡,分析弯曲剪应力的平衡方法-平衡方程与剪应力表达式,由弯矩M产生的正应力x组成,由弯矩M+dM产生的正应力x+dx组成,由弯矩dM产生的正应力dx组成,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,分析弯曲剪应力的平衡方法-平衡方程与剪应力表达式,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,

50、第6章 梁的应力分析与强度计算,实心截面梁的弯曲剪应力公式,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,矩形截面,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,圆截面,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,圆环截面,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与强度计算,工字钢截面,由型钢表查得,弯曲剪应力以及弯曲中心的概念,第6章 梁的应力分析与