材料力学ppt课件 孙训方第五版.ppt

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1、第一章 绪论,主讲教师：郑新亮,2023年1月14日星期六,第一节 材料力学的任务,在保证构件既安全又适用的前提下，最大限度的发挥材料的经济性能，为构件选择适当的材料，设计合理的截面形状和尺寸。材料力学：研究构件的承载能力,第一节 材料力学的任务,*承载能力：构件承受荷载的能力,几个方面来考虑：强 度:构件具有足够的抵抗破坏的能力刚 度:构件具有足够的抵抗变形的能力稳定性:对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态,第一节 材料力学的任务,*失效:由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能（承载能力）的现象,几个方面来考虑：强 度：不因发生断裂或塑性变形而失效刚 度：不因发生过大的弹性变形而失效稳定

2、性：不因发生因平衡形式的突然转变而失效,第一节 材料力学的任务,1.强度问题,第一节 材料力学的任务,强度失效,第一节 材料力学的任务,2.刚度问题,第一节 材料力学的任务,刚度失效,第一节 材料力学的任务,3.稳定性问题,1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。,稳定失效,第一节 材料力学的任务,疲劳失效 由于交变应力的作用,初始裂纹不断扩展而引起的脆性断裂,松弛失效 在一定的温度下,应变保持不变,应力随着时间增加而降低,从而导致构件失效,第二节 变形固体的基本假设,机械或结构中的各种构件，都是由各种材料制成的，由这些材料

3、组成的固体，在外力作用下，都会发生形状及尺寸的改变，即变形。,弹性变形,塑性变形,材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力,第二节 变形固体的基本假设,材料力学对变形固体所做的几个基本假设：,1 均匀连续性假设,变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的，并且组成变形固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积。,2 各向同性假设,变形固体在各个方向上具有相同机械性质。具有相同机械性质的材料为各向同性材料。,3 小变形假设,构件在外力作用下所产生的变形与其整个构件的几何尺寸相比是极其微小的。,第二节 变形固体的基本假设,思考,根据可变形固体的均匀性假设，从物体内任一点处任意方向取出单元体，其力学

4、性能均相同。因此，均匀性假设实际上包含了各向同性假设，试问这种说法是否正确？,均匀性假设是指从物体内取出的任一体积单元的力学性能与物体的力学性能相同，而并不涉及沿各个方向的力学性能是否相同。各向同性假设是指物体沿各个方向的力学性能相同，两者是有区别的。,？,回答：不正确。,第三节 外力、内力、应力的概念,1 外力：周围物体对所研究的构件施加的作用力,第三节 外力、内力、应力的概念,2 内力：弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力。,第三节 外力、内力、应力的概念,弹性体内力的特征:(1)连续分布力系(2)与外力组成平衡力系,第三节 外力、内力、应力的概念,3.应

5、力:内力在一点的分布集度。即单位面积上的内力,垂直于截面的应力称为“正应力”,位于截面内的应力称为“剪应力”或“切应力”,第三节 外力、内力、应力的概念,一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：,第四节 杆的基本变形,1 杆：,直杆 曲杆,等截面杆 变截面杆,2 杆的基本变形及组合变形：,第四节 杆的基本变形,轴向拉伸或压缩,剪切,第四节 杆的基本变形,扭转,纯弯曲,第二章 轴向拉伸和压缩,主讲教师：郑新亮,2023年1月14日星期六,第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例,轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最简单的一种变形形式。,1、工程实例,拉杆,压杆,第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例,

6、2、轴向拉伸与压缩的概念,受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合,变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短,思考？,该杆件是轴向拉伸变形吗？,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,一、内力,1、内力的概念：,2、内力的计算（截面法）,物体内部相邻部分之间相互作用的力,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,3、内力正负号的规定,同一截面位置处左、右两侧截面上的内力必须具有相同的正负号,符号规定：,轴力以拉力为正，压力为负（离开截面为正，反之为负）,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,例题1 求图示各截面内力,解：,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应

7、力,3、轴力图,反映轴力与截面位置关系的图线,例题2 画出图示杆件的轴力图,解：,轴力图,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,二、应力,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,实验现象：,1、所有纵向线伸长均相等,2、所有横向线均保持为直线，仍与变形后的纵向线垂直,根据实验，假设：,1、受拉杆件是由无数纵向纤维组成，各纤维伸长相等，得出：横截面上各点处正应力相等。,2、变形后的横向线仍保持为直线，变形后横截面仍保持为平面（平截面假设）。,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,横截面上的应力分布：,1、正应力的概念：,内力在横截面上的分布集度,单位：,帕斯卡 Pa（

8、=N/m2）,常用单位：,MPa=106 Pa,GPa=109 Pa,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,2、正应力的符号规定：,当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之为负（压应力）,例题3 如图所示正方形截面的梯形柱，柱顶受轴向压力P作用，上段柱重为G1，下段柱重为G2。已知：P=15kN，G1=2.5kN，G2=10kN。求：上、下段柱的底截面1-1，2-2上的应力。,解：,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,3、斜截面上的应力：,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,讨论：,第三节 强度计算,对于某一种

9、材料，应力的增加是有限度的，超过某一限值材料就会丧失承载能力。,轴向拉压杆的最大正应力：,强度条件：,式中：称为最大工作应力 称为材料的许用应力,第三节 强度计算,根据强度条件，可以解决的三类实际工程问题。,1、校核杆件强度,已知：Nmax，A，。验算构件是否满足强度条件,2、设计截面,已知：Nmax，。根据强度条件，求：A,3、确定最大载荷,已知：A，。根据强度条件，求：Nmax,第三节 强度计算,例题1 一直径d=14mm的圆杆，许用应力=170MPa,受轴向拉力 P=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。,解：,例题2 AC与BC为两根圆杆，杆件的许用应力=170MPa,C点作用一

10、集中力 P=20kN作用，试根据强度条件确定两杆的直径d。,满足强度条件。,解：,根据强度条件：,第三节 强度计算,例题3 图示为钢木结构，AB为木杆：AAB=10103mm2，AB=7MPa；BC为钢杆：ABC=600mm2，BC=160MPa；求B点可吊起的最大荷载P。,解：,由强度条件可知：,第四节 拉、压杆件的变形,工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段。根据实验表明，弹性范围内轴向拉、压杆的伸长量和缩短量与杆内轴力N和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。,第四节 拉、压杆件的变形,（绝对）变形量：,工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段。根据实验表明，弹性范围内轴向拉、压杆的伸长量和

11、缩短量与杆内轴力N和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。,E：弹性模量,（GPa）,EA：抗拉（或抗压）刚度,令,虎克定律,第四节 拉、压杆件的变形,纵向变形量：,横向变形量：,纵向线应变：,横向线应变：,令：,：材料泊松比,第四节 拉、压杆件的变形,例题1 图示拉压杆。已知：P=10kN，L1=L3=250mm，L2=500mm，A1=A3=A2/1.5，A2=200mm2，E=200GPa。求：（1）试画出轴力图；（2）计算杆内最大正应力；（3）计算全杆的轴向变形。,解：（1）,取分离体分别求出各段轴力,第四节 拉、压杆件的变形,（2）,第四节 拉、压杆件的变形,（3）,例题2 用一根长6

12、m的圆截面钢杆来承受7kN的轴向拉力，材料的许用应力=120MPa，E=200GPa，并且材料的许可总伸长量为2.5mm，试计算所需要的最小直径d。,第四节 拉、压杆件的变形,解：,强度条件,变形条件,例题3 图示桁架AB和AC杆均为钢杆，弹性模量E=200GPa，AAC=200mm2，AAB=250mm2，P=10kN，LAC=2m。试求节点A的位移。,第四节 拉、压杆件的变形,解：,受力分析，,可得：,变形计算,A,由变形条件可知，节点A的位移为AA,第四节 拉、压杆件的变形,A,第四节 拉、压杆件的变形,例题3 挂架由AC杆和BC杆组成，两杆的EA相同，C处作用有荷载P。求：C点的水平位

13、移和竖直位移。,解：,受力分析,变形计算,C,第五节 轴向拉伸或压缩的应变能,外力所做的功W：,应变能V：,：称为应变能密度,第六节 材料在拉、压时的力学性质,材料的力学性质：材料受力作用后在强度、变形方面所表现出来的性质,一、拉伸试验,试件:,主要仪器设备：,万能试验机，卡尺，直尺等,试验条件：,常温，静载,第六节 材料在拉、压时的力学性质,1、低碳钢拉伸试验,第六节 材料在拉、压时的力学性质,韧性金属材料,拉伸曲线的四个阶段：,弹性阶段；屈服阶段；强化阶段；局部变形（劲缩）阶段。,第六节 材料在拉、压时的力学性质,（1）弹性阶段,应变值始终很小,变形为弹性变形,去掉荷载后变形全部消失,斜直

14、线OA：,应力应变成正比变化虎克定律,微弯段AA：,当应力小于A应力时，试件只产生弹性变形,直线最高点A所对应的应力值比例极限p,A点所对应的应力值是材料只产生弹性变形的最大应力值弹性极限e,第六节 材料在拉、压时的力学性质,（2）屈服阶段,超过A点后，-曲线上出现一条波浪线。变形大部分为不可恢复的塑性变形,流动阶段对应的应力值屈服极限s,（3）强化阶段,该阶段的变形绝大部分为塑性变形，整个试件的横向尺寸明显缩小,C点为曲线的最高点（材料的最大抵抗能力），对应的应力值强度极限b,第六节 材料在拉、压时的力学性质,（4）局部变形（劲缩）阶段,试件局部显著变细，出现劲缩现象,由于劲缩，截面显著变细

15、，荷载随之降低，到达D点试件断裂,第六节 材料在拉、压时的力学性质,2、小结,比例极限p：应力与应变服从虎克定律的最大应力,弹性极限e：只产生弹性变形，是材料处于弹性变形的最大应力,屈服极限s：表示材料进入塑性变形,强度极限b：表示材料最大的抵抗能力,衡量材料强度的两个指标：,屈服极限s,强度极限b,第六节 材料在拉、压时的力学性质,3、变形性质,（1）伸长率,（2）断面收缩率,l1：实验后标距长度,l：实验前标距长度,A1：拉断后断口处的横截面面积,A：实验前试件横截面面积,衡量材料塑性的两个指标：,伸长率,断面收缩率,第六节 材料在拉、压时的力学性质,二、卸载与冷作硬化,将试件拉伸变形超过

16、弹性范围后任意点E，逐渐卸载，在卸载过程中，应力、应变沿与OA线平行的直线回到O1点,O1,当重新再对这有残余应变的试件加载，应力应变沿着卸载直线O1E上升，到点F后沿曲线ECD直到断裂。不再出现屈服阶段,冷作硬化：在常温下，经过塑性变形后材料强度提高，塑性降低的现象,第六节 材料在拉、压时的力学性质,三、铸铁拉伸试验,铸铁的拉伸实验没有屈服现象、没有劲缩现象，只有断裂时的强度极限b，断口平齐,取残余应变为0.2%时所对应的应力作为该材料的名义屈服极限0.2,脆性材料拉伸时的强度指标：,屈服极限b,第六节 材料在拉、压时的力学性质,四、低碳钢的压缩实验,第六节 材料在拉、压时的力学性质,在屈服

17、之前拉伸与压缩的-曲线是重合的,即：压缩时的弹性模量E、比例极限p、弹性极限e、屈服极限s与拉伸时的完全相同。但流幅稍短,低碳钢压缩时没有强度极限,第六节 材料在拉、压时的力学性质,五、铸铁的压缩实验,铸铁拉伸应力图,铸铁压缩应力图,铸铁压缩的-曲线与拉伸的相似，但压缩时的伸长率要比拉伸时大，破坏时断口与轴线成45角,铸铁压缩时的强度极限b是拉伸时的45倍，所以铸铁常用作受压构件使用。,第六节 材料在拉、压时的力学性质,六、安全系数、需用应力的确定,u 称为极限应力,n 称为安全系数（1）,塑性材料：u=s,脆性材料：u=b,第七节 应力集中的概念,应力集中：,杆件截面骤然变化（或几何外形局部

18、不规则）而引起的局部应力骤增的现象,应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处应力趋于平缓（应力能增大35倍）,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,一、超静定问题,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,二、超静定问题的求解方法,平衡方程+补充方程（变形协调方程）,例题1 已知：杆1、2的抗拉（压）刚度相等，均为EA，杆3横截面面积为A3，弹性模量为E3，杆3长为L。求三个杆的内力。,解：,（1）平衡方程：,（2）补充方程（变形协调方程）：,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,补充方程,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,例题2 已知：图示结构，A1=A2=A3=200mm2，=160MPa，P=40kN，L1=

19、L2=L。试在下列两种情况下，校核各杆的强度。（1）三杆的材料相同，即：E1=E2=E3=E（2）杆1、2为弹性杆，且E1=E2=E，杆3为刚性杆,变形条件：,解：（1）,变形协调方程,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,满足强度条件,（2）3为刚性杆,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,平衡方程,变形条件,满足强度条件,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,例题3 已知：杆长为L，横截面面积为A，弹性模量为E。求：在力P作用下杆内力。,解：,变形协调方程：,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,总 结,（1）列静定平衡方程,（2）从变形几何方面列变形协调方程,（3）利用力与变形之间的关系，列补充方程,（4）联立

20、平衡方程，补充方程，即可求未知力,（5）强度、刚度的计算与静定问题相同,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,例题4 已知：钢杆1、2、3的面积均为A=2cm2，长度L=1m，弹性模量为E=200GPa，若制造时杆3短了=0.08cm。试计算安装后1、2、3杆的内力,解：,平衡方程,变形条件,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,变形协调方程,第八节 拉伸与压缩的超静定问题,例题5 已知：不计自重的刚杆挂在三根平行的金属杆上，杆间距为a，横截面面积为A，弹性模量为E，杆长为L，杆2短了，当B点受荷载P时求：各杆内力。,解：,平衡方程,变形条件,第三章 剪切与挤压,主讲教师：郑新亮,2023年1月14日星期

21、六,剪切与挤压,工程中承受剪切变形的构件常常是连接件,剪切与挤压,一、剪切,受力特点：杆件受到相距非常近的横向力（平行力系）的作用,变形特点：构件沿平行力系的交界面发生相对错动,单剪面,双剪面,剪切与挤压,1 剪切面：发生相对错动的面（平行于作用力的方向）,2 剪力：剪切面的内力,3 剪应力：剪力在剪切面上的分布极度,二、剪切计算,假设：剪力在剪切面上是均匀分布的,剪应力,（平均剪应力）,（名义剪应力）,剪切与挤压,求剪切面上的剪力：截面法,剪应力：,剪切强度条件,剪切与挤压,三、挤压计算,1 挤压力：接触面上的相互作用力（为非均匀分布）,2 挤压面：挤压力的作用面,3 挤压计算面积Abs：挤

22、压面的直径投影面,假设：挤压力在挤压计算面积上是均匀分布,剪切与挤压,挤压应力：,挤压强度条件：,例题1 键连接。已知：Me、d；键的尺寸：l、b、h。求：，bs,剪切与挤压,解：,键受力,剪切与挤压,例题2 销钉连接。已知：FP=18kN，t1=8mm，t2=5mm，=60MPa，bs=200MPa，d=16mm。试校核销钉的强度。,解：双剪面,1 剪切强度校核,2 挤压强度校核,安全,剪切与挤压,例题3 木接头。求：，bs,解：,剪切面,挤压面,剪切与挤压,例题4 边长为a的正方形截面立柱，放在尺寸为LLh的基础上。求：,解：,地基对基础的约束反力集度,剪力,剪切面面积,第四章 扭转,主讲

23、教师：郑新亮,2023年1月14日星期六,第一节 扭转的概念,扭转：,直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直,第一节 扭转的概念,扭转角（两端面相对转过的角度）,剪切角，也称为剪应变或切应变,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,一、扭矩,圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示。,扭矩的正负号，按右手螺旋法则来确定。即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,扭矩的大小由平衡方程求得：,二、扭矩图,表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况,扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同

24、，具体如下：,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,扭矩图的画法步骤：,1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线,2.将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点,3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画,4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上标出数值和正负号,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,例题1 画出图示杆的扭矩图,3kNm,5kNm,2kNm,解：,A,C,B,AC段,BC段,2kNm,3kNm,扭矩图,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,三、外力偶矩换算,扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传动功和转数来换

25、算,若传动轴的传动功率为P，每分钟转数为n,其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,例题2 已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试绘制扭矩图。,解：,（1）计算外力偶矩,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,（2）求扭矩（扭矩按正方向假设）,截面,截面,截面,（3）绘制扭矩图,4.78kNm,9.56kNm,6.37kNm,第二节 扭转的内力扭矩与扭矩图,例题3 画出图示杆的扭矩图,解：,截面,

26、截面,截面,4kNm,2kNm,6kNm,第三节 薄壁圆筒的扭转,一、实验,1 实验前：,绘制纵向线，圆周线,两端施加一对外力偶Me,第三节 薄壁圆筒的扭转,2 实验后：,圆周线不变,纵向线变成螺旋线,3 结果：,圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。,各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度,所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形,第三节 薄壁圆筒的扭转,二、薄壁筒切应力,薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚分布可视作均匀的

27、，切应力沿圆周切线方向与扭矩转向一致,A0为平均半径所作圆的面积,第三节 薄壁圆筒的扭转,三、切应力互等定理,切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线,第三节 薄壁圆筒的扭转,纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力作用,四、剪切虎克定律,单元体ab边的倾角称为切应变，切应变是单元体直角的该变量，实验表明，在弹性范围内，切应力与且应变成正比，即：,G：剪切弹性模量,第三节 薄壁圆筒的扭转,剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比一样，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三

28、个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,一、等直圆杆扭转实验观察,1 横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设,2 轴向无伸缩，横截面上没有正应力,3 纵向线变形后仍为平行线,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,二、等直圆杆扭转横截面上的切应力,a,b,c,d,b,c,B,C,1 变形的几何条件,横截面上b点的切应变,单位长度扭转角,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,2 物理条件（剪切虎克定律）,横截面上b点的切应变：,3 静力条件,dA,O2,b,称为截面对圆心的极惯性矩,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,4 极惯性矩,O,d,环形截面：,极

29、惯性矩单位：,m4,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致,实心圆截面切应力分布图,空心圆截面切应力分布图,最大切应力在外圆处,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,5 最大切应力,令：,称为抗扭截面系数,单位：,实心圆截面：,空心圆截面：,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kNm，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。,解：,第四节 等直圆杆扭转时的应力强度条件,三、圆轴扭转时的强度条件,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件

30、,一、圆轴扭转时的变形,单位长度扭转角,当T、GIP为常数时，长为l的干段两端相对扭转角为：,GIP为抗扭刚度,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,二、刚度条件,单位长度扭转角,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,例题1 图示圆轴，已知：mA=1kNm，mB=3kNm，mC=2kNm；l1=0.7m，l2=0.3m，=60MPa,=0.3o/m,G=80GPa。试选择该轴的直径。,解：,1kNm,2kNm,扭矩图,（1）按强度条件,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,（2）按刚度条件,该圆轴直径应选择：,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,例题2 图示圆轴，已知：mA=1.4kNm，m

31、B=0.6kNm，mC=0.8kNm；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m，=60MPa,=1o/m,G=80GPa。试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。,mC,mA,mB,C,A,B,d1,d2,解：,扭矩图,0.8kNm,0.6kNm,（1）按强度校核,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,满足强度条件,（2）按刚度校核,不满足刚度条件,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,（3）两端相对扭转角,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,例题2 长为l=2m的圆杆受均布力偶，m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切

32、应力=30MPa,试设计杆的外径；=2o/m。试校核此杆的刚度，并求右端面的扭转角。,解：,（1）设计圆杆的外径,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,（2）刚度校核,（3）右端面扭转角,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,例题3 图示圆轴，BC段为空心，已知：D=50mm，d=25mm，a=250mm；G=80GPa。试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。,a,b,a,b,D,d,解：,本题应分4段考虑,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,扭矩图,1kNm,0.5kNm,0.8kNm,第五节 圆截面杆扭转的变形及刚度条件,第五章 截面的几何性质,主讲

33、教师：郑新亮,2023年1月14日星期六,截面的几何性质,为什么要研究截面图形的几何性质？,研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度和稳定问题，都要涉及到与截面的几何形状和尺寸有关的量，这些量统称为几何量。,包括：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积主轴等等,第一节 截面的静矩和形心位置,质心：,质量的中心,mi,rC,ri,有限质点系,第一节 截面的静矩和形心位置,有限质点系：,无限质点系：,矢量式,分量式,有限质点系：,无限质点系：,质心坐标是质点坐标的质量加权平均,第一节 截面的静矩和形心位置,重心：,重力合力的作用点,有限质点系：,无限质点系：,第一节 截面的静

34、矩和形心位置,1 形心：,图形几何形状的中心,dA,x,y,C,yC,xC,第一节 截面的静矩和形心位置,2 静矩：,令：,定义：,为图形对x、y轴的静矩,第一节 截面的静矩和形心位置,3 形心与静矩的关系：,截面对通过形心的轴的静矩恒等于零,若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心,4 组合图形的静矩和形心：,静矩,形心,第一节 截面的静矩和形心位置,例题1 求图示图形的形心,解：,20,100,100,20,A1,A2,第一节 截面的静矩和形心位置,例题2 求图示图形的形心,10,10,200,20,200,A1,解：,A2,A3,第二节 极惯性矩惯性矩惯性积,dA,x,y,1

35、惯性矩：,2 惯性积：,3 极惯性矩：,4 惯性半径：,第二节 极惯性矩惯性矩惯性积,5 简单几何形状的惯性矩：,（1）矩形,b,坐标系中含有对称轴时，图形对该坐标系的惯性积为零。,第二节 极惯性矩惯性矩惯性积,（2）圆形,2x,第二节 极惯性矩惯性矩惯性积,第二节 极惯性矩惯性矩惯性积,r,dr,R,第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,dA,坐标变换：,同理：,第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,若x、y轴过图形形心C，则：,图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平方的乘积；,图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的

36、形心轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距的乘积；,图形对于形心的惯性矩最小，而由形心轴移轴后所得的惯性积有可能增加也有可能减少。,第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,例题1 求图示图形对其形心轴Xc轴的惯性矩,解：,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律,坐标变换：,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,写成倍角形式,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,当=0时，使,若,或,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,当=0时，图形对这一坐标轴的惯性积等于零，该坐标轴为图形的主惯性轴,对主惯性轴(主轴)的惯性矩称为主惯性矩,当主

37、惯性轴通过图形形心时,该主惯性轴为形心主惯性轴,对称轴及与其垂直的轴即为过二者交点的主轴若交点为形心即为形心主轴,截面形心主惯性轴与杆件轴线确定的平面为形心主惯性平面,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,例题1 试求形心主轴的位置及形心主矩,解：,（1）确定形心位置,C,（2）在形心位置处建立Cxy坐标,先分别求出三个矩形对于x、y轴的惯性矩和惯性积,得整个图形对于x、y 轴的惯性矩和惯性积,第四节 惯性矩和惯性积的转轴公式,（3）根据上述结果确定主轴位置及形心主矩,图形的形心主矩为：,第六章 弯曲应力,主讲教师：郑新亮,2023年1月14日星期六,第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲

38、变形,当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件轴线时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。,工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁,梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面称为纵向对称面,第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图,二、平面弯曲,当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。,三、梁的计算简图,1 杆件的简化,用梁的轴线来代替实际的梁,2 荷载的分类,集中荷载,分布荷载,集中力偶,第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图,3 支座的分类,固定铰支座,可变铰支座（滑动铰支座）,固定支座（固定端）,第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图

39、,4 静定梁的基本形式,简直梁,外伸梁,悬臂梁,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,一、梁的剪力和弯矩,l,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,平衡方程：,平衡方程：,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,符号规定：,剪力Q的符号规定：使界面发生顺时针旋转为正，反之为负,弯矩M的符号规定：使梁下侧受拉为正，反之为负,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题1 求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。,解：,截面法，取分离体,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,二、剪力图和弯矩图,q,l,Q（x

40、）与M（x）表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律称为剪力方程和弯矩方程,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,剪力图,弯矩图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,l,AC段（0 xa）：,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,l,CB段（axl）：,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,AC段（0 xa）：,CB段（axl）：,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,三、荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系,q,x,dx,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,略去二阶无穷小量,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,在几

41、种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,向下方倾斜的直线,下凸的二次抛物线,在Fs=0的截面,无荷载,水平直线，一般为,一般为斜直线,集中力,在C处有突变,在C处有尖角,在剪力突变的截面,集中力偶,在C处无突变,在C处有突变,在紧靠C点的某一侧的截面,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题1 求图示梁的剪力图和弯矩图。,q,l/2,l/2,解：,剪力图,弯矩图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题2 求图示梁的剪力图和弯矩图。,q,q,P=qa,A,B,解：,a,a,a,Q 图,M 图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题3 求图示梁的剪力图和弯矩图。,m,解：,Q 图,

42、M 图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题4 求图示梁的剪力图和弯矩图。,a,a,a,A,B,P,m=Pa,解：,Q 图,M 图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题5 求图示梁的剪力图和弯矩图。,P,m=Pa,A,B,a,a,解：,Q 图,M 图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题6 求图示梁的剪力图和弯矩图。,q,2qa,2qa2,a,a,2a,解：,Q 图,M 图,A,B,D,C,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题7 求图示梁的剪力图和弯矩图。,q,q,qa2/2,A,B,解：,Q 图,M 图,第二节 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,例题8 求图示梁的剪力图和

43、弯矩图。,a,a,a,q,qa,qa2/2,A,B,解：,Q 图,M 图,第三节 梁横截面上的正应力,一、纯弯曲,a,a,P,P,A,D,C,B,Q 图,M 图,BC段 纯弯曲,AB段、CD段 剪切弯曲,第三节 梁横截面上的正应力,二、纯弯曲试验与假设,第三节 梁横截面上的正应力,假设1：梁的各纵向纤维间无挤压，所有与轴线平行的纵向纤维都只受轴向拉伸或压缩,假设2：各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上的某个轴旋转了一个角度。梁在纯弯曲时的平截面假设,第三节 梁横截面上的正应力,纵向纤维既没伸长也没缩短的层中性层,中性层与横截面的交线中性轴,梁在纯弯曲的情况下，

44、所有横截面仍保持为平面，只是绕中性轴作相对转动且每根纵向纤维都处于轴向拉伸或压缩的简单受力状态,第三节 梁横截面上的正应力,三、梁横截面上的正应力,1、几何关系：,M,M,O,O,b,b,a,a,C,C：为曲率中心：为曲率半径d：相对转角,x,y,第三节 梁横截面上的正应力,2、物理关系：,纯弯曲的梁横截面上只有弯矩产生的正应力，当正应力没有超过比例极限时，应用虎克定理：,横截面上任意一点处的正应力与该点距中性轴的距离成正比。即：正应力沿截面高度成线性规律分布,max：发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零,第三节 梁横截面上的正应力,3、静力学关系：,横截面对Z轴静矩为零,（确定中性

45、轴位置）中性轴通过截面形心,第三节 梁横截面上的正应力,横截面对Z轴的惯性矩,令：弯曲截面系数,第三节 梁横截面上的正应力,四、剪切弯曲时梁横截面上的正应力,剪切弯曲梁横截面上正应力的计算公式：,第三节 梁横截面上的正应力,例题1 简支梁受力如图所示，计算当梁按(1)、(2)两种情况放置时，(竖放、平放)。求：m-m截面上最大正应力,A,D,C,B,180,5kN,5kN,180,m,m,z,y,60,30,解：,竖着放好,第三节 梁横截面上的正应力,例题2 梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩60kNm作用。试求：横截面上点 a、b和c处的弯曲正应力,z,y,100,200,a,b,c,解：,第

46、三节 梁横截面上的正应力,例题3 T型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受负弯矩3.1kNm。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力,150,50,150,50,z,y,解：,1.确定形心,zC,2.截面对中性轴的惯性矩,第三节 梁横截面上的正应力,例题3 T型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受负弯矩3.1kMm。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力,150,50,150,50,z,y,zC,第四节 梁横截面上的切应力,一、矩形截面梁,dx,x,q,C,z,y,C,假设：横截面上剪应力的分布规律：,1、横截面上剪应力方向平行于剪力Q,2、剪应力沿截面宽度均匀分布,第四节 梁横截面上的切应力,第

47、四节 梁横截面上的切应力,:横截面上任意点处切应力,Q：横截面上的剪力,IZ:整个横截面对中性轴的轴惯性矩,b:所求点处的受剪宽度,SZ:所求点处横线以外部分面积对中性轴的静矩,第四节 梁横截面上的切应力,二、矩形截面的切应力分布：,第四节 梁横截面上的切应力,例题1 由三块木板胶合而成的悬臂梁，如图所示。试求：胶合面上的1、2点处剪应力和总剪力,150,100,解：,第四节 梁横截面上的切应力,例题1 由三块木板胶合而成的悬臂梁，如图所示。试求：胶合面上的1、2点处剪应力和总剪力,150,100,切应力互等定律,截面对称,胶合面上的总剪力,第四节 梁横截面上的切应力,例题2（1）试计算1-1

48、截面A-A位置上1、2两点处的正应力；（2）此截面最大正应力；（3）全梁最大正应力、最大剪应力,1m,q=60kN/m,2m,A,B,120,180,30,解：,(压),第四节 梁横截面上的切应力,例题2（1）试计算1-1截面A-A位置上1、2两点处的正应力；（2）此截面最大正应力；（3）全梁最大正应力、最大剪应力,1m,q=60kN/m,2m,A,B,120,180,30,第五节 强度条件,一、正应力强度条件：,塑性材料：由于塑性材料的拉=压，为使最大工作拉应力和压应力同时达到，梁截面通常做成对称于中性轴,塑性材料正应力强度条件,第五节 强度条件,脆性材料：由于拉压，为了充分利用材料，通常将

49、截面做成不对称于中性轴的形状,对脆性材料进行强度校核时,不仅需要验算最大弯矩所在截面上的应力情况,有时还需验算与最大弯矩符号相反的较大弯矩截面上的应力情况,第五节 强度条件,二、切应力强度条件：,第五节 强度条件,例题1 正方形截面的悬臂梁,尺寸及所受荷载如图所示,材料的=10MPa，现需在截面C的中性轴处钻一直径为d的圆孔,试求:在保证梁的正应力强度条件下,圆孔的最大直径d,q=2kN/m,160,160,d,解：,正应力的强度条件,第五节 强度条件,例题2 图示槽形截面悬臂梁,+=40MPa,-=120MPa。试校核其强度,m=70kNm,3m,3m,解：,25,25,200,50,150

50、,首先确定截面形心位置,第五节 强度条件,例题2 图示槽形截面悬臂梁,+=40MPa,-=120MPa。试校核其强度,m=70kNm,3m,3m,25,25,200,50,150,第五节 强度条件,例题2 图示槽形截面悬臂梁,+=40MPa,-=120MPa。试校核其强度,m=70kNm,3m,3m,25,200,50,150,25,第五节 强度条件,例题3 已知梁的横截面如图所示。横向荷载作用在对称平面内该截面上的弯矩M=12kNm，Q=12kN。试计算该截面上：（1）A、B两点处的正应力;(2)|max和|max;（3）沿aa的正应力和剪应力分布图,160,280,80,40,100,解：