有限元第四章 杆系结构的整体分析ppt课件.ppt

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1、第4章杆系结构的整体分析,坐标变换 由局部坐标下的单元刚度矩阵和单元等效节点荷载矩阵，通过坐标转换形成整体坐标下的单元刚度矩阵和等效荷载矩阵。集成规则 用最小势能原理（或虚位移原理）建立结构的的整体刚度方程，并有次导出直接刚度法的集成规则。约束处理 采用先处理法或后处理法进行边界约束处理，使结构的边界已知位移得以自动满足。解方程 选取与整体（结构）刚度矩阵存贮方法相应的线性方程组，求得结构的结点位移。求内力 从结构全部结点位移中取出单元的结点位移，经坐标转换变成局部坐标下杆端位移，在由单元刚度方程求得杆端内力，进一步还可求出反力和截面内力，为结构设计提供数据。,本章包含的内容,4-1坐标转换,

2、在讲结构离散时，需要建立二套坐标杆系：杆轴为 另两轴为惯性主轴的局部坐标。整个结构统一的笛卡尔坐标。上一章单元分析是在局部坐标下进行的，而实际结构的中的每个杆件（也即单元）方位除了连续梁之外各不相同，要考虑结点位移协调、受力平衡，很自然应该用统一的结构整体坐标系。显然，二套坐标下对应的物理量必然存在相互转换关系，在进行具体整体分析之前应该将局部的量转换成整体的量，或将整体的量转换成局部的量。这项工作称为坐标转换。,e1,e1,O,e2,e3,e2,e3,4-1-1 坐标系单位矢量间的转换关系,图 4-1 两坐标系及单位矢量示意,图4-1 为同原点两坐标系示意（非同原点额可经过坐标平移变成同原点

3、的，坐标的平移对转换关系无影响）。由矢量代数可以得到两组坐标单位向量的转换关系为：,（4-1）,以矩阵方程表示则有,（4-2）,矩阵 即为变换矩阵。显然，对直角坐标系，从图4-1和上式可得,（4-3）,也即变换矩阵是正交矩阵。,基于上述关系，设、两矢量在图示两坐标下可表为,显然有以下结论：,（4-6）,（4-5）,（4-4）,4-1-2各单元物理量的转换,符号约定：局部坐标下的物理量加上画线来标记；整体坐标下的物理量没有上画线。,1、位移转换,各类单元位移转换根据4-1-1均可写作,式中:味为整体坐标下的单元杆端位移矩阵，则为局部坐标下的单元杆端位移矩阵，称为位移变换矩阵或坐标变换矩阵。除了空

4、间刚架自由式单元外它们均可以写作,（4-7）,（4-8）,坐标变换矩阵因单元类型不同而异。,1.1 平面桁架单元,图4-2 平面桁架位移示意,由图4-2杆端位移（图中整体到局部坐标之间的夹角 逆时针为正）示意可得,（4-9）,1.2 空间桁架单元,图4-3 空间桁架位移示意,由图4-3杆端位移示意可得,（4-10）,1.3 平面自由式单元,由图4-4杆端位移示意可得,图4-4 平面自由式单元位移示意,（4-11）,1.4 交叉梁单元,由图4-5杆端位移示意可得,图4-5 交叉梁单元位移示意,（4-12）,1.5 空间刚架自由式单元,特点1：每个节点有沿单元坐标轴方向的两组位移 向量，即线位移（

5、ui、vi、wi）和角位移（xi、yi、zi）。它们都需要坐标变换。,空间梁单元与空间杆单元相比，有以下两个特点：,因此，坐标变换矩阵应为,特点2：空间梁单元单元坐标系中的y、z轴是单元横截面上的两个惯性主轴，可能是不能任意确定的，因而无法保证z轴一定在水平面内，即 在结构坐标系中的XZ平面内。这就导致矩阵的计算变得比空间杆复杂得多。但有两种情况可以空间杆单元的矩 阵。,具有轴对称截面的梁单元,截面内过形心的任一根轴皆可作为惯性主轴。因而，恒可将z轴取在水平面内。对于竖直空间梁单元，也可使z轴与结构坐标系的Z轴重合。因而可用竖直铰接杆单元的矩阵。,截面有一根惯性主轴轴在水平面内,对于没有截面惯

6、性主轴在水平面内的空间梁单元，就不能使用空间铰接杆单元矩阵。选择结构坐标系XYZ，单元坐标系xyz。并使：x轴沿ij，y、z是梁截面的两个惯性主轴。,(b),因z轴与xy平面垂直，故有,（a）,（b）,下面，用式（a）、（b）计算各有关值。,记,则,故,（c）,最后，用式（b）计算。,把式（c）代入后，得,（4-14）,综合上述结果，一般空间单元的矩阵为：,推导过程只需了解。式（4-13）和式（4-14）分别是空间位移变换矩阵和空间坐标变换矩阵。,1.6 有约束单元,对一端有力矩为零（铰接）约束的单元来说，可有以下变换矩阵,先固后铰单元,先铰后固单元,（4-15）,（4-15）,2力的转换,由

7、于杆端位移和杆端力是一一对应，图4-2至图4-5中的位移 均换成，则立即可得到各单元,或,（4-18）,（4-19）,自式（4-19）出发，考虑到局部坐标的单元刚度方程，则有,3单元刚度方程的转换,再将式（4-17）位移转换广西代入上式，则,如果记 为整体坐标单元矩阵,则有,即为整体坐标单元刚度方程。,（4-20）,（4-21）,4-1-3 整体单元刚度矩阵举例,【例题4-1】试求例题3-1桁架中、两单元的整体坐标单元刚度矩阵。,解：单元,根据式（4-20）可得整体坐标单元刚度矩阵成为,的矩阵。,实际也即在局部坐标单元刚度矩阵基础上，添加坐标y方向位移所对应得第二、四行和列元素全部为零。,单元

8、,根据矩阵乘法可得,由计算过程可知，任意倾角,时的桁架单元整体坐标单元刚度矩阵为,（4-22）,【例题4-2】试求图3-17所示但考虑轴向变形的钢架中、两单元的整体坐标单元刚度矩阵，,解：根据考虑轴向变形的局部坐标自由式单元的单元刚度矩阵式（3-33）,由此、单元局部坐标下的单元刚度矩阵分别为,单元,单元,由此可得坐标转换矩阵分别为,由刚度矩阵坐标转换公式,作矩阵乘即可得到整体坐标单元刚度矩阵，其元素数值如下所示,对照 和 可以发现对于倾角为 的单元，整体坐标单元刚度矩阵可以按一定规则由局部坐标单元刚度矩阵作变换得到，不需要作坐标变换的矩阵乘。这一变换规则，请读者自行总结。,提示 将分块刚度矩

9、阵作出零换位，即可得到，但不权威也无相关资料证实。,【例题4-3】试求【例题3-4】图3-19所示交叉各指定单元的整体坐标单元刚度矩阵。,解：由于、两单元的局部坐标与整体坐标相同，即,，故整体单元刚度矩阵和局部刚度矩阵也相同。,对于、单元，其中,，则由式（4-8）和（4-12）知,由刚度矩阵坐标转换公式,，作矩阵乘即可求得整体坐标单,元刚度矩阵,显然，正交交叉梁局部坐标和整体坐标相差 的单元整体刚度矩阵，和刚架单元具有相似的变化规律。,4-2结构整体分析,对杆系结构进行单元分析，仅仅是有限元分析中的第一步。我们的目的是要对整个结构进行分析，研究结构的整体性能。因此，在对结构的各单元分析完成后，

10、必须将单元分析的结果进行整合，对结构进行整体分析。整体分析的过程实际上是如何将单元分析的结果进行有效组合，建立整体刚度方程并求解结点位移的过程,即单元刚度方程、力和位移都认为是对于整体坐标的。根据对结点位移的编码方式，可以采用“先处理法”和“后处理法”来建立整体刚度方程。,4-2-1用最小势能原理进行结构整体分析,设结构被离散化为m个单元，总共有n个结点。又设第 单元的杆端位移为，杆端力矩阵，以及等效结点荷载矩阵为，单元刚度方程为：,单元的总势能为,式中：,为第 单元的整体刚度矩阵。,（4-23）,1、结构总势能,若记第 个结点的结点位移矩阵为，直接作用于该结点的荷载矩阵为。则记结构的结点位移

11、矩阵、直接结点荷载矩阵分别为,考虑到结构应该包含全部单元和结点，因此结构的总势能 EP应该是,EP=各单元势能之和+结点的外力势能,若第 结点是 个单元的汇交点，其中 个单元这一结点是单元局部编码 结点，个是局部编码 结点，则结点的外力势可表示为:,（4-24）,（4-25）,（4-26）,（4-27）,（a）结构离散示意,（b）单元结点受力,图 4-6 结点外力势计算图,显然式（a）结论适合于任何情况。由此式（4-26）可具体写为,例如图4-6所示结构结点的外力势为,式（a）中:,（a）,（b）,（4-28）,若引入如下矩阵符号,（4-31）,（4-30）,（4-29）,（4-32）,式（4

12、-31）中，diag表示“元素”对角线排列，也即为块对角矩阵。,根据矩阵乘法规则，不难验证式（4-28）可改写为：,（4-33）,2、位移转换,由单元杆端位移和结点位移之间的协调条件，可建立，之间的对应关系,式中:为反映位移协调的位移变换矩阵。,例如图4-6所示结构，其，为,由此可得位移变换矩阵 为,式中 为单位矩阵。,（4-34）,3、整体刚度方程,将式（4-34）代入（4-33）则可得,（4-35）,式中,令结构势能的一阶变分为零，即 则可得,或,式中：为结构原始单元综合等效结点荷载矩阵。,（4-36）,式（4-38）即为经过最小势能原理分析所得到的整体刚度方程。显然，对于其他非杆系结构，

13、只需注意到单元结点位移、结点力将因所分析问题的不同而异。单元的结点数取决于分析所采用的具体单元类型，按完全相同分析思路进行推导，所得的最终表达式将完全一致。,4-2-2 直接刚度法集装整体刚度方程规则,所谓后处理法，就是由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立刚度方程后再引入支承条件，进而求解结点位移的方法。运用这种方法时，假设所有结点位移均为未知量，按照顺序统一进行编码，如图所示的平面杆件单元。,1、后处理法,结点位移矩阵为：结点荷载矩阵为：求出各单元刚度方程后，根据平衡条件和位移连续条件，可以建立整个结构的位移法方程：,简写成：这里 为结构的整体刚度矩阵，有：,应该注意到，在建立方程的过程中，

14、我们假设所有结点都有位移。因此整个结构在外力作用下，除了发生弹性变形外，还可能发生刚体平动位移，这样各结点位移不能唯一确定。这说明整体刚度矩阵为一奇异矩阵，不能求逆矩阵，即根据整体刚度方程可得到无穷多个解。,实际上，在图所示刚架中，结点1和结点4均为固定端，其三个位移分量均为0，即有：这样，将上述支承条件引入到方程中，对整体刚度方程进行修改，可得：,对上述方程进行化简，可以得到两组方程：和,这样，利用第1式可以求得结点位移 和，再根据第2式可以求得支座反力 和。,(1),(2),所谓先处理法，就是先引入支承条件，根据支承条件仅对未知的自由结点位移分量编号，得到的位移矩阵中不包含已知的约束位移分

15、量，即可以直接得到方程求解自由结点位移分量。,2、先处理法,如图所示的平面刚架结构ABCD，由于在A处和D处均为固定端，其位移为0，故位移编码均为0，在C处为铰接，故BC杆在C端的角位移与DC杆在C端的角位移不相同，因此在C处编两个结点3和4，但结点3和4的横向位移和竖向位移相同，故采用相同的编号，各结点位移编码如图所示。,图4-7先处理法位移编码示意图,由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵通常采用刚度集成法。其计算过程可以分为两步：首先求出各单元的贡献矩阵，然后将它们叠加起来形成整体刚度矩阵。但这样处理在实际中很少采用，因为在编程过程时需先将各单元的贡献矩阵储存起来，而各单元贡献矩阵的阶数与整体刚

16、度矩阵的阶数相同，因此占用的空间非常巨大，不利于节约资源，并且在实际中有可能耗尽所有资源。故在实际中并不是采用贡献矩阵法，而是利用各单元的定位数组，采用“边定位，边累加”的方法。,所谓单元的定位数组，就是将单元 的始端及末端的位移编码排成一行（始端在前，末端在后），写成如下的形式：如图中，各单元的定位数组分别为：这样处理，得到的整体刚度矩阵与叠加所有贡献矩阵得到的结果完全一致，但可以节约大量的存储空间。,如图所示的结构有3个单元，5个结点，7个独立的位移分量，这样其整体刚度矩阵应为 阶矩阵，即：,对于单元，其单元定位数组为，我们将定位数组标记在单元刚度矩阵的上面和右侧，其与单元刚度矩阵一起写成

17、如下形式：,各元素在整体刚度矩阵中的位置为：,单元的刚度矩阵和它的定位数组为：中各元素在整体刚度矩阵中的位置为：,单元的刚度矩阵和它的定位数组为：中各元素在整体刚度矩阵中的位置为：,这样，按照以上所讲的定位方法，将、中的相关元素累加到整体刚度矩阵对应的元素上，可以得到整体刚度矩阵为：,在实际编程过程中，集成整体刚度矩阵的过程可以概括为：（1）根据位移编号，建立整体刚度矩阵的存储空间，并置0，若位移个数为n，则整体刚度矩阵为阶矩阵。（2）对每个单元，根据其定位数组，将其元素累加到整体刚度矩阵中对应的元素上，直到处理完所有的单元。,图4-8 例题4-2刚架所受荷载,图4-9 位移编码,【例题4-4

18、】试用后处理法建立例题4-2结构在图4-8所示荷载下的结构刚度方程。同时用先处理法建立在图4-9编码下的结构刚度方程。,4-2-3 直接刚度法集装整体刚度方程举例,解：后处理法集成 设结点1的支座反力分别为 结点2支座反力为 则直接作用结点荷载矩阵根据结点号集成结果为 单元的，所以等效结点荷载整体坐标下的和局部坐标下的相同，即、单元上无荷载，因此。基于此，根据集成规则可得结构等效结点荷载矩阵为,由此可得综合结点荷载矩阵为,利用例题4-2的单元整体刚度矩阵结果，按直接刚度法集成可得结构刚度矩阵如下所示,其中非零的 的子矩阵如下,由于对称性，。有了上述结果，即可得到后处理法的结构刚度方程。,先处理

19、法集成 此结构各单元的定位向量和符号表达式的结构刚度矩阵已在4-2-2中给出，将各单元的刚度矩阵具体元素数值代入后可得,显然，这一结果和后处理法中划去1、2结点对应的子矩阵后所得结果相同。后处理法必须对刚度矩阵引入边界条件后才能求解，而且是解12阶的方程。先处理法不需要再处理零位移约束条件，只需要解6阶的方程。因此当前的程序都是按先处理法设计的。根据结点位移码，由式4-9直接可得,由单元（2）的等效结点荷载可得,从而可得综合结点荷载矩阵为,结构刚度矩阵方程为,4-3 整体刚度性质,4-3-1 性质,对称性 结构整体刚度矩阵是有单元刚度矩阵集装得到的，而整体单元刚度矩阵是又局部单元刚度矩阵经过坐

20、标变换得到得。由于局部单元刚度是对称的，所以整体刚度矩阵也必然是对称的。奇异性 由自由式单元刚度矩阵用后处理法集装成德整体原始刚度矩阵具有奇异性。这是因为，1）自由式单元刚度矩阵本身是奇异的；2）结构是无任何约束的，因此在给定的外荷载作用下，将产生运动，不能得到结点位移的唯一解。稀疏带状 结构整体刚度矩阵是个稀疏矩阵，他的绝大多数元素是零，当合理编码是只在刚度矩阵主对角线两侧一窄的带状区域存在非零元素。这是因为，结构中的任一结点通过单元只与其邻近的少数结点相关联，与结点无单元连接的其他结点由集成规则可知其元素必然为零。,仅当 时，上式变成,4-3-2 元素的物理意义,结构整体刚度方程,由此可见

21、，整体刚度矩阵元素 的物理意义为：当结构仅发生第 位移分量单位位移时，所需要施加的第 个位移分量方向的外力（广义力）。根据这一物理意义，在节能型手算分析时，可在使结构仅产生 条件下，根据位移法的形常数和上述物理意义直接求得。,4-4 整体分析的物理实质,式（4-28）给出了结构的总势能为,由于单元分析已使，所以在整体分析令 时，可得,利用式（4-29）、式（4-30）和式（4-34），上式可改写成,由变分 的任意性，故可得,将式（4-39）代入式（4-45），则有,（4-44）,（4-45）,（4-46）,考虑到 的具体表达式（4-42），则不难理解式（4-45）所代表的是全部结点平衡条件。这

22、就是有限元整体分析的物理实质。,本课件无该公式,例如教材图4-7所示结构，设结点1至4的外荷载分别为，。由式（4-46）计算有,显然这就是结点上外荷载与杆端力（结点力）平衡的条件。,4-5 边界条件的处理,从集装规律讨论可知，对于先处理法，实际上已经将为零位移的约束条件进行了处理。但计算问题可能还存在非零已知支座位移，此外，当用后处理法建立结构整体刚度方程时，刚度矩阵式奇异的。因此，为了从整体刚度方程求解出实际问题的解答，必须进入支承条件，修改整体刚度方程。,4-5-1“划零置一”法,设结点位移向量中第 个位移 已知，对应整体刚度方程有如下修改。（1）将 改为（2）整体刚度矩阵 中的第 行第

23、列中，将主对角线元素 改为1，其他元素改为0。经修改后第 个方程就改为，满足了边界条件，同时也考虑了他对其他方程的影响,4-5-2 乘大数法,仍设结点位移向量中第 个位移 已知，应对第 个方程进行如下修改。在 和 中将对角线元素 改为 GKrr，将 改为，其中 G为一大数通常为106108（双精度是也可更大），经过修改后，第 个方程变为在上式等式两边同除以 GKrr，由于G是很大的数，故可得,即,对于后处理法建立的刚度方程，经过上述修改后在整个刚度方程完全满足了结构在支座处的位移边界条件，如果边界位移条件足以消除结构的刚性位移，则修改后的刚度矩阵改称为整体刚度矩阵，此时他已是非奇异的对称矩阵，

24、通过求解结构刚度方程，即可求得未知数的结点位移。,4-5-3 斜支撑处理（略）,附;边界条件的处理,1铰结点在杆系结构中，除了刚性结点外，通常会遇到一些杆件通过铰结点与其它杆件联结，通过铰支座与其它杆件铰接和刚性接触。对于这样的铰结点，具有如下的性质：铰结点上各杆具有相同的线位移，但截面的转角位移不相同；结点上具有铰接杆端不承受弯矩作用。,对于这样的结点，我们在对其进行单元划分时，通常考虑在D处设置2个结点。按照先处理法，对图示结构进行位移编码，如图4-10所示。,图4-10铰结点的处理示意图,2.4.2.2弹性支承点在实际工程中，有时会遇到弹性支承的情况如下图所示，这时一般将弹性支座看作是在

25、结构约束点沿约束方向的一个弹簧，弹簧的刚度系数为，在数值上等于使弹簧支座沿约束方向产生单位位移时所需施加的力。,设结构的第i个结点位移分量 为弹性支座约束，弹簧的刚度系数为，则结构产生位移时所引起的支座反力为：这里负号表示支座反力方向与约束点位移方向始终相反。作用在受约束的结点上，它是结点外力的一部分，由整体刚度方程可知，第个平衡方程应为：式中 为原有的第i个结点上的荷载分量。进行整理可得：这样就引入了弹性支承的约束条件。根据以上的分析，引入弹性支承的具体做法可以归结为：先解除弹性支承点约束，在i处给一个结点号，形成总刚度矩阵，然后在总刚度矩阵中将第i行的主元素加上弹性支承的刚度系数，此时第

26、i 行变为：,4-6 单元内力的计算,经过整体分析并且引入了边界已知位移条件后，只要杆件体系是几何不变的结构，整体刚度方程一定是非奇异的。如果整体刚度方程奇异，则表明杆件体系是可变的。因此，利用整体刚度矩阵的奇异性，可进行体系的可变分析但不能确定是怎样可变的。对于杆系结构，调用与整体刚度矩阵在计算机里储存方法相应的线性方程组揭发，即可求得结构全部结点位移。有了位移自然不难解决结构的刚度问题。但实际工程设计中，感兴趣的是结构的内力和应力。下面假设在求得了结构结点位移矩阵的情况下，说明杆系结构各单元杆端力和但单元任一截面内力的计算问题。,4-5-3 单元杆端内力（轴力、剪力、弯矩等）的计算,根据单

27、元结点信息（两端结点整体编码）或单元定位向量（单元整体位移编码向量），即可从结构位移矩阵 中取出该单元的整体坐标位移矩阵。根据单元相关信息，可形成单元坐标转换矩阵。又根据单元分析和位移坐标转换可知,由此可得,上式即为单元杆端内力的计算公式。由此可见 包含两部分：其一为杆端位移引起的杆端内力，也即；另一为等效结点荷载或固端力引起的杆端力，显然只有单元上有荷载作用时才有此项。内力和杆端力符号规定，前者轴力受拉为正，剪力是杆段顺时针旋转为正，弯矩一般规定顺时针为正，后者这是沿坐标正向为正。,4-5-3 单元杆端内力（轴力、剪力、弯矩等）的计算,图4-12 截面内力计算示意,对于杆系结构来说，有了杆端

28、内力即可将单元视为静定梁。利用截面法列平衡方程，即可求的单元内任意截面的内力。如图4-12所示的悬臂梁为例，建立内力计算公式如下：,（4-52）,有了p(x)，q(x)的变化规律，由上式即可得到具体荷载的内力公式。,4-7 程序调试中关键量的速算,4-7-1 整体刚度矩阵元素速算确定方法,整体刚度矩阵元素 物理意思是：仅仅结构第 个位移分量产生单位整体位移时，第 个相应的“附加约束”上的反力。计算 的速算方法步骤为：（1）如果第 个位移和第 个位移分量间没有直接的单元连接，。否则继续以下步骤；（2）从结构中取出和 相关的（存在直接连接的）单元部分，所取出部分的结点认为均有限制位移的约束；（3）

29、令取出部分结构仅产生，作单位弯矩图（或单位内力图）；（4）像位移法一样，根据形常数和结点或隔离体平衡条件与 相应的“附加约束”上的总反力，其值即为。,参考教材87页例题4-5和例题4-6,4-7-2 综合等效结点荷载元素的速算确定方法,单元局部等效结点荷载和单元固端力之间的关系为,速算方法就是利用这一关系和等直杆的载常数获得单元的等效结点荷载。将等效结点荷载按其局部坐标方向作用于结构结点上，再与结构结点荷载一起投影到整体坐标系下，便可获得综合等效结点荷载元素的数值。计算综合等效结点荷载矩阵元素的速算步骤为：（1）根据单元荷载情况和两端固定梁（视位移编码情况，也可以不是两端固定梁）的载常数，将单

30、元上的荷载按单元局部坐标方向将固端里改变方向“移置”到结点上；（2）将局部坐标方向的等效结点荷载和直接结点荷载向整体坐标方向投影；（3）根据整体位移码，将相同编码上全部结点荷载分量累加即可得到与此位移码相应的综合等效结点荷载元素。,参考教材90页例题4-7和4-8,4-7-2 已知结构的结点位移求指定单元杆端力速算确定方法,单元杆端力的计算公式,式中整体坐标下的单元结点位移 是从结构结点位移 中按定位向量取出的，整体坐标下的单元结点位移与局部坐标系下的单元结点位移之间的关系就是一个坐标转换（或投影）关系，各类单元的 矩阵可以算出，对于平面问题，考虑到只有结点位移存在转换，转角不需要转换。根据这

31、些特点，速算方法的步骤为：（1）根据单元定位向量从结构位移矩阵中取出单元整体坐标下的杆端位移矩阵；（2）将单元整体端线位移分量转换成局部坐标系下的单元杆端线位移，其公式为：,为 与 轴的夹角。,（3）根据所需求的杆端力元素，由形常数写出非零杆端位移引起的该元素的计算公式并计算；（4）将各非零结点位移引起的该元素和荷载引起的固端里元素相加，即可得到该元素的值。,附：杆系结构分析算例,应用有限元位移法对杆系结构进行分析，如果按照“先处理法”的思想，其步骤可以归结为如下：（1）对单元进行划分，整理原始数据，对单元和结点进行编号，确定每个单元的局部坐标系整个结构的整体坐标系。（2）计算局部坐标系中的单

32、元刚度矩阵。（3）确定每个单元的坐标转换矩阵，计算整体坐标系下的单元刚度矩阵。,（4）根据各单元的位移分量编号，形成单元的定位数组，按照“对号入座，同号叠加”的方法，形成结构的整体刚度矩阵。（5）计算总的结点荷载矩阵。在这一步里，首先必须将非结点荷载转换成等效结点荷载，再与对应的结点荷载叠加，形成总的结点荷载矩阵。（6）求解结构的整体刚度方程，计算未知的结点位移矩阵。（7）计算各单元的杆端力。（8）对计算结果进行整理，如果需要，计算内力图。,例,如图所示的刚架结构ABC，各杆截面尺寸相同，材料性质一样，求刚架的整体刚度矩阵。,杆长：截面面积：弹性模量：截面惯性矩：,（1）单元划分、建立局部坐标

33、系和整体坐标系（如图2.13所示），并对数据进行整理，对单元和结点编号。,（2）求局部坐标系中的单元刚度矩阵。由于单元、的尺寸完全一样，因此其单元刚度矩阵一样，根据（2-30）式可以得到：,（3）求整体坐标系中的单元刚度矩阵。对于单元，其局部坐标系与整体坐标系的夹角为，故根据（2-40）式，计算其坐标转换矩阵为：单元的定位数组为：根据（2-46）式计算单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：,材料力学,84,对于单元，由于其局部坐标系与整体坐标系一致，因此两种坐标系下的单元刚度矩阵相同，即有：（4）形成整体刚度矩阵。根据前面介绍的方法建立整体刚度矩阵如下：,（5）求总结点荷载。首先，求各单元在局部

34、坐标系中的固端内力。对于单元（这里应该注意，其局部坐标系的轴方向向左)，可得：对于单元，可得：因此有：,其次，求整体坐标系下各单元的等效结点荷载。对于单元，单元，因此可以求得各单元的等效结点荷载为：,第三，求刚架等效结点荷载矩阵。按照“同号叠加”的方法有：第四，求直接作用在结点上的荷载，最后，求总的结点荷载矩阵,（6）求解结构的整体刚度方程，计算未知的结点位移矩阵。这里的整体刚度方程为：,解得：,（7）计算各单元的杆端内力。首先从求出的结点位移中取出各单元在整体坐标系下的杆端位移，有：,然后计算杆端内力。,对于单元：,对于单元：,（c）剪力图,（b）弯矩图,（d）轴力图,（a）位移曲线,图2.17,结束,The end,