高等代数知识点总结汇总课件.ppt
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1、总结,.精品课件.,1,总结高等代数多项式线性代数矩阵向量方程组计算.精品课件.1,2,.精品课件.,多项式一元多项式多元多项式2.精品课件.,基本概念:次数:最基本的概念和工具整除:多项式之间最基本的关系带余除法:最基本的算法,判断整除.最大公因式:描述多项式之间关系的复杂程度互素:多项式之间关系最简单的情形既约多项式:最基本的多项式根:最重要的概念和工具,3,.精品课件.,基本概念:一元多项式3.精品课件.,重要结论:带余除法定理对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x),有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x),r(x)=0或degr(x)degg(x).最大公
2、因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式,且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.,4,.精品课件.,重要结论:4.精品课件.,因式分解唯一定理 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积,且不计因子次序和常数因子倍时,分解唯一.,标准分解定理 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是非零常数,p1,pt,是互不相同的首一既约多项式,n1,nt是正整数.进一步,a,p1,pt,n1,nt由f唯一确定.,重因式
3、f无重因式当且仅当f与其导式互素.,5,.精品课件.,因式分解唯一定理 标准分解定理 重因式 5.精品课件.,代数学基本定理:下列陈述等价,复数域上次数1的多项式总有根复数域上的n次多项式恰有n个根复数域上的既约多项式恰为一次式复数域上次数1的多项式可分解成一次式之积.实数域上的次数1的既约多项式只有无实根的二次式实数域上次数1的多项式可分解成一次式和二次式之积,6,.精品课件.,代数学基本定理:6.精品课件.,实数域上的标准分解定理 在实数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,xt 是f全不互不相同的根,p1,pt是互异、首一、无实根的二次式.,复数域上的
4、标准分解定理 在复数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,xt 是f全部互不相同的根,n1,nt分别是这些根的重数.,7,.精品课件.,实数域上的标准分解定理 复数域上的标准分解定理 7.精品,多项式作为函数:两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)它们在k+1个点的函数值相等,这里k是它们次数的最大者.设f(x)anxn+.+a1x+a0,若f(x)在n+1个点的函数值为0,则f(x)恒等于0.,8,.精品课件.,多项式作为函数:8.精品课件.,Eisenstein判别法:设 是整系数多项式,若有素数p使得 则f(x)是有理
5、数域上的既约多项式.有理根:有理根的分母整除首项系数,分子整除常数项,9,.精品课件.,Eisenstein判别法:9.精品课件.,重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0,则该多项式必为0.命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和,fn0,且其中fi是0或i次齐次多项式,0in,fi称为f的i次齐次分量.,基本概念:次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式,对称多项式基本定理 每个对称多项式,都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式,.,10,.精品课件.,重要结论 基本概念:多元多项式对称多项式基本定理 每个对,11,.精品课件.,矩阵运算行列式初等变换特殊矩阵11
6、.精品课件.,12,.精品课件.,运算及其关系12.精品课件.,13,.精品课件.,13.精品课件.,14,.精品课件.,14.精品课件.,;,15,.精品课件.,;15.精品课件.,Laplace定理(按第i1,.,ik行展开),;,分块三角形行列式,16,.精品课件.,Laplace定理(按第i1,.,ik行展开);分块三,Cauchy-Binet公式 设U是mn矩阵,V是nm矩阵,mn,则,17,.精品课件.,Cauchy-Binet公式17.精品课件.,18,.精品课件.,18.精品课件.,对单位矩阵做一次初等变换,对A做一次行变换=用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换=用相应的初
7、等矩阵右乘以A,19,.精品课件.,对单位矩阵做一次初等变换对A做一次行变换=用相应的初等矩,对于mn矩阵A,B下列条件等价AB,即A可由初等变换化成B有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA,B的标准型相同,A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵,A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于,矩阵等价,20,.精品课件.,对于mn矩阵A,B下列条件等价 A,B行等价有可逆矩阵,可逆矩阵vs列满秩矩阵,对于n阶矩阵A,下列条件等价A是可逆矩阵|A|0秩A=n有B使得AB=I或BA=IA是有限个初等矩阵之积A(行或列)等价于IA的列
8、(行)向量组线性无关方程组Ax=0没有非零解对任意b,Ax=b总有解对某个b,Ax=b有唯一解A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C)对于mr矩阵G,下列条件等价G是列满秩矩阵,G有一个r阶的非零子式秩G=列数G有左逆,即有K使得KG=I有矩阵H使得(G,H)可逆G行等价于G的列向量组线性无关方程组Gx=0没有非零解对任意b,若Gx=b有解则唯一对某个b,Gx=b有唯一解G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C),21,.精品课件.,可逆矩阵vs列满秩矩阵对于n阶矩阵A,下列条件等价21.精品,设A的秩数为r,则A有如下分解,其中P,Q为可逆矩阵 A=PE,其中P可逆,E是秩数
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