函数的单调性与导数 ppt课件.ppt

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1、1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数,过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.,过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！,1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.（重点）2.利用导数判断函数单调性.（难点）3.掌握利用导数判断函数单调性的方法.,图(1)表示高台跳水运动员的高度 随时间 t 变化的函数 的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 随时间 t 变化的函数 的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,a,a,b,b,t,t,v,h,O,

2、O,(1),(2),探究：函数的单调性与其导函数的关系,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)是减函数.相应地,(1),(2),O,O,O,O,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4,或 x 1时,当 x=4,或 x=1时,试画出函数f（x）图象的大致形状.,当 x 4,或 x 1时,可知 在这两个区间内单调递减;,当 x=4,或 x=1时,综上,函数 图象的大致形状如图所示.,y=,例2 判断下列函数的单调性,并求

3、出单调区间:,因此,函数 在 上单调递增.如图(1)所示,单调递减,单调递增,单调递减,根据导数确定函数的单调性步骤：,1.确定函数f(x)的定义域.,2.求出函数的导数.,3.解不等式f(x)0,得函数单调增区间;解不等式f(x)0,得函数单调减区间.,总结提升,4.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.(3)单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“

4、”连接，而只能用“逗号”隔开.,例4（补充例）已知函数f(x)ax33x2x1在(，)上是减函数，求实数a的取值范围,【解析】f(x)3ax26x1，由题意得3ax26x10在(，)上恒成立当a0时，6x10，x 不满足题意，a0.当a0时，由题意得，解得a3.综上可知，实数a的取值范围是a3.,1.函数y=3xx3的单调增区间是()A.(0，+)B.(，1)C.(1，1)D.(1，+),C,2.（2014新课标全国2）若函数 在区间 单调递增，则k的取值范围是()A.B.C.D.,D,3函数y=xlnx在区间(0，1)上是()A.单调增函数 B.单调减函数C.在(0,)上是减函数，在(,1)

5、上是增函数 D.在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数,C,4函数y=x2(x+3)的单调递减区间是，单调递增区间是.,(2，0),(，2),(0，+),5函数f(x)=cos2x的单调递减区间是.,做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=x3+x在(-，+)上的图象是_(填“上升”或“下降”)的.(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为_.(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是_.,【解析】(1)由于y=3x2+10对于任何实数恒成立，所以函数y=x3+x在(-，+)上是增函数，则图象是上升的.答案：上升(2)因为f(x

6、)=3ax2+2bx+c0恒成立，则得a0，且b23ac.答案：a0，且b23ac,(3)令y=3x2+2x-50，得x1.答案：(-，)，(1，+),【思维拓展】(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数，f(x)0是否一定成立?提示：不一定成立.例如，y=x3在R上是增函数，但其在0处的导数为零，故f(x)0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要条件.,(2)函数y=x2与y=x3在y=0的点是函数的临界点吗?提示：因为函数y=x2的导数是y=2x，在y=0的点左边和右边导数符号不同，是函数单调递增与单调递减的临界点；而函数y=x3的导数是y=3x2，在y=0的点左边和右边导数符号相同，不是函数单调递增与单调递减的临界点.,1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求(2)解不等式 0(或 0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）,2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求(2)确认 在(a,b)内的符号(3)作出结论,