函数微分的概念解读ppt课件.ppt

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1、2.4.1 函数微分的概念,2.4.2 微分的计算,2.4.3 微分形式的不变性,2.4.4 微分的应用,2.4 函数的微分,若给定函数在点处可导,根据导数定义有,.,由定理1.2知，其中是当 时的无穷小量，上式可写作,.(2.4.1),2.4.1 函数微分的概念,返回,1/16,(2.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之和第一项 是的线性函数，第二项，当 时是比 高阶的无穷小量因此，当 很小时，我们称第一项 为 的线性主部，并叫做函数的微分,2.4.1 函数微分的概念,返回,2/16,定义2.3设函数在点 处有导数，则称为在点处的微分，记作，即,，(2.4.2),此时，称 在点 处是可微

2、的.,例如，函数 在点处的微分为,2.4.1 函数微分的概念,返回,3/16,函数在任意点的微分，叫做函数的微分，记作,(2.4.3),如果将自变量当作自己的函数，则有,，,说明自变量的微分就等于它的改变量，于是函数的微分可以写成,2.4.1 函数微分的概念,返回,4/16,，(2.4.4),也就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商,2.4.1 函数微分的概念,返回,5/16,解,；,.,2.4.1 函数微分的概念,返回,6/16,例1求函数在，时的改变总量及微分,2.4.1 函数微分的概念,返回,7/16,曲线坐标的改变量,微分的几何意义示意图动画演示,函数

3、微分的几何意义就是：在曲线上某一点处当自变量取得改变量时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量,2.4.1 函数微分的概念,返回,8/16,例2 求下列函数的微分：,解(1),所以,2.4.2 微分的计算,返回,9/16,，,无论是自变量还是中间变量，的微分总可以用与的乘积来表示函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性,2.4.3 微分的形式的不变性,返回,10/16,利用微分可以进行近似计算.,这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值,由微分的定义知，当很小时，有近似公式,，,，,2.4.4 微分的应用,返回,11/16,即,这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值,2.4.4 微分的

4、应用,返回,12/16,解令，因为相对于较小，可用上面的近似公式来求值,2.4.4 微分的应用,返回,13/16,例3设某国的国民经济消费模型为,其中：为总消费(单位：十亿元)；为可支配收入单位：十亿元).当时，问总消费是多少？,(十亿元),2.4.4 微分的应用,返回,14/16,2.4.4 微分的应用,例41830年代后期，法国生理学家普瓦泽伊（Jean Poiseuille）发现了今天我们仍在用来预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢复正常的血液流动他的公式为,即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管的体积V等于一个常数乘以管半径的四次幂问：半径r增加10%对V的影响有多大？,返回,15/16,解 因为,所以，r 的微分和V的微分之间的关系为,V 的相对变化为,即V的相对变化为4倍的r 的相对变化，故10%的r 增加将产生40%的流量增长,返回,16/16,2.4.4 微分的应用,返 回,