第四章方差分析课件.ppt

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1、t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。,t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，,第四章 方差分析,第四章 方差分析,方差分析(Analysis of variance，ANOVA),又叫变量分析，是英国著名统计学家R.A.Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。,方差分析(Analysis of variance，ANOV,观测值不同的原因,处理效应(treatment effect)：处理不同引起,试

2、验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致。,方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。,在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。,观方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处,方差分析的基本思想,总变异,处理效应,试验误差,方差分析的基本思想总处试,方差分析的目的,确定各种原因在总变异中所占的重要程度。,处理效应,试验误差,相差不大，说明试验处理对指标影响不大。,相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。,方差分析的目的确定各种原因在总变异中所占的重要程度。处理效应,方差分析的用途,1.用于多个样本平均数的比较,2.分析多个

3、因素间的交互作用,3.回归方程的假设检验,4.方差的同质性检验,1.用于多个样本平均数的比较,2.分析多个因素间的交互作用,方差分析的用途1.用于多个样本平均数的比较2.分析多个因,平方和与df的分解,方差是离均差平方和除以自由度的商,要把一个试验的总变异依据变异来源分为相应的变异，首先要将总平方和和总df分解为各个变异来源的的相应部分。,方差分析的基本思想引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。,平方和与df的分解方差是离均差平方和除以自由度的商2,平方和与df的分解,处理间平均数的差异是由处理效应引起的：,处理内的变异是由随机误差引起：,平方和,(x-xi),(xi x),

4、平方和与df的分解平均T=xij TkTiT2T1,平方和与df的分解,根据线性可加模型，则有：,平方和,(xi x),(x-x),(x-xi)+,(x-x)2 2,(x-xi)+,(xi x),每一个处理n 个观测值离均差平方和累加：,(x-xi)2+,2(x-xi),(xi x),+(xi x)2,0,平方和与df的分解根据线性可加模型，则有：平(xi x,？,(xi x)0(x-xi)21 n？平,平方和与df的分解,总平方和 SST,处理内或组内平方和 SSe,处理间或组间平方和 SSt,平方和,把k 个处理的离均差平方在累加，得,平方和与df的分解(xi x)(x-xi)由于,平方和

5、与df的分解,平方和,总平方和处理间平方和+处理内平方和,SST SSt+SSe,SST,(x-x)2,1,n,1,k,SST x2-C,令矫正数C，则：,平方和与df的分解平总平方和处理间平方和+处理内平方和,平方和,SSt,(xi x)2,=-,1,k,xi,=k,x,xi,=,x,平SSt n1 k(xi x)2 k n,平方和与df的分解,总平方和：SST x2-C,处理内平方和：SSe=SST-SSt,平方和,平方和与df的分解总平方和：SST x2-C 处理间,自由度,平方和与df的分解,总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：,dfT=dft+dfe,总 df,处理间df,

6、处理内df,自平方和与df的分解总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自,平方和与df的分解,自由度,dfT=nk-1,dft=k-1,dfe=dfT-dft,=nk-1-(k-1)=nk-k=k(n-1),平方和与df的分解自由度dfT=nk-1dft=k-,平方和与df的分解,根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差（st2）和处理内方差（se2）：,平方和与df的分解根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理,平方和自由度方差处理间处理内总变异,统计假设的显著性检验,F 检验,统计假设的显著性检验,确定各种原因（处理效应、试验误差）在总变异中所占的重要程度。,处理间的方差（st2

7、）可以作为处理效应方差的估计量处理内的方差（se2）可以作为试验误差差异的估计量,方差分析的目的:,确定各种原因（处理效应、试验误差）在总变异中所占的重要程,二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。,如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。,处理效应,试验误差,二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占,F检验,在进行不同处理差异显著性的F 检验时，一般是把处理间方差作为分子，称为大方差，误差方差作为分母，称为小方差。,无效假设是把

8、各个处理的变量假设来自同一总体，即处理间方差不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理间的样本方差t2 与误差的样本方差e2 相等：,Ho：t2 e2,HA：t2 e2,F检验 在进行不同处理差异显著性的F 检验时，一般是把,F F0.05 P0.05,处理间差异不显著,F F0.05 P0.05,处理间差异显著,F F0.01 P0.01,处理间差异极显著,否定Ho,否定Ho,接受Ho,我们确定显著标准水平后，从F 值表中查出在dft和dfe下的F值,F F0.05 P0.05 处理间差,F检验,综上所述，可归纳成方差分析表(analysis of v,多重比较,多重比较,多重比较（multi

9、ple comparisons）,要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，这种差异显著性的检验就叫多重比较。,统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。,概念,多重比较,多重比较（multiple comparisons）,常用方法,常用方法最小显著least significant dif,LSD法的实质是两个平均数相比较的t检验法。,LSR法克服了LSD法的局限性，采用不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均数间的所有相互比较。,LSD法的实质是两个平均数相比较的t检验法。LSR法,(一)最小显著差数法（LSD法）,1.检验的方

10、法,(1)先计算出达到差异显著的最小差 数，记为LSD,(一)最小显著差数法（LSD法）1.检验的方法(1)先计算出,(一)最小显著差数法（LSD法）,1.检验的方法,(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSD,由t=得,LSD0.05=t0.05,LSD0.01=t0.01,=,se2(+),当n1=n2时：,S,平均数差数标准误的计算公式：,处理内方差,(一)最小显著差数法（LSD法）1.检验的方法(1)先计算出,1.检验的方法,(2)再用两个处理平均数的差值绝对值 与LSD比较：,拒绝Ho,接受Ho,(一)最小显著差数法（LSD法）,1.检验的方法(2)再用两个处理平均数的差值绝对

11、值,不同品种猪4个月增重量的方差分析表,例,=,2se2,查t值表，当误差自由度dfe=12时，,=2.179 2.1346=4.6513(kg),=3.056 2.1346=6.5233(kg),t0.05 2.179，t0.01 3.056,变异来源SSdfs2FF0.05F0.01品种间103.94,2.结果表示方法,(一)最小显著差数法（LSD法）,2.结果表示方法(一)最小显著差数法（LSD法）梯形法标记字,标记字母法,首先将全部平均数从大到小依次排列。然后在最大的平均数上标字母a，将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著的（LSD）都标上字母a，直至某个与之相差显著的则标字母b。

12、再以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均数比较，凡差数差异不显著的在字母a的右边加标字母b。然后再以标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，凡差数差异不显著的继续标以字母b，直至差异显著的平均数标字母c，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。,(一)最小显著差数法（LSD法）,标记字母法 首先将全部平均数从大到小依次排列。然后在最,标记字母法,例,不同品种间4个月增重量差异显著表,a,b,b,b,A,A,B,B,B,xi,结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异

13、不显著。,LSD0.05=4.6513,LSD0.01=6.5233,标记字母法品种平均数差异显著性0.050.01大白3,标记字母法,在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。,差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。,(一)最小显著差数法（LSD法）,标记字母法在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不,梯形比较法,又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数和LSD值比较：,差数 LSD0.05,差异显著*,差数 LSD0.01,差异极显著*,差数 LSD0.05,差异不显著,(一)最小显著差数法（LSD法）,梯形比较法

14、又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于,例,不同品种间4个月增重量差异显著表,xi,结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著,例不同品种间4个月增重量差异显著表品种平均数差异显著性大白3,LSD法应用的说明,(一)最小显著差数法（LSD法）,1.进行LSD检验时，这一对平均数的比较是检验之前已经指定的，且经F检验证实平均数间的差异已达到显著之后，才可以进行LSD检验。,LSD法应用的说明(一)最小显著差数法（LSD法）1.进行,3.LSD 法适用于各处理组与对照组的比较，不适用于处理组间的比较。,2.LSD 法实质上是t

15、检验，但LSD 法是利用F 检验中的误差自由度dfe 查t 临界值，利用误差方差se2 计算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了t检验过程中的三个弊病，但是LSD法仍然存在提高犯错误的概率，所以进行LSD检验必须限制其应用范围。,3.LSD 法适用于各处理组与对照组的比较，不适用于处理组,(二)最小显著极差法（LSR法）,是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，可用于平均数间的所有相互比较。,新复极差法,（New multiple rang method）SSR法,q 检验,（q-test）,(二)最小显著极差法（LSR法）是指不同平均数间用不同的,新复极差法（SSR）,SSR法又称Du

16、ncan法。无效假设H0为：A B=0,(1)按相比较的样本容量计算平均数标准误:,当n1 n2n时,(2)根据误差方差se2所具有自由度dfe和比较所含平均数个数M，查SSR值（附表8），然后算出最小显著极差值（LSR值）。,(3)将各平均数按大小顺序排列，用各个M值的LSR值，检验各平均数间极差的显著性。,新复极差法（SSR）SSR法又称Duncan法。无效假设H0,例,例：n=4，se2=9.113，dfe12,查附表8，当dfe 12，M2时，,LSR0.05 1.50943.084.65,LSR0.01 1.5094 4.326.52,当M3，M4时，按同理计算，将结果列于下表：,S

17、SR0.05 3.08，SSR0.014.32,例例：n=4，se2=9.113，dfe12查附表8,不同品种4个月增重量试验LSR值（新复极差法）,大白与沈黑：M4，极差6.85.00,大白与沈白：M3，极差5.14.88,大白与沈花：M2，极差3.04.65,M=相隔数+2,不同品种4个月增重量试验LSR值（新复极差法）M234SSR,结论：猪的4个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。,猪品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）,品种平均数差异显著性0.050.01大白30.9aA,也称Newman-keuls检验，方法与新复极差法相似，

18、其区别仅在于计算最小显著极差LSR时不是查SSR，而是查q值（附表9）,还对上例作q检验：,1.5094,查q值表，dfe12,M=2时,q0.05 3.08，q0.014.32。同理可查M3，M=4时的q值，算出最小显著极差LSR。,q-检验法,也称Newman-keuls检验，方法与新复极差法相似，,q-检验,不同品种4个月增重量试验LSR值（q检验）,大白与沈黑：M4，极差6.86.34,大白与沈白：M3，极差5.15.69,大白与沈花：M2，极差3.04.65,q-检验M234q0.053.083.774.20不同品种4,(二)最小显著极差法（LSR法）,不同品种间4个月增重量差异显著

19、性比较表（新复极差法）,结论：猪的4个品种中只有大白与沈黑4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。,(二)最小显著极差法（LSR法）不同品种间4个月增重量差异显,LSD法,新复极差法,q检验,当样本数k=2时，LSD法、LSR法和q检验法的显著性尺度是相同的。,当M3时，三种检验的显著尺度便不相同。,LSD0.05=4.6513LSD0.01=6.5233,因此，在实际计算中：,对于精度要求高的试验q检验法,一般试验SSR检验法,试验中各个处理均数皆与对照相比的试验LSD检验法,因此，在实际计算中：对于精度要求高的试验q检验法一般试验,方差分析的基本步骤,（1）将样本数据的总平方和与总

20、自由度分解为各变异因素的平方和与自由度；,（2）列方差分析表进行F检验，以弄清各变异因素在总变异中的重要程度；,（3）对各处理平均数进行多重比较。,方差分析的基本步骤（1）将样本数据的总平方和与总自由度分解为,第二节,单因素方差分析,第二节单因素方差分析,单因素方差分析,在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因素实验。,单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试验因素各处理的相对效果（各水平的优劣）.,单因素方差分析在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因素,单因素方差分析,组内观测数目的不同,组内观测次数相等方差分析,组内观测次数不相等的方差分析,单

21、因素方差分析组组内观测次数相等方差分析组内观测次数不相等的,组内观测次数相等的方差分析,是指在k组处理中，每一处理皆含有n个观测值，其方差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表的形式给出有关计算公式：,组内观测次数相等的方差分析 是指在k组处理中，每一处理,测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取4个样本，测定的结果如表，试比较各地区黄鼬针毛长度差异显著性。,在这里，k=5，n=4。,测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地区黄鼬冬季针毛的,（1）首先计算出，及，并列于表中。,（2）计算出离均差平方和与自由度：,（1）首先计算出，及，并列于表中。（2）计算

22、出离均,186.7-173.7112.99,20119,5(41)15,（3）计算方差：,514,186.7-173.7112.99201195,（4）进行F 检验：,查F 值表，得F0.05(4,15)3.06，F0.01(4,15)4.89，故F F0.01，P 0.01，说明5个地区黄鼬冬季针毛长度差异极显著。,（4）进行F 检验：查F 值表，得F0.05(4,15,结果做成方差分析表：,不同地区黄鼬冬季针毛长度方差分析表,为了确定各个地区之间的差异是否显著，需要进行多重比较。,结果做成方差分析表：不同地区黄鼬冬季针毛长度方差分析表变异来,这里用最小显著差数法（LSD）进行检验。,查t

23、值表，当dfe=15时，t0.05 2.131，t0.01 2.947，于是有：,LSD0.05=2.131 0.658=1.402,LSD0.01=2.947 0.658=1.939,本例中各组内观测数相等，而且组内方差均为0.866，故任何两组的比较均可用LSD0.05 及LSD0.01。,这里用最小显著差数法（LSD）进行检验。查t 值表，当d,在进行LSD0.05 及LSD0.01比较时，,各组间差数 LSD0.01，说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；,LSD0.01 各组间差数LSD0.05，说明两地间差异显著，标以不同的小写字母；,在进行LSD0.05 及LSD0.01比较

24、时，各组间差数,结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。,地区平均数差异显著性0.050.01东北31.60a,根据组内观测次数目不同,组内观测次数相等的方差分析,组内观测次数不相等的方差分析,根据组内观测次数目不同组内观测次数相等的方差分析组内观测次数,有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k个处理的观测次数依次是n1、n2、nk的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是nk，而是 次，在计算平方和时公式稍有改变。,组内观测次数不相等的

25、方差分析,有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k个,在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各ni的平均数n0：,各个处理的样本容量,用于LSR检验,用于LSD检验,在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测,用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（I），切去一半胚乳（II），切去全部胚乳（III），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。,小麦切胚乳试验单株粒重（g）,用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦,小麦切胚乳试验单株粒

26、重（g）,n1 8，n2 10，n3 6，N24,(1)平方和的计算,处理株号合计平均数12345678910212924222,SST x2 C=212+292+262-C=230.5,SSe SST-SSt 230.5-6.8223.7,(2)自由度的计算,SST x2 C=212+292+26,(3)列方差分析表,由表中结果可知，F1，表明三种处理的每株粒重无显著差异。,(3)列方差分析表变异来源SSdfs2F处理间6.823.4,由于F检验不显著，不需要再作多重比较。如果F检验显著，则需要进一步计算n0，并求得（用于LSR检验）或（用于LSD检验），即,由于F检验不显著，不需要再作多重

27、比较。如果F,需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。,需要指出的是，不等观测次,在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况,每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。,在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况每一观测,第三节 无重复观测值 的二因素方差分析,第三节,定义：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。,二因素都是固定因素,二因素均为随机因素,一个因素是固定因素，一个因素是随机因素,二因素方差分析,三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有所不同。,定义：是指对试验

28、指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的,主效应和互作,主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用,互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。,主效应和互作主效应（main effect）：互作（inte,因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值,二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。,如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。,如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的处

29、理组合。,因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值二因素间是,依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定A因素有a个水平，B因素有b个水平，每个处理组合只有一个观测值。,无重复观测值的二因素方差分析,依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只,无重复观测值的二因素分组资料模式,因素A因素B总和Ti.平均数B1B2BbA1x11x12,二因素方差分析的线性模型,因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是,xij=+i+j+ij,i 和j 是A因素和B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且，ij是随机误差，彼此独立且服从N

30、(0，2)。,i=1,2,a;j=1,2,b,二因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以二因素,（1）平方和的分解为：,（1）平方和的分解为：,（2）与平方和相应的自由度的分解为,（2）与平方和相应的自由度的分解为,（4）F值的计算：,（3）各项的方差分别为,（4）F值的计算：（3）各项的方差分别为,将一种生长激素配成M1，M2，M3，M4，M5五种浓度，并用H1，H2，H3三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗45天后的各处理每以植株的平均干物重（g）（下表）。试作方差分析与多重比较。,激素处理对大豆干物重的影响,激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型。,将一种生长激素配成M1，M2

31、，M3，M4，M5五种浓度，,（1）平均和的计算：,（1）平均和的计算：,（2）自由度的计算,（3）列出方差分析表，进行F 检验,（2）自由度的计算（3）列出方差分析表，进行F 检验,F 检验结果表明，浓度间的F 值大于F0.01，时间间的F值未达到显著水平，表明不同激素浓度对大豆干物重有极显著差异。,（4）进行多重比较（用SSR检验）：由于只有浓度间的效应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只需对5种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均数标准误均为,变异来源dfSSs2FF0.05F0.01浓度间4289.0,b=3是每一浓度的观测值数目，如果要比较时间间的效应，由于每一时间

32、有a=5个观测值，其平均数的标准误应为,b=3是每一浓度的观测值数目，如果要比较时间间的效应，由,不同浓度大豆干物重多重比较SSR和LSR值,查SSR值表，当dfe=8，M=2，3，4，5时的SSR值及由此计算的LSR值列于下表,M2345SSR0.053.263.403.483.52SS,多重比较结果表明：5种生长激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除M1与M2，M5与M3之外差异不显著外，其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。5种激素浓度中，以M1和M2的处理效果较好。,多重比较结果表明：5种生长激素浓度对大豆干物重的影响有着,无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是

33、这两个因素的相互作用，这是在两个因素不存在互作，或互作很小的情况下进行估计的。,但是，如果存在两个因素的互作，方差分析中就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值的情况下对试验误差进行估计。,无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是这两个,第四节 有重复观测值 的二因素方差分析,第四节,具有重复观测值的二因素方差分析,具有重复观测值的二因素试验的典型设计是：假定A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复都包括ab次实验，设试验重复n次，资料模式在P112。,具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素试验,二因素具有重复观测值的方差分析用下面线性模型来描述：,xijk=+i

34、+j+()ij+ijk,A因素第i 水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值,总平均值,A因素第i水平的效应,B因素第j水平的效应,i 和 j的交互作用,随机误差,模型中ijk彼此独立且服从标准正态分布（0,2）,二因素具有重复观测值的方差分析用下面线性模型来描述：xi,因试验共有n次重复，试验的总次数为abn次。方差分析步骤和前面介绍的相类似，唯一不同的是F检验的方法。,（1）平方和的分解为：,A处理的样本容量,因试验共有n次重复，试验的总次数为abn次。方差分析步骤,B处理的样本容量,A处理、B处理和AB互作的平方和,试验重复数,B处理的A处理、B处理和AB互作的平方和试验重复数,（3）各

35、项的方差分别为,（2）自由度的分解为,（3）各项的方差分别为（2）自由度的分解为,（4）F检验：,（）随机模型：对于随机模型，i、j、()ij 和ijk是相互独立的随机变量，都遵从正态分布。在F检验时，先检验AB是否显著：,（a）固定模型：在固定模型中，i，j及()ij 均为固定效应。在F检验时，A因素、B因素和AB互作项均以Se2作为分母。,（4）F检验：（）随机模型：对于随机模型，i、j、(,检验A、B时，有：,（）混合模型（以A为固定因素，为随机因素为例）：在混合模型中，A和B的效应为非可加性，i 为固定效应，j及()ij 为随机效应。对A作检验时同随机模型，对B和AB作检验时同固定模型

36、，即：,在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少。,检验A、B时，有：（）混合模型（以A为固定因素，为随机因,为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录4只昆虫的滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。,不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数,为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光,由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因素分析。将表中数字均减去80，整理得下表,由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因,（1）平方和的分解为：,（1）平方和的分解为：,（2）自由度的分解为,

37、（2）自由度的分解为,结果列入方差分析表,结果列入方差分析表,F 检验结果表明，光照间和温度间的F 值大于F0.01，它们的差异极显著，即昆虫滞育期长短主要决定于光照和温度，而与两者之间的互作关系不大。,某昆虫滞育天数方差分析表,变异来源dfSSs2FF0.05F0.01光照间25367.,要了解各种光照时间及温度对滞育期的影响，需进行不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面例子进行，但平均数标准误的计算为：光照（A）间平均数标准误，温度（B）间平均数标准误,A处理的样本容量,B处理的样本容量,要了解各种光照时间及温度对滞育期的影响，需进行不同光照间,在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（

38、A）与大麦水分（B）对糖化时间的影响，选了两种烘烤方式，4种水分共8种处理，每一处理重复三次，结果如下表。,大麦水分是不均匀的，又不易控制，所以因素B是随机的，它的效应也是随机的，因此本题是一个混合模型的方差分析。,将上表中各观测值都减去10，计算后得,在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（A）与大麦水分（B）对糖,烘烤方式（A）标本号水分（B）B1B2B3B4A112.0-,（1）平方和的分解为：,（1）平方和的分解为：,（2）自由度的分解为,（2）自由度的分解为,结果列入方差分析表,结果列入方差分析表,糖化时间方差分析表,表中F的计算为：,变异来源dfSSs2FF0.05F0.01烘烤方式A15

39、.5,F 检验结果表明，水分和的AB的F 值大于F0.01，大麦中的水分及水分与烘烤方式之间的互作对糖化时间的影响达到了极显著水平，而烘烤方式对糖化时间的作用不显著。在生产上应注意大麦的含水量及根据含水量来选择合适的烘烤方式。,F 检验结果表明，水分和的AB的F 值大于F0.01，,方差分析的基本假定和数据转换,第五节,方差分析的基本假定和数据转换第五节,方差分析的基本假定,正态性,可加性,方差同质性,方差分析的基本假定正态性可加性方差同质性,试验误差应当是服从正态分布的独立的随机变量。因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列或顺序取样资料不能作方差分析。应用方差分析的资料应服从正态分布，即每一

40、观测值Xij应围绕相应的平均数呈正态分布。,非正态分布的资料进行适当数据转后，也能进行方差分析。,正态性试验误差应当是服从正态分布的独立的随机变量。因为方,处理效应与误差效应应该是可加的，并服从方差分析的数学模型，即,这样才能将试验的总变异分解为各种原因所引起的变异，以确定各变异在总变异中所占的比例，对试验结果作出客观评价。可加性是否显著有专门的统计方法。,xij=+i+j+ij,可加性处理效应与误差效应应该是可加的，并服从方差分析的数,所有试验的误差方差应具备同质性，也叫方差的齐性，即,1222n2,因为方差分析是将各个处理的试验误差合并以得到一个共同误差方差的，所以必须假定资料中这样一个共

41、同方差存在。误差异质将使假设检验中某些处理效应得出不正确的结果。,方差同质性所有试验的误差方差应具备同质性，也叫方差的齐性,方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现有方差异质的现象，可将变异特别明显的数据剔除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些信息。或者将试验分成几个部分分析，使每部分具有同质的方差。,方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现有方差异质的现象，,在生物学中，有时会遇到一些样本，其所来自的总体和方差分析的基本假定相抵触，这些数据在作方差分析之前必须经过适当处理及数据转换来更变测量标尺。,在生物学中，有时会遇到一些样本，其所来自的总体和方差分析,样本的非正态性、不可加性和方差的异质

42、性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误差效应的可加性，其次才考虑方差同质性。,数据转换,样本的非正态性、不可加性和方差的异质性通常连带出现，主要,数据转换常用的转化方法,平方根转换,对数转换,反正弦转化,数据转换常用的转化方法平方根转换对数转换反正弦转化,平方根转换,有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，比如一定面积上某种杂草株数或昆虫头数等，样本平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获得同质的方差。一般将原观测值转化成，数据较小时采用,平方根转换有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，比如,对数转换,如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，或者标准差（或极差）与平均数大体成比例时

43、，可以使用对数变换。,对数转换如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，或者标准,反正弦转化,如果数据是比例或以百分率表示的，其分布趋向于二项分布，方差分析时应作反正弦转换，用下式把它们转化成一个相应的角度：,百分数资料,相应的角度值,反正弦转化如果数据是比例或以百分率表示的，其分布趋向于二,单因素方差分析,方差分析,二因素方差分析,多因素方差分析,试验数据的方差分析,组内观测次数相等,组内观测次数不等,无重复观测值,有重复观测值,单因素方差分析二因素多因素试验数据的方差分析组内观测次,方差分析的基本步骤：,确定数学模型,进行多重比较,列方差分析表，进行F检验,平方和自由度的分解,方差分析的基本步骤：确定数学模型进行多重比较列方差分析表，进,