第一类曲面积分精选课件.ppt

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1、,引理,A,当 A 是矩形,且一边与 l 平行,则 也是矩形,且,l,证,b,a,一.曲面的面积,引理A 当 A 是矩形,且一边与 l 平行,则,一般情况，将A分割成若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，然后迭加再取极限即可。,注：这里 即 两平面法矢量的夹角,一般情况，将A分割成若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，,z=f(x,y),D,(xi,yi),Pi,.,xz yOz=f(x,y)D(xi,yi)Pi.,z=f(x,y),D,.,(xi,yi),i,Ai,(由引理),Pi,.,.,.,xz yOz=f(x,y)D.(xi,yi)i,a,由对称性，只考虑上半部分,.,z,福州大学

2、05，15分,a由对称性，只考虑上半部分.xyOz福州大学05，15分,a,Viviani曲线,D,.,x2+y2+z2=a2,z=0axyzOViviani曲线D.x2+y2+z2=,1,xyzO1,1,1,.,1xyzO1.,1,1,D,S,.,.,.,.,.,.,.,xyzO11DS.,a,a,设圆柱面为,考虑第一卦限,aaxz yO设圆柱面为考虑第一卦限,D,a,a,a,a,D,.,.,Daaxz yOaaxOyD.,2,x,z,y,O,2xzyO,2,问题：曲面向哪个坐标面投影？,.,O,只能向xoz平面投影,xzy2问题：曲面向哪个坐标面投影？.O只能向xoz平面投影,2,得 z=

3、2,Dxz,.,.,O,其中，,xzy2得 z=2Dxz.O其中，,2,Dxz,.,O,xzy2Dxz.O,a,ayxzO,D,S=,共同的 D:,.,xyzODS=共同的 D:.,设 D 为可求面积的平面有,具有连续的一阶偏导数，,所表示的曲面 S 的面积.,(1)对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域,.这个分割相应地将曲面 S 也分成 n 个,小曲面片,现讨论由方程,设 D 为可求面积的平面有 具有连续的一阶偏导数，所表示,充分小时,有,在点 附,近用切平面代替小 曲面片从而当 充分小时,有,现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的,计算公式.,作为 S 的面积.,(3)

4、当 时,定义和式的极限(若存在)现在按照上,注意到和数,注意到和数 是连续函数,或另一形式:,到曲面 S 的面积计算公式:,上的积分和,于是当 时,上式左边趋于 而右边趋于,解 据曲面面积公式,那一部分的面积.,解 据曲面面积公式,其中 D 是 曲面方程 例,一阶偏导数,且,表示，其中 在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且,记,则曲面 S 在点 的法线方向为 记 与,其中,其中 当时,对公式(2)作变换:,则有,由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：,则有 由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：,例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积,(右图中阴影部分).,解 设球面的参数方程为:

5、,其中 R 是球面半径.,由于,例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积(右图中阴影,所以,由公式(5)即得所求曲面的面积:,注 在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度,的极限来定义(当各段的长趋于零时),但能否类似,所以 由公式(5)即得所求曲面的面积:注 在讨论曲线的,地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积,呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是,不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程,(如菲赫金哥尔茨微积分学教程中译本第三卷,第二分册).,的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.,*例3 设平面光滑曲线的方程为,在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面,地用

6、曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢?施瓦茨曾,求证此曲线绕 轴旋转一周得到的旋转面的面积为 证 由于上,第一类曲面积分精选课件,二、第一类曲面积分的计算,第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.,为 S 上的连续函数,则,(定理证明与第一类曲线积分的计算定理类似,不再详述.),二、第一类曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算,例4 计算,被,得的顶部(右图).,例4 计算 被 平面 所截 得的顶部(右图).,因此,因此,例5 计算,福州大学2019，10分,解,例5 计算 福州大学2019，10分解,例6 计算,下的部分(右图).,解 对于圆锥面,有,例6 计算 其中 为圆

7、锥面 被圆柱面 所割 下的,因此,用二重积分的极坐标变换,因此用二重积分的极坐标变换,在平面上的投影为而,对于由参量形式表示的光滑曲面,对于由参量形式表示的光滑曲面,其中,在上第一型曲面积分的计算公式则为 其中,螺旋面(右图)的一部分:,解 先求出,螺旋面(右图)的一部分:例7 计算其中 S 为 解,然后由计算公式 求得:,然后由计算公式 求得:,解(解法一)记,*例8 计算曲面积分其中是球面 解(解法一)记,根据计算公式,并使用极坐标变换,可得,根据计算公式,并使用极坐标变换,可得,按公式计算如下:,(解法二)的参数方程为按公式计算如下:,第一类曲面积分精选课件,(解法三)令,由此得到,(解法三)令 由于 关于平面 对称,且在对称点,第一类曲面积分精选课件,第一类曲面积分精选课件,