第一次课:微分方程课件.ppt
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1、微分方程,微分方程及其应用,微分方程微分方程及其应用,微分方程复习,一阶方程类型及解法,微分方程复习一阶方程类型及解法,第一次课:微分方程课件,例1求下列分离变量型方程:,例2求下列齐次型方程:,例1求下列分离变量型方程:例2求下列齐次型方程:,一阶线性方程计算公式,例3求下列一阶线性方程的通解,一阶线性方程计算公式例3求下列一阶线性方程的通解,例7.试将贝努利方程,化为一阶线性方程,并求方程,的通解,例7.试将贝努利方程化为一阶线性方程,并求方程的通解,例8.验证下列方程是否为全微分方程,并求其通解:,例8.验证下列方程是否为全微分方程,,二阶方程类型及解法,1。可降阶的两种类型,类型1.不
2、显含y型,,类型2.不显含x型,,解法:,解法,二阶方程类型及解法1。可降阶的两种类型类型1.不显含y型,类,2.二阶线性齐次方程解的性质与结构:,性质:(叠加原理):二阶线性齐次方程任意解的线性组合仍是解,即,如果:,是方程,也是其解,的解,则,2.二阶线性齐次方程解的性质与结构:性质:(叠加原理):二阶,的任意两个线性无关的解,则,就是其通解,解的结构:如果,是方程,的任意两个线性无关的解,则就是其通解解的结构:如果是方程,3.二阶线性非齐次方程解的性质与结构:,性质1:二阶线性非齐次方程任意两个解的差是其对应齐次方程的解,性质2:二阶线性非齐次方程的解与其对应齐次方程的解的和仍是非齐次方
3、程的解,解的结构定理:设Y是二阶齐次线性方程,的通解,而,是,二阶非齐次线性方程任一特解,则,便是非齐次方程的通解,3.二阶线性非齐次方程解的性质与结构:性质1:二阶线性非,二阶线性非齐次方程解的叠加原理:,设,是方程,的解,是方程,的解,则,便是方程,的解,注:显然叠加原理可推广到任意有限个的情况,二阶线性非齐次方程解的叠加原理:设是方程的解是方程的解,则便,二阶线性常系数齐次方程的解法:特征方程法,解法步骤:(1)由原方程,写出相应的特征方程,(2)求出特征根,(3)由特征根写出原方程的通解,二阶线性常系数齐次方程的解法:解法步骤:(1)由原方程写出相,特征根与方程通解对照表:,特征根与方程通解对照表:,例求下列线性常系数齐次方程的通解,例求下列线性常系数齐次方程的通解,二阶常系数线性非齐次方程特解求法:,类型1,其特解形式为,是特征方程的单根时k取1,是特征方程的二重根时k取2,不是特征方程的根时k取0,二阶常系数线性非齐次方程特解求法:类型1其特解形式为是特征方,例求下列方程特解的形式,例求下列方程特解的形式,类型2,或,其特解形式为,不是特征方程的根时k取0,是特征方程的根时k取1,类型2或其特解形式为不是特征方程的根时k取0是特征方程的根时,例求下列方程特解的形式,例利用叠加原理求下列方程的通解,例求下列方程特解的形式例利用叠加原理求下列方程的通解,
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