第02节可分离变量的微分方程课件.ppt

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1、第二节 可分离变量的微分方程,一、一阶微分方程,二、可分离变量的微分方程及其求解,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,第二节 可分离变量的微分方程 一、一阶微分方程 二,一、一阶微分方程,首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：,例 一阶微分方程：,也可以写成,一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,一、一阶微分方程首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：例 一,问题：如何求解一阶微分方程？难！,问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：,问题：如何求解一阶微分方程？难！问题的简化：以下几节我们,二、可分离变量的微分方程及其求解,如果一阶微分方程能化成,（4）,的形式，则

2、该一阶微分方程称为可分离变量的,微分方程,二、可分离变量的微分方程及其求解 如果一阶微分方程能化成(特,什么方程是可分离变量的微分方程呢？,什么方程是可分离变量的微分方程呢？形如（5）（6）的一,第二步：两边积分,解法：,第一步：分离变量,或,或,第二步：两边积分解法：第一步：分离变量或 或,针对,针对 和 依次为 和 的原函数，设()H x为微分方程的,三、例题,解 原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量,两边积分,得：,三、例题 例1 求微分方程 的通解 解 原方程是一,例2 求解初值问题,解 原方程化为,它是可分离变量方程,分离变量,两边积分,例2 求解初值问题 解 原方程化为它是可分

3、离变量方程分离,得：,即：,记,则通解为,故所求特解为,得：即：记 则通解为 将 代入上式，得 故所求特解为,解 设,由题设，有,这是一个可分离变量的方程。,分离变量,解 设 由题设，有 这是一个可分离变量的方程。分离变量,两边积分,两边积分，即 由初始条件，得,这是一个可分离变量方程。,解 令,，则,分离变量,例4 求方程 的通解。这是一个可分离变量方程。解 令,两边积分,通解为,两边积分 通解为,本节学习内容是：,1.可分离变量方程的“标准型”；,四、小结,2.分离变量法步骤：,本节学习内容是：1.可分离变量方程的“标准型”；四、,五、重点,掌握分离变量法。,六、难点,化为可分离变量方程。

4、,五、重点掌握分离变量法。六、难点对某些一阶方程，寻找变量找换,七、主要题型,七、主要题型1.对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解,八、学习方法指导,八、学习方法指导 熟记“标准型”，掌握可分离变量方,九、常见问题辅导：,常常通用，而不严格区分其,的细微之处？,九、常见问题辅导：1.为什么在微分方程中，和 常常通用,答：我们用一个例子来说明：,解一 原方程是一个可分离变量的方程；,答：我们用一个例子来说明：例 求解微分方程 的通解,解二 原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量且两边积分：,解二 原方程是一个可分离变量的方程；分离变量且两边积分：,常将C写成,或,这样，,于是，将解直接写成

5、,答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：,2.为什么有时候把积分常数C写成、？常将C写成 或,十、课堂练习,1.解方程,2.解微分方程初值问题,，,十、课堂练习 1.解方程 2.解微分方程初值问题，,十一、课堂练习题解,1.解 这是可分离变量方程；,分离变量,两边积分,通解为,十一、课堂练习题解1.解 这是可分离变量方程；分离变量 两,2.解 这是对称形式的可分离变量方程；,分离变量并积分之，得,通解,故特解为,2.解 这是对称形式的可分离变量方程；分离变量并积分之，得,十二、自测题,一、求下列微分方程的通解：,二、求下列微分方程的特解,十二、自测题 一、求下列微分方程的通解：1.2.,三、

6、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T，室温为To，时间,十三、自测题题解,一、1解 这是可分离变量方程，,分离变量并两边积分，得：,通解为,十三、自测题题解一、1解 这是可分离变量方程，分离变量并两,一、2解 这是可分离变量方程，,通解为,分离变量并两边积分得：,一、2解 这是可分离变量方程，通解为 分离变量并两边,二、1解 这是可分离变量方程，,分离变量，两边积分得,即：,故特解为,二、1解 这是可分离变量方程，分离变量，两边积分得 即,二、2 解 这是对称形式的可分离变量方程；,分离变量，两边积分，得,故特解为,二、2 解 这是对称形式的可分离变量方程；分离变量，两边,这是可分离的变量方程，,又将初始条件代入，可求得,故有,其通解为,三、解 设，由题设，有 这是可分离的变量方程，又将初始条,