第四章随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、第四章 随机变量的数字特征,随机变量的数字特征简介,随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的统计规律.但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对于某些问题来说，只需知道它的某些特征。将刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。包括：期望、方差、协方差、相关系数,主要内容,4.1 随机变量的期望4.2 方差4.3 协方差与相关系数,一、数学期望的概念,二、数学期望的性质,三、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,一、数学期望的概念,设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下,引例1 射击问题,试问:该射手

2、每次射击平均命中靶多少环?,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量 Y.,平均射中环数,“平均射中环数”的稳定值,“平均射中环数”等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,1.离散型随机变量的数学期望,射击问题,“平均射中环数”应为射手命中的环数随机变量Y 的数学期望,关于定义的几点说明,(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值（算术平均值）不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值,也称均值.,(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列

3、次序而改变.,随机变量 X 的算术平均值为,假设,它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.,当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时,X 的期望值与算术平均值相等.,试问哪个射手技术较好?,例4-2 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,解：,例4-4 已知随机变量X的所有可能取值为1和x，且PX=1=0.4，E(X)=0.2，求x。,E(X)=PX=11+PX=xx=0.2,0.41+0.6x=0.2,x=-1/3,例 发行彩票的创收利润,某一彩票中心发行彩票 10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金 1万元,二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个,奖金各1千元;四等奖1

4、00个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元,请计算彩票发行单位的创收利润.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则,每张彩票平均可赚,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为,练习 如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失 2 万元若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?,解,设 X 为投资利润，则,存入银行的利息:,故应选择投资.,1.两点分布,则有,几种离散型随机变量的期望,2.二项分布,则有,设随机变量 X 服从

5、参数为 n,p 二项分布，即XB(n,p)，其分布律为,例 4-3 设随机变量 X B(5,p)，已知E(X)=1.6，求参数p。,解：,由于E(X)=np,所以5p=1.6,故p=1.6/5=0.32,3.泊松分布,则有,例 已知随机变量XP()，且PX=1=PX=2，求E(X)。,解,得,由于,则,所以,例商店的销售策略,解,2.连续型随机变量数学期望的定义,例4-7 设随机变量 的概率密度为,求,解,例4-8 设随机变量 的概率密度为,求,解,解,因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.,练习 顾客平均等待多长时间?,1.均匀分布,则有,几种连续型随机变量的期望,结论 均匀分布的数学期望位

6、于区间的中点.,2.指数分布,则有,3.正态分布,则有,1.离散型随机变量函数的数学期望,解,二、随机变量函数的数学期望,设随机变量 X 的分布律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若 Y=g(X),且,则有,例4-5 设随机变量X的分布律为,令,求,解,例4-6 设随机变量X的分布律为,令,求,解,2.连续型随机变量函数的数学期望,若 X 是连续型的随机变量，其概率密度为fX(x),又随机变量Y=g(X)，则当,收敛时，有,例4-9 设随机变量V服从0,a上均匀分布，其概率密度如下，求W=kV2(k0常数)的数学期望。,解：,例4-10 设随机变量X的概率密度如下，求E|X-E(X

7、)|。,解：,例4-11 设随机变量XN(,2)，令Y=eX，求E(Y)。,解：,3.二维随机变量函数的数学期望,解,例4-12 设(X,Y)的分布律为,解,例4-12 设(X,Y)的分布律为,解,练习 设(X,Y)的分布律为,例4-13 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,求,1.设 C 是常数,则有,证明,2.设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有,证明,例如,三、数学期望的性质,4.设 X,Y 是相互独立的随机变量,则有,3.设 X,Y 是两个随机变量,则有,证明,说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,例4-14 见书,例4-15 4人进行射击比赛

8、，每人射4发。在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹30分，中三弹得55分，中四弹得100分。四人射击的命中率都为3/5，求4人射击总得分的期望。,解：设Xi表示第i个射手的得分，则它的分布律为,则4人射击总得分的期望为,则第i个射手的得分期望为,解,例,四、小结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2.数学期望的性质,一、随机变量方差的概念及性质,三、例题讲解,二、重要概率分布的方差,四、小结,第二节方差,1.概念的引入,方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量，反映了随机变量偏离

9、其中心期望的平均偏离程度。,实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.,一、随机变量方差的概念及性质,2.方差的定义,注：从随机变量的函数的期望看，随机变量X的方差D(X)是X的函数 的期望。,方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量.如果 D(X)值大,表示 X 取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果 D(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.,3.方差的意义,离散型随机变量的方差,4.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,解,例4-16 设 X 的分布律如下,-1 1,0.5 0.5,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方

10、差,4.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,例4-17 设随机变量X的概率密度如下，求D(X)。,解：,证明,(2)利用公式计算,当X为离散型随机变量时,(2)利用公式计算,当X为连续型随机变量时,例4-18 设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，求E(X2)。,解：,例4-19 设随机变量X的概率密度如下，求D(X)。,解：,证明,5.方差的性质,(4-5)设 C 是常数,则有,(4-6)设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有,证明,(4-7)设 X,Y 相互独立,D(X),D(Y)存在,则,证明,推广,例4-26,例4-27,1.两点分布,则有,二、重要概率分布的期望和方

11、差,2.二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n,p 二项分布,其分布律为,例4-20 已知随机变量，且,求,解,得,由,3.泊松分布,则有,所以,例4-21 已知随机变量，且,求,解,得,由,则,所以,4.均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,例4-22 已知随机变量，且,求 的概率密度函数。,解,得,由,从而,5.指数分布,则有,6.正态分布,则有,解,例,三、例题讲解,解,例4-25 设(X,Y)服从D上的均匀分布，其中D由x轴、y轴以及x+y=1所围成，求D(X).,于是,解,例,解,例,解,练习,于是,四、小结,1.方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散

12、程度的量.如果 D(X)值大,表示 X 取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果 D(X)值小,则表示 X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.,2.方差的计算公式,3.方差的性质,一、协方差与相关系数的概念及性质,二、相关系数的意义,三、小结,第三节 协方差及相关系数,1.问题的提出,一、协方差与相关系数的概念及性质,2.定义,3.协方差的计算,当(X,Y)为二维离散型随机变量时，且其分布律为,则,当(X,Y)为二维连续型随机变量时，且其概率密度为f(x,y),则,3.协方差的计算,证明,例4-28 设(X,Y)的密度函数如下，求Cov(X,Y)和XY。,解,4.协方差的性

13、质,(4)若X与Y相互独立，则有Cov(X,Y)=0和XY=0。,反之，Cov(X,Y)0或XY 0，则X与Y一定不相互独立。,例4-29 设(X,Y)服从D上的均匀分布，其中D由x轴、y轴及x+y=1所围成，求Cov(X,Y)并判断X、Y是否相互独立。,解,由题意,由于Cov(X,Y)0，所以X、Y不相互独立。,例4-31 设(X,Y)在圆域D=(x,y)|x2+y21上服从均匀分布，求Cov(X,Y)和XY，并判断X、Y是否相互独立。,解,由题意,所以X、Y相互独立。,例4-34 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(X),E(Y),D(X),D(Y),Cov(X,Y),XY。,解,E(

14、X)=-10.25+10.75=0.5E(X2)=(-1)20.25+120.75=1D(X)=E(X2)-E(X)2=0.75E(Y)=-10.75+10.25=-0.5E(Y2)=(-1)20.75+120.25=1D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=0.75E(XY)=-10.5+10.5=0Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.25,例4-35 设(X,Y)的密度函数如下，求E(X),E(Y),D(X),D(Y),Cov(X,Y),XY。,解,例4-35 设(X,Y)的密度函数如下，求E(X),E(Y),D(X),D(Y),Cov(X,Y),XY。,解,例4-36 证明,证明,例4-37 D(X)=4,D(Y)=1,XY=0.6,求D(X+Y),D(3X-2Y)。,解,说明P76例3-18,解,练习,1.相关系数的意义,二、相关系数的意义,（定义4-6）,(2)不相关与相互独立的关系,2.注意,相互独立,(1)不相关的充要条件,4.相关系数的性质,三、小结,相关系数的意义,一、基本概念,二、n 维正态变量的性质,三、小结,第四节矩、协方差矩阵,一、基本概念,1.定义,2.说明,3.协方差矩阵,所以协方差矩阵是一个对称矩阵。,所以协方差矩阵的主对角线元素对应各随机变量的方差。,三、小结,