第四章固体力学大变形基础ppt课件.ppt

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1、固体力学大变形基本知识,1.物体运动的物质描述2.格林和阿尔曼西应变3.物体运动等的空间描述和变形率4.欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力5.大变形时平衡方程和虚位移原理6.大变形本构关系,1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述,t=0的坐标为Xi，t时刻位置为xi，质点运动可表为,对物体t时刻位置和变形的刻划称为构形或位形，如图示。,描述运动的参照基准称为参考位形，以初始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉格朗日描述，Xi称为物质坐标。,物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数,称为变形梯度，是非对称的二阶张量。,因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中的线元

2、dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很重要。,现时位形两邻点的距离为,1.2、变形梯度,物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和 是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行列式J不为零。也即变形梯度可逆,Ricci,可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明,证明,由此可见，,返回,设图示初始位形微元体体积为dV0，三线元为,运动变形后，现时位形三线元为,1.3、体积变换公式,因此，现时位形的体积可表为,仿体积的上述说明，图示面元可表为,如果记初始和现时位形的密度分别为,则由质量守恒，可得,因此对不可压缩物体,又因,1.4、面积变换公式,体积变换公式,

3、由此面元变换公式也可表为,根据变形梯度张量可逆,面积变换公式,面积变换公式,1.4、面积变换公式,1.5 Green和Almansi应变张量,设初始和现时位形中P、Q两点的距离分别为,研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量应变,格林应变张量,阿尔曼西张量,格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。,质点的位移向量也同样可用初始位形和现时位形定义,上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为,位移对坐标（）的偏导数，称为位移梯度张量。,初始坐标的函数,现时坐标的函

4、数,1.5 Green和Almansi应变张量,由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，变形过程中仍保持垂直。,将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下,1.5 Green和Almansi应变张量,格林应变张量,阿尔曼西张量,这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的柯西应变-工程应变,当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系,若现时位形只是相对初始位形作刚体

5、移动，则,则,物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是到处存在,1.5 Green和Almansi应变张量均为客观张量,Green应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标 是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，P,Q两点的尺度不变，同时 也不变，因此联系P,Q两点的尺度的变化及 的Green应变张量的各个分量也不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张量称为客观张量。大转动刚体运动引起Cauchy应变。,2.物体运动的空间描述和变形率,质点运动的空间描述或欧拉描述，处质点的速度。,瞬时位置xi处质点的加速度应该如下求取,当地部分当地加速度,对流部分、迁移加

6、速度,其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项是非均匀速度场质点运动的贡献。称为速度的物质导数。,其中导数 称为速度梯度张量。,关注：瞬时速度场（应力场等）和它们随时间的演化。,速度梯度张量可分成两部分,因此，速度梯度张量为,旋率张量,变形率张量,反对称,对称,任意函数的时间变化率物质导数,Vij就反映了邻域的纯变形。,点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的，Vij=0.,若令,上式两边同乘eklm，则,质点Q相对点P的相对速度为,证明,因此，利用上式可得,刚体转动的角速度,证明,点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的。因此，Vij就反映了

7、邻域的纯变形。,因此，是质点P邻域，绕过P点某轴的刚体转动，向量 是转动的角速度，因此称为速度场的旋度向量。,变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率,2.3 格林应变张量的物质导数,而相对于现时位形的格林应变速率等于变形率张量。也即,由于在刚体运动时变形率张量等于零，因此刚体运动时格林应变物质变化率等于零。所以可以在本构关系中，用格林应变率度量应变速率。,阿尔曼西应变的物质导数,因为运动质点在空间位置xi处变化时，它的初始位形标志Xi是不变的，因此,将此结果代入阿尔曼西应变的物质导数，得,最后根据变形率和旋率张量的对称和反对称性质，可得,又根据速度梯度的分解，可得,再根据阿尔曼西应变表达

8、式，可得,为阿尔曼西本构速率，则可得,由此可见，阿尔曼西物质变化率与刚体转动有关，为在本构关系中用阿尔曼西应变，定义,可见阿尔曼西本构速率与刚体转动是无关的。因此可以在本构关系中应用。,在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为Euler应力张量，；此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现时位形和变形相关的真实应力。,由四面体的平衡，可将面 的应力，用 表示,3、Euler应力张量,然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的Green应变张量，

9、那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量。,3、Lagrange应力张量,对于变形后的位形（现时位形），有Euler应力张量,对于变形前的位形（初始位形），可以定义名义应力,Lagrange规定,Lagrange应力张量,第一类Piola-Kirchhoff应力张量,3、Kirchhoff应力张量,Kirchhoff规定:,第二类Piola-Kirchhoff应力张量,即规定变形前面元 上的内力与变形后面元 上的内力满足变形梯度的关系,因此，按Kirchhoff规定可定义名义应力张量,Lagrange应力张量,利用初始和现时位形中物质面元间的关系(变形前后)，得,Lagrange

10、应力张量,面积变换公式,由于变形梯度张量是非对称的，因此拉格朗日应力张量一般是非对称的。,Lagrange应力张量与Euler应力张量关系,Kirchhoff应力张量与Euler应力张量关系,Kirchhoff应力张量,显然，是对称的应力张量。其逆形式为,设t0初始位形受有 的介质元，发生大角度刚体转动到现时位形。,又设固接于介质的动坐标为，固定坐标为，在 中的方向余弦为。,因为刚体转动时欧拉应力在 内不变，也即。又因t0时变形为零，所以克希荷夫应力等于欧拉应力，也即,t时刻介质刚体转动后，坐标中欧拉应力为,相应的克希荷夫应力为,因为，刚体转动时，因此,这一推证表明，克希荷夫应力张量在空间固定

11、坐标下，是一个不随刚体转动而变的客观张量。显然，欧拉应力不是。克希荷夫应力张量和Green应变张量构成描述材料本构关系的一个适当的搭配。,对于材料非线性问题，对于依赖于材料变形历史的非弹性问题，通常情况下需采用增量理论进行分析。其中的材料本构关系应采用微分型或速率型，由此引入了应力率的概念。,前面已讨论，变形率张量是应变对时间的物质导数，介质作瞬时刚体转动时，变形率张量为零。但欧拉应力的时间或物质导数都不等于零。例如一单向应力的杆，当杆平行 时仅 非零，而刚体转动使杆平行 时仅 非零，可见刚体转动相对空间固定坐标，改变了欧拉应力张量分量（对动坐标它不变）。因此在大变形分析的本构关系中，和变形率

12、相对应，欧拉应力的时间或物质导数都不能合适地度量。,设含P点的邻域上有一随介质刚体转动的动坐标，在t时刻动坐标与定坐标重合，邻域的Q点 转动时不变，但它在固定坐标中的，前已指出，按如下速率变化,式中 为瞬时旋度矢量。,t+dt时刻Q点位置为,即 的方向余弦张量为。,设t时刻P点的应力为，则t+dt时刻为,因为,在此基础上，定义焦曼应力率为,故可得 变换到动坐标的结果为,将 和 代入上式，展开、整理后可得,则,展开、整理,当介质作刚体转动时，因为Vij=0和vk,k=0，也即,除焦曼应力率外，还有Truesdell应力率，它可表为,显然当介质作刚体转动时，它是不受刚体转动影响的客观张量。,也是客

13、观张量,为了求克希荷夫应力张量的物质导数，需先求雅可比行列式的物质导数。,由于质量守恒，在固定坐标系中流入微小体元的质量的净速率，等于质量积累的速率，因此,因为，因此,有了雅可比行列式的物质导数，下面求克希荷夫应力张量的物质导数,因为,因此经推证后可得,是客观张量,推证,返章,克希荷夫应力物质导数,因为,将上述关系代入上式，可得,5.大变形时平衡方程和虚位移原理,变形体初始和现时位形如图所示，以欧拉应力表述平衡时,这是现时位形空间描述的平衡条件。,在外荷为保守力系,时,经推证得,上式乘以J，由于,由复合函数求导数，平衡方程改写为,平衡方程成为,对任意j恒有,证明,因为拉格朗日应力和欧拉应力关系

14、,以j=1为例，由（4.10)可得,同理可验证，对任意j恒有,由此不难得到,上述拉格朗日和克希荷夫应力表示的平衡条件都是以初始位形作参考的物质描述。,利用外荷保守条件、欧拉应力利用拉格朗日应力表达，可将欧拉应力的边界条件改写为,利用克希荷夫应力和拉格朗日应力的关系，可将平衡条件改为,如果考虑到变形梯度和位移梯度间的关系，,对比小变形情况，可见大变形时变形对平衡的影响，是通过变形或位移梯度表现出来的。,则克希荷夫应力表达的平衡方程,可改为,设现时位形微小虚位移在V内单值连续、在位移边界上为零。则外力总虚功为,考虑到位移边界虚位移为零和应力边界条件,有限元分析需要用虚位移原理，为此首先讨论空间描述

15、的虚位移原理。,将平衡方程引入，考虑到虚位移微小，则,利用格林公式，可得,也即虚位移原理的虚功方程为,若虚位移用虚速度、虚应变用虚应变率代替，则,柯西应变,空间描述的虚功率方程,为建立物质描述的虚功方程，先讨论能量共轭关系。,空间描述中,又因为,变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率,单位体积变形功率,因此克希荷夫应力和格林应变在能量上共轭。,由于变形率和欧拉应力张量是对称的，因此,再利用欧拉和拉格朗日应力间关系，可得,因此拉格朗日应力和初始位形位移梯度在能量上共轭。,由此即可得到物质描述的虚功方程为,虚功方程是弱形式的平衡条件，位移法有限元法的基础。,6.大变形本构关系,对弹性介质，其

16、受力和变形或由温度引起的响应只取决于当前状态。考虑等温、无应力自然状态开始的现时位形，欧拉应力张量和阿尔曼西应变张量间有如下本构关系,如果 的分量是常数，材料是线弹性的；如果其分量是 的函数，材料是非线性的。但即使线弹性，这一本构关系也不是广义虎克定律，因为 和 是对现时位形定义的。只有在小变形情况下才退化为广义虎克定律。,针对现时位形定义,由于,对各向同性材料，与坐标无关，因而是各向同性的张量，它可用两个独立的常数表示,同理可得,又由于,将上述关系代入弹性材料欧拉-阿尔曼西本构关系，可得,由此可得克希荷夫应力和格林应变的本构关系（现时位形的材料性质张量）为,其中,弹性张量 和 间的转换关系也

17、可表为,对非线性弹性有限元分析时，切线刚度矩阵为,对弹塑性介质来说，空间描述的屈服面方程用欧拉应力表示,内变量k可以是等效塑性应变率的物质积分。,假设：大变形中，弹性变形是较小的，总变形增量等于弹性部分加塑性部分。,基于此，大变形弹塑性本构关系为,又假设：塑性变形率由正交法则于屈服面关联，弹性应变率与应力的焦曼导数间满足胡克定律。,当材料为各向同性Mises强化材料时，在弹性加载、塑性卸载和中性变载时,在塑性加载时,Dijkl是弹性张量，是塑性模量，是单向拉伸试验的欧拉应力-对数塑性应变曲线的斜率。,式中,在物质描述中，屈服面可表为克希荷夫应力的函数。本构方程可用格林应变的物质导数和克希荷夫应

18、力的物质导数给出,形梯度，非对称的二阶张量。,体积变换公式,面积变换公式,格林应变张量,阿尔曼西张量,格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。格林应变张量是对称的、客观张量，阿尔曼西应变张量是对称的、非客观张量。,当地部分当地加速度,对流部分、迁移加速度,Vij就反映了邻域的纯变形。,点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的,称为速度梯度张量。,第二类Piola-Kirchhoff应力张量,Lagrange应力张量,Lagrange应力张量非对称，Kirchhoff应力张量是对称的、客观张量。克希荷夫应力张量和Green应变张量构成描述材料本构关系的一个适当的搭配。,克希荷夫应力表示的平衡条件,物质描述的虚功方程为,欧拉应力张量和阿尔曼西应变张量间有如下本构关系,克希荷夫应力和格林应变的本构关系（现时位形的材料性质张量）为,对非线性弹性有限元分析时，切线刚度矩阵为,大变形弹塑性本构关系为,