第二章解析函数ppt课件.ppt

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1、1,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念第二节 函数解析的充要条件第三节 初等函数,第一节 解析函数的概念,一、复变函数的导数与微分,二、解析函数的概念,三、小结与思考,3,一、复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,4,在定义中应注意:,5,例1,解,6,例2,解,7,8,例3,解,9,10,2.可导与连续:,函数 f(z)在 z0 处可导则在 z0 处一定连续,但函数 f(z)在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,11,3.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不

2、加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,12,13,二、解析函数的概念,1.解析函数的定义,14,2.奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,15,例5,解,16,例6,解,17,18,课堂练习,答案,处处不可导,处处不解析.,19,定理,以上定理的证明,可利用求导法则.,20,根据定理可知:,(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.,21,三、小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的概

3、念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.,注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.,22,思考题,23,思考题答案,反之不对.,放映结束，按Esc退出.,24,第二节 函数解析的充要条件,一、主要定理,二、典型例题,三、小结与思考,25,一、主要定理,定理一,柯西介绍,黎曼介绍,26,证,(1)必要性.,27,28,(2)充分性.,由于,29,30,31,证毕,32,33,解析函数的判定方法:,34,二、典型例题,解,不满足柯西黎曼方

4、程,35,四个偏导数均连续,指数函数,36,四个偏导数均连续,37,例2,证,38,39,例3,解,40,例4,证,41,42,例5,解,43,课堂练习,答案,44,例6,证,45,参照以上例题可进一步证明:,46,例7,证,根据隐函数求导法则,47,根据柯西黎曼方程得,48,例8,证,49,50,三、小结与思考,在本课中我们得到了一个重要结论函数解析的充要条件:,掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.,51,思考题,52,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,53,Augustin-Louis Cauchy,Born:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 18

5、57 in Sceaux(near Paris),France,柯西资料,54,Riemann,黎曼资料,Born:17 Sept 1826 in Breselenz,Hanover(now Germany)Died:20 July 1866 in Selasca,Italy,55,第三节 初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘幂 ab 与幂函数,四、三角函数和双曲函数,五、反三角函数和反双曲函数,六、小结与思考,56,一、指数函数,1.指数函数的定义:,57,指数函数的定义等价于关系式:,58,2.加法定理,证,59,例1,解,60,61,例2,解,求出下列复数的辐角主值:,62,63

6、,64,例3,解,65,二、对数函数,1.定义,66,其余各值为,特殊地,67,例4,解,注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,68,例5,解,69,例6,解,70,71,2.性质,72,证(3),证毕,73,三、乘幂 与幂函数,1.乘幂的定义,注意:,74,75,特殊情况:,76,77,例7,解,答案,课堂练习,78,例8,解,79,2.幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,80,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,81,四、三角函数和双曲函数,1.三角函数的定义,将两式相加与相减,得,现在把余弦函数和正弦函数

7、的定义推广到自变数取复值的情况.,82,83,例9,解,84,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,85,(注意：这是与实变函数完全不同的),86,其他复变数三角函数的定义,87,例10,解,88,2.双曲函数的定义,89,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,90,例13,解,91,五、反三角函数和反双曲函数,1.反三角函数的定义,两端取对数得,92,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:,2.反双曲函数的定义,93,例14,解,94,六、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:,1.指数函数具有周期性,2.负数无对数的结论不再成立,3.三角正弦与余弦不再具有有界性,4.双曲正弦与余弦都是周期函数,95,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,96,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.,