第二章矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件.ppt

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1、第二章矩阵的运算与矩阵的秩,本章要点流程:,首先介绍矩阵的基本运算,进一步了解分块矩阵,重点学习可逆矩阵,最后对齐次线性方程组解的作了讨论,认识矩阵的秩,2.1矩阵的基本运算,一、矩阵的线性运算,定义2.1设矩阵A=(aij)mn，B=(bij)mn，l为给定的数（1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B,（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA,称为数量矩阵,2.1 矩阵的基本运算,称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A,矩阵的减法：A-B=A+(-B)=(aij-bij),矩阵的线性运算,2.1 矩阵的基本运算,运算规律（设为

2、A,B,C同型矩阵，k,s,l为给定的数）,1)A+B=B+A（交换律）2)(A+B)+C=A+(B+C),(ks)A=k(sA)=s(kA)（结合律）k(A+B)=kA+kB,(k+s)A=kA+sA（分配律）A+O=AA+(-A)=O1A=A；0A=O;lO=0,2.1 矩阵的基本运算,例2.1,2.1 矩阵的基本运算,二、矩阵的乘法,1矩阵乘法的定义,2.1 矩阵的基本运算,引例某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三种，每种商品的进货单价和数量如下表。,每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：,2.1 矩阵的基本运算,2.1 矩阵的基本运算,求每个月的总进货额和总销售额。,矩阵C的第i行第

3、j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。,2.1 矩阵的基本运算,矩阵C与A、B之间有什么关系？,定义2.2设 A=(aij)ms，B=(bij)sn，那么称 C=AB=(cij)mn 为矩阵A与B的乘积.其中,2.1 矩阵的基本运算,由这个定义可知：1）矩阵A、B相乘的条件：矩阵A的列数=矩阵B的行数.,3）矩阵乘法法则：乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。,2.1 矩阵的基本运算,2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。,例2.1,2.1 矩阵的基本运算,注：,矩阵乘法一般不满足交

4、换律，即ABBA.,若对A、B有AB=BA，则称A与B是可交换的.,2.1 矩阵的基本运算,注：,由AB=0一般不能得到A=0或B=0.,注：,若AB=AC，且A0,则一般不能得到B=C.,矩阵乘法满足的运算律：,2.1 矩阵的基本运算,1)(AB)C=A(BC)（结律合）k(AB)=(kA)B=A(kB)2)A(B+C)=AB+AC（分配律）(B+C)A=BA+CA3)设Amn，则ImA=AIn=A,方阵的幂,其中k,l为正整数,设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为A的k次幂，记作 Ak，即,相关结论：,2.1 矩阵的基本运算,一般地,矩阵的多项式：,2.1 矩阵的基本运算,例2.5,

5、为n阶方阵A的m次多项式,用数学归纳法证,2.1 矩阵的基本运算,例2.6,(n为任意自然数）,线性方程组的矩阵表示,系数矩阵：,2.1 矩阵的基本运算,2.1 矩阵的基本运算,2.矩阵与初等矩阵的乘积,例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积,2.1 矩阵的基本运算,上述过程也可以等同于：,2.1 矩阵的基本运算,2.1 矩阵的基本运算,上述过程也可以等同于：,2.1 矩阵的基本运算,即：E(i,j)A：相当于交换A的第i行与第j行；E(i(k)A：相当于用非零数k乘矩阵A的第i行；E(i,j(k)A：相当于A的第j行乘k加到第i行上；,2.1 矩阵的基本运算,定理2.1 设Amn=(aij)mn,

6、则：（1）对A施行某种行初等变换，相当于对A 左乘一个相应的m阶初等矩阵.,即：AE(i,j)：相当于交换A的第i列与第j列；AE(i(k)：相当于用非零数k 乘矩阵A的第i列；AE(i,j(k)：相当于A的第i列乘k加到第j列上,2.1 矩阵的基本运算,同理：,（2）对A施行某种初等列变换，相当于 对A右乘一个相应的n阶初等矩阵.,推论：若mn矩阵A与B等价，则存在若干个mm初等矩阵Pi(i=1,2-,s)和若干个nn初等矩阵Qj(j=1,2-,t)使得,2.1 矩阵的基本运算,三、矩阵的转置,2.1 矩阵的基本运算,定义2.3：把mn矩阵A的行和列依次互换得到的一个nm 矩阵，称为A的转置

7、，记作AT或A.,2.1 矩阵的基本运算,相关性质：,3.(kA)T=kAT（k为常数）,2.(A+B)T=AT+BT,1.(AT)T=A,4.(AB)T=BTAT,2.1 矩阵的基本运算,定义2.4 设A是n阶方阵，如果AT=A，则称A是对称矩阵；,如果AT=-A，则称A是反对称矩阵.,A=(aij)nn为对称阵的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,n),2.1 矩阵的基本运算,结论,A=(aij)nn为反对称阵的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,n),反对称阵的主对角线上的元素aii=0(i=1,2,n),2.1 矩阵的基本运算,例2.8 设A、B均是n阶对称矩阵，求证AB是

8、对称矩阵的充要条件是A、B可交换.,例2.9 设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵，证明AB+BA是反对称矩阵.,2.2 分块矩阵,一、分块矩阵的概念,矩阵的分块就是将矩阵A用若干纵线和横线分成几个小矩阵，每一小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵，称为分块矩阵。,1分块矩阵相加、减,二、分块矩阵的运算,设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵,2.数与分块矩阵相乘,3分块矩阵相乘,设A=(aij)ms，B=(bij)sn，并作如下分块：,分块矩阵相乘的条件：,(1)A分出的列子块数B分出的行子块数,(2)A中每一个子块的列数B中相应的子块的行数,分块对角阵乘法：,4分块矩阵的转置,例

9、2.10,2.3可逆矩阵,引例：电报的发送,比如，原文是“十七时进攻”的明码是,这组数字构成的矩阵为,借助于一个加密矩阵,2.3可逆矩阵,一、可逆矩阵的概念,定义2.5 设A 是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记作A-1，这时称A 为可逆矩阵，简称为可逆阵.,注：(1)若矩阵A可逆，则其逆矩阵唯一。,(2)A与B的地位是平等，即当B是A的逆矩 阵时，则A也是B的逆矩阵，或称互逆。,(3)并非每个方阵都可逆。,另外：若方程组AX=B的系数矩阵A为方阵且可逆，则X=A-1 B 由逆矩阵的唯一性可知，X=A-1 B为方程组的唯一解,任何初等矩阵都是可逆的，并

10、且其逆矩阵仍是初等矩阵,逆矩阵的性质：,定理2.2设A,B都是n阶可逆矩阵，则AB可 逆，且（AB）-1=B-1A-1,推论1 若A和B是等价的方阵，则它们的可逆性相同,例2.11 设A、B、C为同阶方阵，且A可逆，则：,（1)AB=AC能否推出B=C,（2)AB=CB能否推出A=C,（3)AB=0能否推出B=0,（4)BC=0能否推出B=0,例2.12 设方阵A满足A2-3A-10I=0，证明 A 和A-4I均可逆，并求其逆.,例2.13 设方阵B是幂等阵（Bn=B），且 A=I+B，证明A可逆，且A-1=1/2(3I-A).,二、可逆矩阵与初等矩阵的关系,引理任意一个矩阵 A=(aij)m

11、n，都与形如,的矩阵等价即存在若干个m阶初等矩阵Pi（i=1,2-,s）和n阶初等矩阵Qj（j=1,2-,t），使得P1P2-PSAQ1Q2-Qt=Er,定理2.3n阶方阵A可逆的充要条件是A与单位阵等价，即：存在若干个初等矩阵P1,P2,-Pl，使得A=P1P2-Pl,推论mn矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B,推导求逆矩阵的方法：,设A可逆，T1T2-Ts A=I T1T2-Ts I=A-1,T1T2-Ts(A I)=(I A-1),强调：变换中只能用行变换，不能用列变换。,2.4矩阵的秩,定理2.4 对任意矩阵A=(aij)mn 都有唯一确定的矩阵,

12、一、矩阵的标准形,与矩阵A等价，以后称Er为A的标准形。,二、矩阵的秩,定义2.6 非零矩阵A的标准形中非零行的行数称为矩阵A的秩，记为R(A)，或秩(A),另外约定，零矩阵的秩为0,当R(A mn)=m时，称矩阵A mn行满秩矩阵；,当R(A mn)=n时，称矩阵A mn列满秩矩阵；,当R(A nn)=n时，称矩阵A nn满秩矩阵；,推论1n阶方阵A可逆的充要条件是A 为满秩矩阵,推论2设P,Q都是满秩矩阵，则 R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ),例2.16求证：对任意的矩阵A，都有 R(AT)=R(A),例2.15,2.5齐次线性方程组解的讨论,推论 若齐次线性方程组的方程个数

13、小于未知量的个数，则该方程组必有无穷多个解，从而有非零解,定理2.6对于本节齐次线性方程组，有以下结论：,（1）若R(A）=rn，则方程组有 n-r 个自由未知量，从而有无穷多个解，因此有非零解；,（2）若R(A）=r=n，则方程组只有零解,例2.17 求如下齐次线性方程组的解.,由于r=3n=5,所以有无穷多解.,2.6应用举例,一、密码问题 某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表示一个汉字比如，原文是“十七时进攻”的明码是,作 业,P40页1.2.4.8.,P41页5.7.,P41页9.10.13.,P41页15.17(2)(3).19(2).,选择题,1.已知A、B为n阶方阵，则下列性质

14、正确的是（）(A)AB=BA(B)(A+B)T=AT+BT(C)(A+B)-1=A-1+B-1(D)A2-B2=(A+B)(A-B),B,2.设A、B、C为n阶方阵，且满足关系式ABC=I，则必 有（）（A）ACB=I（B）CBA=I C）BAC=I（D）BCA=I,D,3.设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB=BA，那么A必定是（）（A）可逆矩阵（B）数量矩阵（C）单位矩阵（D）反对称矩阵,B,4.两个n阶初等矩阵的乘积为（）（A）初等矩阵（B）单位矩阵（C）可逆矩阵（D）不可逆矩阵,C,5.设A、B均为n阶方阵，下列情况下能推出A是单 位矩阵的是（）（A）AB=B（B）AB=BA（C）AA=I（D）A-1=I,D,6.设A为34矩阵，若矩阵A的秩为2，则矩阵-3AT 的秩等于（）(A)1(B)2(C)3(D)4,B,7.已知A为n阶可逆方阵，则下列不正确的是（）,（A）A-1可逆（B）I+A可逆（C）-2A可逆（D）A2可逆,B,计算题,2.求解下面矩阵方程中的矩阵X：,4.设A为n阶方阵，A1为r阶子方块，A1、A4为可逆 矩阵，求A-1.其中,