第5章搜索与回溯算法(C++版)ppt课件.ppt

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1、第五章 搜索与回溯算法,搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向

2、再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。,递归回溯法算法框架一int Search(int k)for(i=1;i=算符种数;i+)if(满足条件)保存结果if(到目的地)输出解;else Search(k+1);恢复：保存结果之前的状态回溯一步 递归回溯法算法框架二int Search(int k)if(到目的地)输出解;elsefor(i=1;i=算符种数;i+)if(满足条件)保存结果;Search(k+1);恢复：保存结果之前的状态回溯一步,【例1】素数环:从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。【算法分析】非常明显，

3、这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。【算法流程】1、数据初始化；2、递归填数：判断第i个数填入是否合法；A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；B、如果不合法：选择下一种可能；【参考程序】#include#include#include#includeusing namespace std;bool b21=0;int total=0,a21=0;int search(int);/回溯过程int print();/输出方案

4、bool pd(int,int);/判断素数,int main()search(1);cout;for(int j=1;jsqrt(i)return 1;else return 0;,【例2】设有n个整数的集合1,2,n，从中取出任意r个数进行排列（r#include#includeusing namespace std;int num=0,a10001=0,n,r;bool b10001=0;int search(int);/回溯过程int print();/输出方案int main()coutnr;search(1);coutnumber=numendl;/输出方案总数,int searc

5、h(int k)int i;for(i=1;i=n;i+)if(!bi)/判断i是否可用 ak=i;/保存结果 bi=1;if(k=r)print();else search(k+1);bi=0;int print()num+;for(int i=1;i=r;i+)coutsetw(3)ai;coutendl;,【例3】任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。当n=7共14种拆分方法：7=1+1+1+1+1+1+17=1+1+1+1+1+27=1+1+1+1+37=1+1+1+2+27=1+1+1+47=1+1+2+37=1+1+57=1+2+2+27=1+2+47=1

6、+3+37=1+67=2+2+37=2+57=3+4total=14,【参考程序】#include#include#includeusing namespace std;int a10001=1,n,total;int search(int,int);int print(int);int main()cinn;search(n,1);/将要拆分的数n传递给s couttotal=totalendl;/输出拆分的方案数 system(pause);int search(int s,int t)int i;for(i=at-1;i=s;i+)if(in)/当前数i要大于等于前1位数，且不过n,at

7、=i;/保存当前拆分的数i s-=i;/s减去数i，s的值将继续拆分 if(s=0)print(t);/当s=0时，拆分结束输出结果 else search(s,t+1);/当s0时，继续递归 s+=i;/回溯：加上拆分的数，以便产分所有可能的拆分 int print(int t)coutn=;for(int i=1;i=t-1;i+)/输出一种拆分方案 coutai+;coutatendl;total+;/方案数累加1,【例4】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）放置第个(行)皇后的算法为：int se

8、arch(i)；int j;for(第i个皇后的位置j=1;j=8;j+)/在本行的8列中去试if(本行本列允许放置皇后)放置第i个皇后；对放置皇后的位置进行标记；if(i=8)输出/已经放完个皇后 else search(i+1)；/放置第i+1个皇后对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行；,【算法分析】显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在 斜线上的行列值之和相同；如果同在 斜线上的行列值之差相同；从下图可验证：,考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组1.8表示

9、皇后的放置：第行皇后放在第列，用ij来表示，即下标是行数，内容是列数。例如：A3=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。,判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组1.8控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组1.16、-7.7控制同一对角线上只能有一个皇后。如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后I和J不在同一列或斜线上的条件可以描述为：AIAJ AND ABS(I-J)ABS(AI-AJ)I和J分别表示两个皇后的行号【参考程序】#incl

10、ude#include#include#includeusing namespace std;bool d100=0,b100=0,c100=0;int sum=0,a100;int search(int);int print();int main()search(1);/从第1个皇后开始放置 system(pause);,int search(int i)int j;for(j=1;j=8;j+)/每个皇后都有8位置(列)可以试放if(!bj),【例5】马的遍历 中国象棋半张棋盘如图4（a）所示。马自左下角往右上角跳。今规定只许往右跳，不许往左跳。比如图4（a）中所示为一种跳行路线，并将所经

11、路线打印出来。打印格式为：0,0-2,1-3,3-1,4-3,5-2,7-4,8,【算法分析】如图4（b）,马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i,则四个方向的移动可表示为：1:（i,j）（i+2,j+1）；(i0,j1,j8)搜索策略：S1:=(0,0);S2:从1出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是（4,8）则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点；S3:打印路径。,【参考程序】#include#include#includeusing namespace std;int a100100,t=0;/路径总数和路径int x4=2,1,-1,-2,/四种移动规则 y4=1

12、,2,2,1;int search(int);/搜索 int print(int);/打印int main()/主程序 a11=0;a12=0;/从坐标(0,0)开始往右跳第二步 search(2);system(pause);,int search(int i)for(int j=0;j=0,【例6】设有A，B，C，D，E五人从事J1，J2，J3，J4，J5五项工作，每人只能从事一项，他们的效益如下。,每人选择五项工作中的一项，在各种选择的组合中，找到效益最高的的一种组合输出。,【算法分析】用数组储存工作选择的方案；数组存放最优的工作选择方案；数组用于表示某项工作有没有被选择了。(1)选择(

13、i)=0的第i项工作；(2)判断效益是否高于max已记录的效益，若高于则更新数组及max的值。搜索策略:回溯法（深度优先搜索dfs）。,【参考程序】#include#include#include#includeusing namespace std;int data66=0,0,0,0,0,0,0,13,11,10,4,7,0,13,10,10,8,5,0,5,9,7,7,4,0,15,12,10,11,5,0,10,11,8,8,4;int max1=0,g10,f10;bool p6=0;int go(int step,int t)/step是第几个人，t是之前已得的效益 for(int

14、 i=1;imax1)/保存最佳效益值 max1=t;for(int j=1;j=5;j+)gj=fj;/保存最优效益下的工作选择方案 t-=datastepi;/回溯 pi=0;,int main()go(1,0);/从第1个人，总效益为0开始 for(int i=1;i=5;i+)coutchar(64+i):Jgisetw(3);/输出各项工作安排情况 coutendl;coutsupply:max1endl;/输出最佳效益值,【例7】选书 学校放寒假时，信息学竞赛辅导老师有A，B，C，D，E五本书，要分给参加培训的张、王、刘、孙、李五位同学，每人只能选一本书。老师事先让每个人将自己喜欢

15、的书填写在如下的表格中。然后根据他们填写的表来分配书本，希望设计一个程序帮助老师求出所有可能的分配方案，使每个学生都满意。,【算法分析】可用穷举法，先不考虑“每人都满意”这一条件，这样只剩“每人选一本且只能选一本”这一条件。在这个条件下，可行解就是五本书的所有全排列，一共有5！=120种。然后在120种可行解中一一删去不符合“每人都满意”的解，留下的就是本题的解答。为了编程方便，设1，2，3，4，5分别表示这五本书。这五个数的一种全排列就是五本书的一种分发。例如54321就表示第5本书（即E）分给张，第4本书（即D）分给王，第1本书（即A）分给李。“喜爱书表”可以用二维数组来表示，1表示喜爱，

16、0表示不喜爱。,算法设计：S1：产生5个数字的一个全排列；S2：检查是否符合“喜爱书表”的条件，如果符合就打印出来；S3：检查是否所有的排列都产生了，如果没有产生完，则返回S1；S4：结束。,int Search(i)for(j=1;j=5;j+)if(第i个同学分给第j本书符合条件)记录第i个数 if(i=5)打印一个解;else Search(i+1);删去第i 个数,上述算法有可以改进的地方。比如产生了一个全排列12345，从表中可以看出，选第一本书即给张同学的书，1是不可能的，因为张只喜欢第3、4本书。这就是说，1一类的分法都不符合条件。由此想到，如果选定第一本书后，就立即检查一下是否

17、符合条件，发现1是不符合的，后面的四个数字就不必选了，这样就减少了运算量。换句话说，第一个数字只在3、4中选择，这样就可以减少3/5的运算量。同理，选定了第一个数字后，也不应该把其他4个数字一次选定，而是选择了第二个数字后，就立即检查是否符合条件。例如，第一个数选3，第二个数选4后，立即检查，发现不符合条件，就应另选第二个数。这样就把34一类的分法在产生前就删去了。又减少了一部分运算量。,综上所述，改进后的算法应该是：在产生排列时，每增加一个数，就检查该数是否符合条件，不符合，就立刻换一个，符合条件后，再产生下一个数。因为从第I本书到第I+1本书的寻找过程是相同的，所以可以用回溯算法。算法设计

18、如下：,【参考程序】#include#include#includeusing namespace std;int book6,c;bool flag6,like66=0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1;int search(int);int print();int main()for(int i=1;i=5;i+)flagi=1;search(1);/从第1个开始选书，递归。system(pause);int search(int i)/递归函数 for(int j=1;j=5;j+)

19、/每个人都有5本书可选 if(flagj,int print()c+;/方案数累加1 cout answer c:n;for(int i=1;i=5;i+)cout i:char(64+booki)endl;/输出分书的方案输出结果：zhang:Cwang:Aliu:Bsun:Dli:E,【例8】跳马问题。在5*5格的棋盘上，有一只中国象棋的马，从（1,1）点出发，按日字跳马，它可以朝8个方向跳，但不允许出界或跳到已跳过的格子上，要求在跳遍整个棋盘。输出前5个方案及总方案数。输出格式示例：1 16 21 10 2520 11 24 15 2217 2 19 6 912 7 4 23 143 1

20、8 13 8 5#include#include#include#includeusing namespace std;int u8=1,2,2,1,-1,-2,-2,-1,/8个方向上的x,y增量 v8=-2,-1,1,2,2,1,-1,-2;int a100100=0,num=0;/记每一步走在棋盘的哪一格和棋盘的每一格有/没有被走过bool b100100=0;int search(int,int,int);/以每一格为阶段，在每一阶段中试遍8个方向int print();/打印方案,int main()a11=1;b11=1;/从(1,1)第一步开始走 search(1,1,2);/从

21、(1,1)开始搜第2步该怎样走 cout25)print();return 0;/达到最大规模打印、统计方案 for(k=0;k=1,int print()num+;/统计总方案 if(num=5)/打印出前5种方案 for(int k=1;k=5;k+)/打印本次方案 for(int kk=1;kk=5;kk+)coutsetw(5)akkk;coutendl;,【例9】数的划分(NOIP2001)【问题描述】将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。1，1，5；1，5，1；5，1，1；问有多少种不同的分法。【输入

22、格式】n,k(6n200，2k6)【输出格式】一个整数，即不同的分法。【输入样例】7 3【输出样例】4 4种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3;2,2,3 说明部分不必输出,【算法分析】方法1、回溯法，超时，参考程序如下。#include#include#includeusing namespace std;int n,i,j,k,rest,sum,total;int s7;int main()cout n k;total=0;s1=0;i=1;while(i)si+;if(si n)i-;else if(i=k)sum=0;for(j=1;j=k;j+)sum+=sj;if(n=su

23、m)total+;else rest-=si;i+;si=si-1-1;cout total;system(pause);return 0;,方法2、递归，参考程序如下。#include#include#includeusing namespace std;int n,k;int f(int a,int b,int c)int g=0,i;if(b=1)g=1;else for(i=c;i n k;cout f(n,k,1);system(pause);return 0;,方法3、用动态循环穷举所有不同的分解，要注意剪枝，参考程序如下。#include#include#includeusing

24、 namespace std;int n,k,total;int min(int x,int y)if(x=rest/dep;i-)select(dep-1,rest-i,i);int main()cout n k;total=0;select(k,n,n);cout total;system(pause);return 0;,方法4、递推法首先将正整数n分解成k个正整数之和的不同分解方案总数等于将正整数n-k分解成任意个不大于k的正整数之和的不同分解方案总数(可用ferror图证明之),后者的递推公式不难得到,参考程序如下。#include#include#include#includeus

25、ing namespace std;int i,j,k,n,x;int p2017;int main()cin n k;memset(p,0,sizeof(p);p00=1;for(i=1;i=n;i+)pi1=1;for(i=1;i=n-k;i+)for(j=2;j=min(i,k);j+)for(x=1;x=min(i,j);x+)pij+=pi-xmin(i-x,x);cout pn-kk;system(pause);return 0;,【课堂练习】,1、输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。【参考过程】int Search(int i)Int j;for(j=1;j=n;j+

26、)if(bj)ai=j;bj=false;if(In)Search(i+1);else print();bj=true;,2、找出n个自然数(1,2,3,n)中r个数的组合。例如，当n=,r=3时，所有组合为：1 2 31 2 41 2 51 3 41 3 51 4 52 3 42 3 52 4 53 4 5total=10/组合的总数【分析】：设在b1,b2,bi-1中已固定地取了某一组值且bi-1=k的前提下，过程Search(i,k)能够列出所有可能的组合。由于此时bi只能取k+1至n-r+i，对j=k+1,k+2,n-r+i，使bi:=j，再调用过程Search(i+1,j)，形成递归

27、调用。直至i的值大于r时，就可以在b中构成一种组合并输出。,3、输出字母a、b、c、d，4个元素全排列的每一种排列。4、显示从前m个大写英文字母中取n个不同字母的所有种排列。5、有A、B、C、D、E五本书，要分给张、王、刘、赵、钱五位同学，每人只能选一本，事先让每人把自已喜爱的书填于下表，编程找出让每人都满意的所有方案。,【答案】四种方案张 王 刘 赵 钱 C A B D E D A C B E D B C A E D E C A B,6、有红球4个，白球3个，黄球3个，将它们排成一排共有多少种排法？【分析】：可以用回溯法来生成所有的排法。用数组b1.3表示尚未排列的这3种颜色球的个数。设共有

28、I-1个球已参加排列，用子程序Search(i)生成由第I个位置开始的以后n-I+1位置上的各种排列。对于第I个位置，我们对3种颜色的球逐一试探，看每种颜色是否还有未加入排序的球。若有，则选取一个放在第I个位置上，且将这种球所剩的个数减1，然后调用Search(I+1),直至形成一种排列后出。对第I个位置上的所有颜色全部试探完后，则回溯至前一位置。,【上机练习】,1、全排列问题(Form.cpp)【问题描述】输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。【输入格式】n(1n9)【输出格式】由1n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。【输入样

29、例】Form.in 3【输出样例】Form.out1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1,2、组合的输出(Compages.cpp)【问题描述】排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且rn)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1，2，n，从中任取r个数。现要求你用递归的方法输出所有组合。例如n5，r3，所有组合为：l 2 3 l 2 4 1 2 5 l 3 4 l 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5【输入】一行两个自然数n、r(1n21，1rn)。【输出】所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到

30、大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字典顺序。【样例】compages.in compages.out5 3 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5,3、N皇后问题(Queen.cpp)【问题描述】在N*N的棋盘上放置N个皇后（n=10）而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和任一对角线上不能放置2个皇后），编程求解所有的摆放方法。,八皇后的两组解,【输入格式】输入：n【输出格式】每行输出一种方案，每种方案顺序输出皇后所在的列号，各个数之间有空格隔开。若无方案，则输出no solute!【输入样

31、例】Queen.in 4【输出样例】Queen.out2 4 1 33 1 4 2,4、有重复元素的排列问题【问题描述】设R=r1,r2,rn是要进行排列的n个元素。其中元素r1,r2,rn可能相同。试设计一个算法，列出R的所有不同排列。【编程任务】给定n 以及待排列的n 个元素。计算出这n 个元素的所有不同排列。【输入格式】由perm.in输入数据。文件的第1 行是元素个数n，1n500。接下来的1 行是待排列的n个元素。【输出格式】计算出的n个元素的所有不同排列输出到文件perm.out中。文件最后1行中的数是排列总数。【输入样例】4aacc【输出样例】多解aaccacacaccacaac

32、cacaccaa6,5、子集和问题【问题描述】子集和问题的一个实例为S,t。其中，S=x1，x2，xn是一个正整数的集合，c是一个正整数。子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使得子集S1和等于c。【编程任务】对于给定的正整数的集合S=x1，x2，xn和正整数c，编程计算S 的一个子集S1，使得子集S1和等于c。【输入格式】由文件subsum.in提供输入数据。文件第1行有2个正整数n和c，n表示S的个数，c是子集和的目标值。接下来的1 行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。【输出格式】程序运行结束时，将子集和问题的解输出到文件subsum.out中。当问题无解时，输出“No soluti

33、on!”。【输入样例】5 102 2 6 5 4【输出样例】2 2 6,6、工作分配问题【问题描述】设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为cij。试设计一个算法，为每一个人都分配一件不同的工作，并使总费用达到最小。【编程任务】设计一个算法，对于给定的工作费用，计算最佳工作分配方案，使总费用达到最小。【输入格式】由文件job.in给出输入数据。第一行有1个正整数n(1n20)。接下来的n行，每行n个数，第i行表示第i个人各项工作费用。【输出格式】将计算出的最小总费用输出到文件job.out。【输入样例】34 2 52 3 63 4 5【输出样例】9,7、装载问题【问题描述】

34、有一批共n个集装箱要装上艘载重量为c的轮船，其中集装箱i的重量为wi。找出一种最优装载方案，将轮船尽可能装满，即在装载体积不受限制的情况下，将尽可能重的集装箱装上轮船。【输入格式】由文件load.in给出输入数据。第一行有2个正整数n和c。n是集装箱数，c是轮船的载重量。接下来的1行中有n个正整数，表示集装箱的重量。【输出格式】将计算出的最大装载重量输出到文件load.out。【输入样例】5 107 2 6 5 4【输出样例】10,11、部落卫队【问题描述】原始部落byteland中的居民们为了争夺有限的资源，经常发生冲突。几乎每个居民都有他的仇敌。部落酋长为了组织一支保卫部落的队伍，希望从部

35、落的居民中选出最多的居民入伍，并保证队伍中任何2 个人都不是仇敌。【编程任务】给定byteland部落中居民间的仇敌关系，编程计算组成部落卫队的最佳方案。【输入格式】第1行有2个正整数n和m，表示byteland部落中有n个居民，居民间有m个仇敌关系。居民编号为1，2，n。接下来的m行中，每行有2个正整数u和v，表示居民u与居民v是仇敌。【输出格式】第1行是部落卫队的顶人数；文件的第2行是卫队组成x i，1in，xi=0 表示居民i不在卫队中，xi=1表示居民i在卫队中。【输入样例】7 101 21 42 42 32 52 63 53 64 55 6,【输出样例】31 0 1 0 0 0 1,

36、12、最佳调度问题【问题描述】假设有n个任务由k个可并行工作的机器完成。完成任务i需要的时间为ti。试设计一个算法找出完成这n个任务的最佳调度，使得完成全部任务的时间最早。【编程任务】对任意给定的整数n和k，以及完成任务i需要的时间为ti，i=1n。编程计算完成这n个任务的最佳调度。【输入格式】由文件machine.in给出输入数据。第一行有2 个正整数n和k。第2 行的n个正整数是完成n个任务需要的时间。【输出格式】将计算出的完成全部任务的最早时间输出到文件machine.out。【输入样例】7 32 14 4 16 6 5 3【输出样例】17,13、图的m着色问题【问题描述】给定无向连通图

37、G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。如果有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色，则称这个图是m可着色的。图的m着色问题是对于给定图G和m种颜色，找出所有不同的着色法。【编程任务】对于给定的无向连通图G和m种不同的颜色，编程计算图的所有不同的着色法。【输入格式】文件color.in输入数据。第1行有3个正整数n，k 和m，表示给定的图G有n个顶点和k条边，m种颜色。顶点编号为1，2，n。接下来的k行中，每行有2个正整数u,v，表示图G 的一条边(u,v)。【输出格式】程序运行结束时，将计算出的不同的着色方案数输出到文件color.out中。【输入样例】5 8 41 21 31 42 32 42 53 44 5【输出样例】48,