空间点线面的位置关系(优质课)ppt课件.ppt

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1、空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.,4 空间图形的基本关系与公理,观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？,长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.,空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.,常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.,如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。

2、.,平面的概念与画法,几何里的平面是无限延展的.,表示平面、平面、平面；用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.,1.空间点与直线的位置关系有两种：,点A在直线上,点B在直线外,2.空间点与平面的位置关系有两种：,点B在平面内,点A在平面外,记作：,记作：,记作：,记作：,3.空间直线与平面的位置关系有三种：,1、直线在平面内,直线与平面只有一个公共点,2、直线与平面相交,记作：直线a平面=点A,直线与平面没有公共点,3、直线与平面平行,记作：,（2）两个平面相交-两个平面不重合，并且有公共点,4.空间平面与平面的位置关系有两种：,（1）两个平

3、面平行-没有公共点的两个平面,记作：,记作：,5.空间两条直线的位置关系：,平行直线,相交直线,异面直线,在同一个平面内，没有公共点的两条直线。,在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。,不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。,记作：a/b,记作：,点、线、面之间的位置关系及语言表达,点A在直线a上,Aa,点A不在直线a上,点A在平面上,A,点A不在平面上,直线a在平面内,直线a在平面外,bA,a,小结,1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,（1）,（2）,2.观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系,(1)过一点可以做几条直线？两点呢？,(2)过平面内一点可以

4、做几个平面？两点呢？三点呢？,思考：,back,公理1：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,3.平面的基本性质,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.,3.平面的基本性质,推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.,推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.,注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.,公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,3.

5、平面的基本性质,思考：,(1)不共面的四点可以确定多少个平面?(2)共点的三条直线可以确定多少个平面?,4 个,1个或3个,图形语言：,公理2：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内.,符号语言：,3.平面的基本性质,思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？,不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.,3.平面的基本性质,P,公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.,图形语言：,符号语言：,该公理反映了平面与平面的位置关系：,3.平面的基本性质,3.填空:_的三点确定一个平面;两条 或

6、 直线确定一个平面;有一个公共点的两个平面交于 的一条直线.,不在同一直线上,平行,相交,唯一,4.下列命题正确的是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,D,5.判断下列命题是否正确:(1)平面与平面相交,它们只有有限个公共点.(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.,练习,back,我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立

7、呢?,观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？,ab c d e,3.平面的基本性质,符号表示:,(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.,平行具有传递性；,注4：,该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.,3.平面的基本性质,例 在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？,解：,1）ABA1B1，C1D1 A1B1，,AB C1D1,2）AB C1D1，且AB=C1D1,ABC1D1为平行四边形,故AD1 BC1,练习：上例中，A

8、A1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？,例 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.,问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？,“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法,EH是ABD的中位线，,EH FG且EH=FG,EFGH是一个平行四边形,证明：,连结BD，,同理，FG BD且FG=BD,EH BD且EH=BD,菱形,“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法,G,back,4.点线共面问题,(1)证明的主要依据

9、：公理1；公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法：纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.,例 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.,已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求证：直线AB，BC，AC共面.,证明：,因为ABAC=A，,所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）,因为BAB，CAC，所以B，C，,故BC.（公理1）,因此直线AB，BC，CA共面.,确定一个面，再证明其余线在该面内.,4.点线共面问题,4.点线共面问题,证明：一条直线与两条平行

10、直线都相交，则这三条直线共面.,已知：a/b，ac=A，bc=B.,求证：直线a，b，c共面.,证明：,因为a/b，,所以直线a，b确定一个平面.（推论3）,因为Aa，Bb，所以A，B.,又因为Ac，Bc.故AB.（公理1）,因此直线a，b，c共面.,4.点线共面问题,思考 已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.,已知：a/b/c，al=A，bl=B,cl=C.,求证：直线l与a，b，c共面.,证明：,a/b，,直线a，b确定一个平面.（推论3）,l a=A，l b=B，A，B.,又Al，Bl，故l.,同理，直线b，c确定一个平面，且l.,平面与都过两相交直线b，l.,又两相交

11、直线确定一个唯一的平面.与重合.故l与a，b，c共面.,证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.,4.点线共面问题,练 已知a，b，ab=A，Pb，PQ/a.求证：PQ.,4.点线共面问题,(1)证明的主要依据是公理3：如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明的常用方法：首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点）；证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证

12、明第三条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）,5.证明三点共线、三线共点的问题,例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面分别交于P、Q、R.求证：P、Q、R共线.,B,A,Q,R,C,P,证明：,同理Q、R也为公共点，,所以P、Q、R共线.,要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点.,5.证明三点共线、三线共点的问题,空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.,分析：已知EHFG=K，要证EH，BD，FG共点.即要证明B，D，K三点共线.,而BD是面ABD和面C

13、BD的交线.所以往证K面ABD面CBD.,而显然，由EH面ABD，KEH，可得K面ABD.同理，由FG面CBD，KFG，可得K面CBD.,5.证明三点共线、三线共点的问题,F,E,O,E,F,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,Q,即交线为QN,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,拓展,正方体截面形状小结,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状,back,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状,S,即交线为RS交AA1于中点G,K,G,H,S,T,即交线为QT交CC1于中点H,T,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,back,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状,back,画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线.,P,即交线为GP,D,H,即交线为FH,例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）,back,小结：,空间点、线、面的位置关系平面的基本性质（四个公理）证明直线平行的常用方法点线共面，三线共点，三点共线问题的证明,