理论力学(第10章)ppt课件.ppt

《理论力学(第10章)ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学(第10章)ppt课件.ppt（50页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第10章 动能定理,理 论 力 学,10.4 动力学普遍定理,10.1 力的功,10.2 动能及其计算,第10章动能定理,10.3 动能定理,动 力 学,10.1 力 的 功,10.1.1 常力的功,质点M在常力F的作用下，沿直线从M1运动到M2，其位移为s。则此力F在位移方向的投影Fcos与其位移的乘积，定义为力F在路程s中所做的功，记为W。即,其中 Fcos 为力 F 在运动方向上的投影，可正可负。可见力的功是代数量。,功的基本单位在国际单位制中采用 J，即,1 J=1 N m,WFcos s,质点 M 在变力F作用下沿图示空间曲线运动,将曲线 A1A2 分成许多微小弧段，视每个元弧段 d

2、s(即元路程)为直线段，而力 F 则视为常力，应用常力的功 的计算式，则力 F 在元路程 ds 中的功，称为力 F 的元功。即,式中 是力 F 与速度 v 间的可变夹角。由于元路程ds对应于位移的大小|dr|=|v|dt，故上式可以改写成,1.元功的定义,10.1.2 变力的功,10.1 力 的 功,W=Fcosds,2.元功的解析表示式,3.变力在曲线路程中的总功,11.2 力 的 功,4.合力的功,式中，Fx、Fy、Fz分别为力F在直角坐标轴x、y、z上的投影。,合力FR在任一路程上所作功，等于各个分力在同一路程中所作功的代数和。,1.重力的功,如图所示，质量为m的质点M沿曲线从位置Ml运

3、动到位置M2。因为Fx=Fy=0、Fz=mg，则重力所作功为：,10.1.3 常见力的功,10.1 力 的 功,上式表明，重力所作的功，等于重力与其重心的始末位置高差之乘积。可见，重力所作功仅与其重心的始末位置高差有关，而与重心的运动路径无关重力为有势力。,并且：z1z20，W 0;z1 z20，W 0,2.弹性力的功,10.1 力 的 功,弹簧原长l0，刚度系数k，如图所示。计算M 由 M1 M2过程中弹力所做功。,此式表明，弹性力的功也是与质点的运动路径无关，而只取决于弹簧在始末位置的变形量（伸长或缩短）。因此，弹性力亦为有势力。,10.1 力 的 功,3.转动刚体上力(力矩)的功,一刚体

4、在力F作用下绕z轴转过d角，其作用点M走过的路程为ds，则元功为,力F对轴z的矩,所以,所以,当转动刚体在力F作用下，由1位置运动到2位置时，力F所作的功为,而,若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为,W 12=Mz(2 1),有 结 论,作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。,10.1力 的 功,3.转动刚体上力(力矩)的功,4.质点系内力的功,内力虽然等值而反向，但做功之和并不等于零。例如，由两个相互吸引的质点A和B组成的质点系，两质点间的相互作用的力F、F是一对内力，两质点位移的元位移drA、drB如图所示。则内力F和F的元功之和为：,10.1 力

5、的 功,可见，质点系内力所作功的总和不一定等于零。,但是,刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所作功的总和恒等于零。,10.1 力 的 功,5摩擦力的功,当刚体与接触面之间有相对滑动时，摩擦力是作功的。一般情况下摩擦力方向与物体的运动方向相反，这时摩擦力作负功（摩擦力有时也作正功），其大小等于摩擦力与其滑动距离的乘积。请注意，摩擦力的功与物体的运动路径有关。然而，如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不作功(例如物体沿固定面作纯滚动的情形)。,10.1.3 常见力的功,6.理想约束反力的功,光滑的固定支承面(图 a)，轴承，销钉(图 b)和活动支座(图 c

6、)的约束力总是和它作用点的元位移 dr 垂直，所以这些约束力的功恒等于零。,（1）光滑的固定面、轴承、销钉 和活动铰支座,10.1 力 的 功,理想约束 约束力不作功或作功之和等于零。例如：,由于柔绳仅在拉紧时才受力，而任何一段拉直的绳子就承受拉力来说，都和刚杆一样,其内力的元功之和等于零。绳子绕着光滑物体，情形相同。,当由铰链相联的两个物体一起运动而不发生相对转动时，铰链间相互作用的压力与刚体的内力性质相同。当发生相对转动时，由于接触点的约束力总是和它作用点的元位移相垂直，这些力也不做功。,（2）不可伸长柔绳的拉力。,（3）光滑活动铰链内的压力。,11.2 力 的 功,6.理想约束反力的功,

7、10.1 力 的 功,7.功率的概念表示力做功的快慢是功率。通常用力在单位时间内所做的功定义为力的功率，记为P。,当作用于转动刚体上的力矩为Mz，则其功率为,单位：瓦特，简称瓦(W)。lW=1Js=1Nms=1kgm2s3。工程上还采用马力作为功率的单位，即1马力=735.5W。,10.2 动能及其计算,即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。,设质点的质量为 m，速度为 v，则该质点的动能,动能是物体机械运动的一种度量，恒为正值的标量。,10.2.1 质点的动能,质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号 T 表示，则有,国际单位制中，动能的常用单位是 kgm2/s2，即

8、J(焦耳)。,10.2.2 质点系的动能,1.平移刚体的动能,平动刚体各点的速度和质心速度 vC 相同，M表刚体质量，则其动能,平移刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。,10.2.3 刚体的动能,即,质点系的动能,10.2 动能及其计算,式中,2.定轴转动刚体的动能,设刚体以角速度 绕定轴 z 转动，以 mi 表示刚体内任一点 I 的质量，以 ri 表示 点I 的转动半径，则该刚体的动能为,其中mr2=Jz 是刚体对转轴 z 的转动惯量。,可见，定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。,转动惯量 Jz 就是刚体绕 z 轴转动时惯性的度量。,10.2

9、 动能及其计算,3.平面运动刚体的动能,平面运动刚体的角速度是，速度瞬心在P 点，刚体对瞬轴的转动惯量是 JP。则该刚体的动能为,式中JC是对平行于瞬轴的质心轴的转动惯量。,根据转动惯量的平行轴定理有,10.2 动能及其计算,因为质心 C 的速度大小 vC=rC。由上式得,即,平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。,10.2 动能及其计算,3.平面运动刚体的动能,10.2 动能及其计算,例10-1 求例9-6所示系统的动能，系统如图所示。,解：1.运动分析,2.动能计算,轮A：定轴转动，物块C：平移，轮B：平面运动,因为：,所以：,10.2 动能及其

10、计算,例10-2 图示曲柄连杆机构，OA=r，AB=2r，OA、AB及滑块B质量均为m，曲柄以的角速度绕O 轴转动，C为连杆AB的质心。试计算图示瞬时系统的动能。,解：,，系统的动能为：,代入运动学关系,10.3 动能定理,设质量为 m 的质点 M，在力作用下 F 沿曲线由 M1 运动到 M2，它的速度由 v1 变为 v2。,两边点乘速度 v 得,mv dv=F vdt,10.3.1 质点动能定理,1.微分形式,由牛顿第二定理,即，质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功质点动能定理的微分形式。,将上式沿路程 A1A2 积分，得,上式右端就是作用力的元功，左端可改写成 mv dv=md(v v

11、)/2=d(mv2/2)，从而得,mv dv=F dr,式中 W12 表示力 F 在路程 A1A2 中的功。可见，质点动能在某一路程中的改变量，等于作用于质点的各力在该路程中所作的功质点动能定理的积分形式。,2.积分形式,10.3 动能定理,即，质点系动能的微分等于作用于质点系所有外力元功和内力元功的代数和质点系动能定理的微分形式。,对于质点系中的每个质点，都有类似上式，相加得,因,故上式可写成,由质点动能定理的微分形式,1.微分形式,10.3.2 质点系动能定理,10.3 动能定理,式中 T1，T2 分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能。上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量,等

12、于作用于质点系上所有内、外力在该路程中的功的代数和质点系动能定理的积分形式。,将上式积分，得,2.积分形式,10.3 动能定理,10.3.2 质点系动能定理,由微分形式,对于理想约束刚体系统，则有：,2.积分形式,10.3 动能定理,10.3.2 质点系动能定理,式中W主表示作用在质点系上所有主动力做功的代数和。,1.势能,10.3 动能定理,10.3.3 机械能守恒定理,为度量一质点系（质点）在不同位置上有势力作功的能力，可选择一基准点MO（势能为零,称为零势点），质点系（质点）从任意位置M运动到基准点MO有势力所作的功，称为质点系（质点）在该位置的势能。即,2.机械能守恒定理,受理想约束的

13、质点系在运动过程中，若作功的力为有势力时，质点系的机械能守恒。即,T2+V2=T1+V1=常量,10.3 动能定理,例10-3 在图示机构中，已知：匀质圆盘A的半径为r，沿水平面作纯滚动，匀质细杆AB长为L（C为杆AB的中点），圆盘、杆及滑块B质量均为m，。试求杆AB自水平位置无初速地滑到与铅垂线成=45时，圆盘中心A的速度。,10.3 动能定理,解：,1.取圆盘、杆AB及滑块B组成的理想约束系统为研究对象，受力如图。,2.运动分析并计算动能,T1=0,3计算主动力做功,10.3 动能定理,解：,T1=0,4.应用动能定理,得：,10.3 动能定理,例10-4 跨过定滑轮的绳索，两端分别系在质

14、量均为m的滑块A和B上，滑块B置于倾角为 的光滑斜面上，并与刚度系数为k的弹簧连接，弹簧的另一端与固定面相连，如图所示。滑轮视为质量为m的均质圆盘。绳索与滑轮无相对滑动。初始时，系统静止，弹簧无变形。试求弹簧被拉长s时，滑块A的速度和加速度。,10.3 动能定理,1.选滑轮和两个滑块组成的系统为研究对象，受力如图所示。,2.运动分析并计算系统动能,T1=0,3计算主动力做功,解：,10.3 动能定理,解：,T1=0,4.应用动能定理,得：,（a）,所以，滑块A的速度为：,将式（a）中的s看作时间t的函数，并将此式两边同时对时间t求导，可得滑块A的加速度为：,10.3 动能定理,5.讨论,解：,

15、（1）如将此例中的滑块B改为半径为r的滚轮，并可沿斜面作纯滚动，斜面的动摩擦因数为f（如图所示），能否求出当弹簧拉长s时，滚轮B的角速度和角加速度？（2）本例可否用动量矩定理求解？如用动量矩定理，如何选择研究对象？,例题 10-5 平台的质量 m=30 kg，固连在刚度系数 k=18 Nmm1的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度v0=5 m s 1，求平台由这位置下沉的最大距离，以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。,l0,1=st,2=st+,v0,A1,A2,v2=0,mg,F,(b),(c),(a),10.3 动能定理,取平台为研究对象。从平衡位置A1(图a)运动到最大

16、下沉位置A2(图b)，平台的初动能 T1=mv02/2，而末动能 T2=0。弹簧的初变形1=st=mg/k，末变形 2=st+s，作用在平台上的力有重力mg 和弹性力 F(图c)。,解：,l0,1=st,2=st+,v0,A1,A2,v2=0,mg,F,(a),(b),(c),v0,v2=0,10.3 动能定理,根据动能定理的积分形式,由此求得平台的最大下沉距离,弹性支承有最大压缩量2=st+,故承受的最大压力,Fmax=k(st+)=mg+k=4 kN,=204 mm,它们的总功为,10.3 动能定理,解：,10.4 动力学普遍定理综合应用,动力学普遍定理,动量定理,动量矩定理,动能定理,动

17、量方法,能量方法,动量定理给出了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，可用于求解质心运动或某些外力（如支座反力）。,动量矩定理描述了质点系动量矩的变化与主矩之间的关系，可用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量和外力（尤其适宜求解刚体系统绕同一定轴转动的动力学问题）。,动能定理建立了做功的力与质点系动能变化之间的关系，可用于较复杂的质点系、刚体系求运动规律。由于动能定理的标量形式，在许多实际问题中约束力又不作功，因此应用动能定理分析具有多处约束系统的速度变化是比较方便的。对动能定理进行微分运算还可求解加速度。,10.4 动力学普遍定理综合应用,10.4 动力学普遍定理综合应用,例10-6

18、 已知：斜面倾角为b，物块A的质量为m1，与斜面间的动摩擦因数为f。均质滑轮B质量为m2、半径为R，绳与滑轮间无相对滑动；均质圆盘C作纯滚动，质量为m3、半径为r，绳的两直线段分别与斜面和水平面平行。试求当物块A由静止开始下滑距离为s时：（1）滑轮B的角速度和角加速度；（2）该瞬时滑轮B与圆盘C之间绳子的拉力。,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：,取物块A、均质滑轮B和均质圆盘C 所组成的系统为研究对象，受力如图（b）：,T1=0,1.计算滑轮B的角速度和角加速度,；,；,；,；,因为：,所以：,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：,而,代入,有：,所以，滑轮B的角速度为,10.4 动力

19、学普遍定理综合应用,将此式两边同时对时间t求导，并利用,得滑轮B的角加速度：,解：,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：,2.求滑轮B与圆盘C之间绳子的拉力FT,如图（b）所示。系统对B轴的动量矩和力矩分别为：,据：,得：,10.4 动力学普遍定理综合应用,例10-7 如图所示，作纯滚动的均质轮O1与均质轮O2的重量均为P、半径为R，弹簧的刚性系数为k，斜面倾角为。开始时系统静止，且弹簧处于原长，绳与轮之间无相对滑动，绳的倾斜段与斜面平行，另一段与弹簧相连且与水平面平行。试求：（1）轮O1能下达的最大距离；（2）此时轮心O1的加速度；（3）绳索O1A的拉力；（4）固定铰支座O2的约束力。,1

20、0.4 动力学普遍定理综合应用,解：,（1）轮O1能下达的最大距离,取系统为研究对象,受力如图.,因为系统中作功不为零的力均为有势力，故系统的机械能守恒。设初始位置为系统的零势点，则有：,E1=T1+V1=E2=T2+V2=0,而，T2=0,所以：,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：（2）求下降到最大距离时，轮心O1的加速度,T1=0,；,；,；,因为：,而：,所以：,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：（2）求下降到最大距离时，轮心O1的加速度,T1=0,；,；,；,又：,代入 T2T1=W主，得,式（a）两边同时对时间t求导，得,负号说明轮心O1加速度的实际方向沿斜面向上。,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：（3）求绳索O1A的拉力,取轮O2为研究对象，受力如图所示，应用定轴转动微分方程，有,式中：,将以上各式代入式（b），则有,式中：,10.4 动力学普遍定理综合应用,解：（4）求固定铰支座O2的约束力,取轮O2为研究对象，受力如图所示，应用，有,所以：,